高中數(shù)學(xué) 2.1.6正、余弦定理的應(yīng)用舉例（1）教案 北師大版必修5

1、2.2.1正、余弦定理的應(yīng)用舉例（1）知識(shí)梳理一、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解二測(cè)量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.三解決有關(guān)測(cè)量、航海等問(wèn)題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）表

2、示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.典例剖析題型一 距離問(wèn)題北甲乙例1.如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？解：如圖，連結(jié)，由已知，又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里題型二 高度問(wèn)題例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)

3、，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE

4、=x，由題意，得BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2=- 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m評(píng)析：根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要把題意中的數(shù)據(jù)在圖形中體現(xiàn)出來(lái)。備選題 角度問(wèn)題例3如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到，時(shí)間精確

5、到）.解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪，則，又，.由余弦定理，得，即.化簡(jiǎn)，得圖1-3-2，解得（負(fù)值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角為.答 艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過(guò)就可靠近漁輪.評(píng)析：本例是正弦定理、余弦定理在航海問(wèn)題中的綜合應(yīng)用.解本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際，找出等量關(guān)系，在畫(huà)示意圖時(shí)，要注意方向角的畫(huà)法。點(diǎn)擊雙基一. 選擇題：1在ABC中，下列各式正確的是 （ ）A. B.asinCcsinBC.asin(AB)csinAD.c2a2b22abcos(AB) 解：根據(jù)正弦定理得,又sinC=sin(A+B), asin(AB)csinA答案：C2海上有A、B兩個(gè)小島相距10 nmi

6、le，從A島望B島和C島成60°的視角，從B島望A島和C島成75°角的視角，則B、C間的距離是 （ ）A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 解：根據(jù)題意知：AB=10，A=60°,B=75°則C=45°,a=5答案：D3在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（ ）AA. 米 B. 米C. 200米 D. 200米解：如圖，設(shè)塔高AB為h，RtCDB中，CD200，BCD90°-60°30°在ABC中，ABCBCD30&#

7、176;，ACB60°-30°30°BAC120°（m）答案：A4某人以時(shí)速a km向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速a km的南風(fēng)，那么此人感到的風(fēng)向?yàn)?，風(fēng)速為 . 答案：東南 a 5某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行30 nmile后看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是 .解：10課后作業(yè)1已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、，則這個(gè)三角形的最大角是 （ ）A.135° B.120° C.60° D.90° 解：根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，可知所對(duì)的角為最大角，設(shè)為，則

8、cos=-, 120°答案：B2如下圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)A.、a、bB.、aC.a、b、D.、 解：根據(jù)正弦定理和余弦定理知，測(cè)量a、b、，利用余弦定理可求AB的長(zhǎng)度。答案：C3. 海上有A、B、C三個(gè)小島，已知A、B之間相距8 n mile，A、C之間相距5 nmile，在A島測(cè)得B島和C島的視角為60°，則B島與C島相距的n mile數(shù)為 ( )A.7 B.6 C.5 D.4解：根據(jù)題意知：AB=8，AC=5,A=60°,根據(jù)余弦定理有BC=8=49，BC=7答案：A4在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向

9、前進(jìn)30 m至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，則等于()A15°B10°C5°D20°解：如圖，BCCA，CDDA，設(shè)AEh，則2cos2，cos2230°，15°答案：A5. 某人朝正東方向走x km后，向左轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)正好是km，那么x的值為( ) A. B.2 C.2或 D.3解：如圖，設(shè)出發(fā)點(diǎn)為A，則由已知可得ABx千米，BC3千米ABC180°-150°30°AC，CAB60°或CAB120

10、76;當(dāng)CAB60°時(shí)，ACB180°-30°-60°90°x2千米當(dāng)CAB120°，ACB180°-120°-30°30°xAC千米答案：C6. 已知一塔高80m，分別在塔底和塔頂測(cè)得一山的山頂?shù)难鼋欠謩e是60°和30°，則山高為 ( )A.240m B.180m C.140m D.120m解：DABC2第8題目7.如圖,建造一幢寬為,房頂橫截面為等腰三角形的住房,則ABC=,則等于( )時(shí),可使雨水從房頂最快流下.A.300 B.450 C.600 D.任意角解：根據(jù)題意

11、知s=AB=，加速度a=gsin.由s=得t=, =45時(shí)t最小答案：B8.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2km/h,則經(jīng)過(guò),該船的實(shí)際航程為 ( )A. B. C. D. 解：船的實(shí)際速度是v=2,則經(jīng)過(guò),該船的實(shí)際航程為2=6答案：B二填空題9一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲(chóng)，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x_解：如圖，ABC180°-105°75°BCA180°-135°45°，BC10 cmA

12、180°-75°-45°60° 10坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100 m，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)_解：如圖，DB100 mBDA45°，BCA30°設(shè)CDx(xDA)·tan30°DA·tan45°又DABD·cos45°100×x-DA50(-1)50()(m)答案：50() m11如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與測(cè)得BCD15°， BDC30°，CD30米，并在點(diǎn) 測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?/p>

13、60°, 則BC= 米, 塔高AB= 米。 解：在，在中，北2010ABC答案：， 三解答題12.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+1022×20×10cos120°=700.于是,BC=10。 ，sinACB=，ACB<90°，ACB=41°。乙船應(yīng)朝北偏東41°方向沿直線前往B處救援。13如圖，某海島上一觀察哨在上午時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的處，時(shí)分測(cè)得輪船在海島北偏西的處，時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn)，求船速.解：設(shè)，船的速度為，則，.（例3）在中，.在中，.在中，船的速度.14.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測(cè)