春上海教育版數(shù)學(xué)九下27.3《正多邊形與圓》word學(xué)案

1、課題正多邊形與圓1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對(duì)稱性；教學(xué)目標(biāo)2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正多邊形；3.會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.重點(diǎn)、難點(diǎn)正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系考點(diǎn)及考試要求會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算教學(xué)內(nèi)容一【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1) 各邊相等；(2) 各角相等；缺一不可. 如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形( 正方形是正多邊形).知識(shí)點(diǎn)二 、正多邊形的重要元素1. 正多

2、邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓2. 正多邊形的有關(guān)概念(1) 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心(2) 正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3) 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角(4) 正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1) 正邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；(3)正邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.要點(diǎn)詮釋： 要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識(shí)點(diǎn)

3、三 、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成2個(gè)全等的直角三角形 .3. 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n 邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.4. 邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方5. 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋： （ 1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（邊形 .2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多知識(shí)點(diǎn)四 、正多邊形的畫法1.用量角

4、器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角( 即等分頂點(diǎn)在圓心的周角) 可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n 邊形 .2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.正四、八邊形。在 O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4 等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧( 即作AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以以 O的半徑為半徑畫弧與O相交于 C、 D 和 E、

5、 F，則 A、 C、 E、 B、 F、 D 是 O的 6 等分點(diǎn)。顯然， A、 E、 F( 或 C、 B、 D)是 O的 3 等分點(diǎn)。同樣，在圖(3) 中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把O 12等分 , 。要點(diǎn)詮釋： 畫正 n 邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n 等份，（ 2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).A、 B 為圓心，二【典型例題】類型一、 正多邊形的概念例 1已知：如圖，四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P 是劣弧上不同于點(diǎn)C 的任意一點(diǎn)，則BPC的度數(shù)是（）A45°B60°C75°D90°【答案】A.【解析】如圖，連接OB、 OC，則 BOC=90°，根據(jù)

6、圓周角定理，得：BPC=BOC=45°故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用舉一反三：【變式 】如圖，O是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P 在 O上，則APB等于（）A30°B45°C55°D60°【答案】連接OA， OB根據(jù)正方形的性質(zhì)，得AOB=90°再根據(jù)圓周角定理，得APB=45°故選B例 2如圖1， PQR是 O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形，BC QR，則AOQ=（）A60°B65°C72°D75°圖1圖2【思路點(diǎn)撥】連接 OD，根據(jù)題意求

7、出POQ和 AOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出AOP度數(shù)，即可求出AOQ的度數(shù)【答案】 D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知POQ=120°， AOD=90°，由 BC RQ可知 P 為弧 AD的中點(diǎn)，所以 AOP=45°，所以 AOQ= POQ-AOP=120° - 45°=75°故選 D【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等），再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解類型二、 正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算例 3已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6cm，求這個(gè)正六邊形的半徑【答案與解析】如圖所示，過(guò)中心O作

8、OH AB 于 H，連接 OA， OB，則R，邊心距r6 ，面積AOH為直角三角形S6 1360° 1360°AOHn230°，26 R 2AH AB6(cm) ，在 Rt AOH中， r6R2AH 262323 3 (cm) ，S6 61r6 a654 3 (cm) 2【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于正多邊形與圓的計(jì)算問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解由半徑、邊心距、邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形例 4如圖，若正方形A1 B1C1D1 內(nèi)接于正方形ABCD的內(nèi)接圓，則的值為（）ABCD【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正多邊形的特點(diǎn)，構(gòu)建直角三角形來(lái)解決【答案】 B【解析】連結(jié)OC1，作 OF C1D1 于 F，交 BC

9、于 E.圖形中正方形A1 B1C1D1 和正方形ABCD一定相似，OF， OC1 分別等于兩個(gè)正方形的邊心距， OC1F 是等腰直角三角形，因而OF： OC1=，因而則的值為故選B【點(diǎn)評(píng)】邊數(shù)相同的正多邊形一定相似，邊心距的比，半徑的比都等于相似比舉一反三：【變式 】如圖是對(duì)稱中心為點(diǎn)點(diǎn)處），把這個(gè)正六邊形的面積的正六邊形如果用一個(gè)含角的直角三角板的角，借助點(diǎn)等分，那么的所有可能的值是_.（使角的頂點(diǎn)落在【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即可知： 360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷12

10、0=3；360÷180=2故么 n 的所有可能的值是2， 3，4，6，12三【鞏固練習(xí)】一、選擇題1一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為120 °，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為()A9B8C7D62如圖所示，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是2cm，這個(gè)扳手的開口a 的值應(yīng)是 ()A 2 3 cmB3 cmC 23 cm D 1 cm3第2題圖第3題圖第5題圖3如圖所示，兩個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)均為1，其中一個(gè)正六邊形的一邊恰在另一個(gè)正六邊形的對(duì)角線上，則這個(gè)圖形( 陰影部分 ) 外輪廓線的周長(zhǎng)是()A7B8C9D104正三角形、正方形、圓三者的周長(zhǎng)都等于l ，它們的面積分別為S1， S2 、 S3，則 ()A

11、 S1 S2 S3B S3 S1 S2C S1 S2 S3D S2 S1 S35中華人民共和國(guó)國(guó)旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分，然后連接五個(gè)等分點(diǎn)而得到的( 如圖所示 ) 五角星的每一個(gè)角的度數(shù)是()A30°B35°C36°D37°第 6題圖第 7題圖第 9題圖6如圖所示，是由5 把相同的折扇組成的“蝶戀花”（如圖）和梅花圖案（如圖）（圖中的折扇無(wú)重疊），則梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為（）A36°B42°C45°D 48°二、填空題7如圖所示，平面上兩個(gè)正方形與正五邊形都有一條公共邊，則等于 _ 8要用圓

12、形鐵片裁出邊長(zhǎng)為4 的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小是_ 9如圖所示，等邊ABC內(nèi)接于 O， AB 10cm，則 O的半徑是 _ 10正六邊形的周長(zhǎng)為12 ，則同半徑的正三角形的面積為_ ，同半徑的正方形的周長(zhǎng)為_ 11正六邊形的半徑是5cm，則邊長(zhǎng)a6_ ，周長(zhǎng)P6_，邊心距r6_ ，面積S6_ 12.正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為.三、解答題13如圖所示，正ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，求ABC的邊長(zhǎng)a，周長(zhǎng)P，邊心距r ，面積S14. 如圖所示，半徑為 R 的圓繞周長(zhǎng)為 10 R 的正六邊形外邊作無(wú)滑動(dòng)滾轉(zhuǎn)，繞完正六邊形后，圓一共轉(zhuǎn)了多少圈？一位同學(xué)的解答過(guò)程：圓的周長(zhǎng)為2 R，所以它繞完正六邊形后一共轉(zhuǎn)了10R 圈，結(jié)果一共轉(zhuǎn)了 5 圈你認(rèn)2 R為這位同學(xué)的解答有無(wú)錯(cuò)誤？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)更正15某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行了如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6 時(shí)，它也不