數列公式匯總

1、 人教版數學必修五第二章 數列 重難點解析第二章 課文目錄21數列的概念與簡單表示法 22等差數列 23等差數列的前n項和 24等比數列 25等比數列前n項和 【重點】1、數列及其有關概念，通項公式及其應用。2、根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項。3、等差數列的概念，等差數列的通項公式；等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用。4、等差數列n項和公式的理解、推導及應用，熟練掌握等差數列的求和公式。5、等比數列的定義及通項公式，等比中項的理解與應用。6、等比數列的前n項和公式推導，進一步熟練掌握等比數列的通項公式和前n項和公式【難點】1、根據數列的前n項觀察、歸納數列的一個通項公式。2、理解遞

2、推公式與通項公式的關系。3、等差數列的性質，靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題。4、靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題。5、靈活應用求和公式解決問題，靈活應用定義式及通項公式解決相關問題。6、靈活應用等比數列定義、通項公式、性質解決一些相關問題。一、數列的概念與簡單表示法 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.注意：數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現. 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或

3、首項），第2項，第n 項，.數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第n項 數列的通項公式：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.注意：并不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列；一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，它的通項公式可以是，也可以是.數列通項公式的作用：求數列中任意一項；檢驗某數是否是該數列中的一項.數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第 項，又是這個數列中所有各項的一般表示通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項5.數列與函

4、數的關系：數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。反過來，對于函數y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數列的分類：1）根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6。是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是無窮數列2）根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列。常數數列：各項

5、相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列7數列的表示方法（1）通項公式法如果數列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。如數列 的通項公式為 ； 的通項公式為 ； 的通項公式為 ；（2）圖象法啟發(fā)學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形具體方法是以項數 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列 為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在 軸的右側，而點的個數取決于數列的項數從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化

6、而變化的趨勢（3）遞推公式法如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法。如下數字排列的一個數列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：4、列表法簡記為 典型例題：例1：根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. 解：(

7、1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 將數列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , ；(5) 將數列變形為12, 23, 34, 45, 56,， 例2：設數列滿足寫出這個數列的前五項。 解： 二、等差數列1等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）。 公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數列,若=d (與n無關的數或字母)，n2，nN，則此數列是等差數列，d 為公差。2等差數列的通項公式：【或】等差數列定義是由一數列相

8、鄰兩項之間關系而得若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數列的通項公式可得：已知一數列為等差數列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。由上述關系還可得：即：則：=即等差數列的第二通項公式 d=3有幾種方法可以計算公差d d= d= d=4結論：（性質）在等差數列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，典型例題：例1：求等差數列8，5，2的第20項 -401是不是等差數列-5，-9，-13的項？如果是，是第幾項？解： 例3：求等差數列3，7，11，的第4項與第10項.例5：100是不是

9、等差數列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.例6：20是不是等差數列0，3，7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.例8：在等差數列中，若+=9, =7, 求 , .三、等差數列的前n項和1等差數列的前項和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性2 等差數列的前項和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用）對等差數列的前項和公式2：可化成式子：，當d0，是一個常數項為零的二次式3 由的定義可知，當n=1時，=；當n2時，=-，即=.4 對等差數列前項和的最值

10、問題有兩種方法:（1） 利用:當0，d0，前n項和有最大值可由0，且0，求得n的值當0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數配方法求得最值時n的值典型例題：例2：等差數列10，6，2，2，前9項的和多少？解：例3：等差數列前10項的和為140，其中，項數為奇數的各項的和為125，求其第6項解 例6：已知等差數列an中，S3=21，S6=64，求數列|an|的前n項和Tn例7： 在等差數列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項之和例8：已知等差數列an的公差是正數，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20項的和S20的值例9：等差數列an、bn的前n

11、項和分別為Sn和Tn，若 例10： 解答下列各題：(1)已知：等差數列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個數，使它們與這兩個數組成等差數列，并且此數列各項之和為1350，求這幾個數；(3)已知：等差數列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數列an中，an=333n，求Sn的最大值四、等比數列1等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1“從第二項起”與“前一項”之比為常數(q) 成等比數列=q（,q0）2

12、隱含：任一項“0”是數列成等比數列的必要非充分條件3 q= 1時，an為常數。2.等比數列的通項公式1: 由等比數列的定義，有：； 3.等比數列的通項公式2: 4既是等差又是等比數列的數列：非零常數列5等比數列與指數函數的關系：等比數列的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q0）上的一些孤立的點。當，q 1時，等比數列是遞增數列；當，等比數列是遞增數列；當，時，等比數列是遞減數列；當，q 1時，等比數列是遞減數列；當時，等比數列是擺動數列；當時，等比數列是常數列。6等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，那么稱這個數G為a與b的等比中項. 即G=（a,b同號）如果在a與b中

13、間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數列a,G,b成等比數列G=ab（ab0）7等比數列的性質：若m+n=p+k，則在等比數列中，m+n=p+q，有什么關系呢？由定義得： ，則8判斷等比數列的方法：定義法，中項法，通項公式法9等比數列的增減性：當q1, 0或0q1, 1, 0,或0q0時, 是遞減數列;當q=1時, 是常數列;當q0，則lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例題：例1：求和： .解：等 差 數 列等 比 數 列定 義 一般地,如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列這個常數叫公差一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫等比數列這個常數叫公比 遞推關系 （） （） （） （）