方程組的應(yīng)用

1、11.方程組的應(yīng)用-解讀課標(biāo)-方程組也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的有效模型，在代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值求值、解實(shí)際問(wèn)題等方面有廣泛的應(yīng)用。 一些代數(shù)式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、概念，對(duì)題意的理解等，常可以轉(zhuǎn)化為方程組求解或利用方程組探尋字母間的關(guān)系。 列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到能夠表示問(wèn)題中全部含義的等量關(guān)系，即在相等關(guān)系中，問(wèn)題所給的條件既要不遺漏地重復(fù)使用，又不能把同一條件重復(fù)利用。許多實(shí)際問(wèn)題既可用列方程求解，又可以用列方程組求解，列方程組求解常比單獨(dú)設(shè)一個(gè)未知數(shù)建立一元一次方程更容易表達(dá)數(shù)量關(guān)系，但是解方程組稍繁，這是他們的各自優(yōu)缺點(diǎn)。-問(wèn)題解決-例1. 若（a-2b+3c+4）2+（2a-3b+

2、4c-5）20，則6a-10b+14c-3= （2012希望杯邀請(qǐng)賽）試一試 由不等推倒相等，未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)怎么辦？例2. 小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時(shí)間看到的里程碑上的數(shù)如下：時(shí)刻12：0013；0014:30碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，數(shù)字之和是6個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字與12:00看到的正好顛倒了。比12:00看到的兩位數(shù)之間多一個(gè)0則12:00看到的兩位數(shù)是（） （湖北恩施市中考題）A. 24 B.42 C.51 D.15試一試 理解形勢(shì)路程與里程碑上數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵想一想：有一次，一位美國(guó)心理學(xué)家出了這樣一道題來(lái)測(cè)驗(yàn)愛(ài)因斯坦的智力:把一個(gè)正方形分成16個(gè)小

3、正方形，每個(gè)小方格內(nèi)分別有蘋果、梨、菠蘿、香蕉四種水果，小方格的右面和下面分別是4行小方格和4列小方格水果的重量，要求很快算出左邊第一列的水果重量，愛(ài)因斯坦很快得出結(jié)果，你能解答嗎？例3.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中放置了9個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形（尺寸如圖，單位：厘米），求圖中陰影部分的面積為。（）時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題試一試 大長(zhǎng)方形ABCD由小長(zhǎng)方形拼接而成，求陰影部分的面積，需求出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。例4 韋武家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司，合做需6周完成，需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬(wàn)元，若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，

4、從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，韋武家是選甲公司、還是乙公司請(qǐng)你說(shuō)明理由（廣西競(jìng)賽題）試一試 只有先求出每個(gè)公司的工效、需要的工錢，才能進(jìn)行正確的經(jīng)濟(jì)決策，因此，解本例需解兩次方程組。例5已知x1，x2，x3，xn中每一個(gè)數(shù)值只能取-2，0，1中的一個(gè)，且滿足x1+x2+xn=-17，x12+x22+xn2=37，求x13+x23+xn3的值（華羅庚杯香港中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）P=1q=9p-2q=-17P+4q=37 分析 因x1，x2，x3，xn中每一個(gè)數(shù)值只能取-2，0，1中的一個(gè)，故只需求出相應(yīng)值的個(gè)數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組。 解 設(shè)有p個(gè)xi取1，q個(gè)xi取-2，由 得 ，故原式=1×13+9

5、×（-2）3=-71例6 小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過(guò)一輛公交車，每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一輛公交車假設(shè)每輛公交車行駛速度相同，而且公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是多少分鐘？（數(shù)學(xué)周報(bào)杯全國(guó)競(jìng)賽題） 分析 本例是一個(gè)既含有相遇又含有追擊的綜合型問(wèn)題，有下列隱含的等量關(guān)系： 迎面駛來(lái)兩車距離=3（車速+人速） 背后開(kāi)來(lái)兩車距離=6（車速-人速） 迎面駛來(lái)兩車距離=背后開(kāi)來(lái)兩車距離 同向兩車距離=車速×發(fā)車間隔時(shí)間解法一 設(shè)公交車的速度為x米/分,小王行走的速度為y米/分，發(fā)車間隔為t分鐘。3（x+y）=6（x-y） ）6(x-y)=xt 則 解得

6、t=4即公交車總站發(fā)車的間隔時(shí)間為4分鐘。解法二 設(shè)同向行駛的相鄰兩車的間距為s米，發(fā)車間隔的時(shí)間為t分鐘，小王行走相距兩車間距為s米所用的時(shí)間為m分鐘。即 解得t=4即公交車總站發(fā)車間隔的時(shí)間為4分鐘。視野窗 對(duì)“勻速”、“間隔”等關(guān)鍵詞的分析可挖掘隱含的多個(gè)等量關(guān)系，這是生成不同解法的基礎(chǔ)，而恰當(dāng)引入輔助未知數(shù)，化難為易、化隱為顯是不同解法的共同特點(diǎn)。數(shù)學(xué)沖浪-知識(shí)技能廣場(chǎng)-1.如果 ，那么x+y= （呼和浩特市中考題 ）2. 由圖給出的信息，可求得每件件T恤衫和每瓶礦泉水的價(jià)格為 （吉林省中考題） 第2題圖第3題圖3.如圖，某化工廠與A，B兩地有公路和鐵路相連，這家工廠從A地購(gòu)買一批每噸

7、1 000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8 000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸千米），這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15 000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97 200元，請(qǐng)計(jì)算這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)和運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？(1) 根據(jù)題意,甲乙兩名同學(xué)分別列出尚不完整的方程組如下：1.5（20x+10y）=1.2（110x+120y）=甲： 乙： 根據(jù)甲乙兩名同學(xué)所列方程組，請(qǐng)你分別指出未知數(shù)x、y表示的意義，然后在等式右邊的方框內(nèi)內(nèi)補(bǔ)全甲乙兩名同學(xué)所列的方程組。甲：x表示的 ,y表示 乙：x表示的 ,y表示 （2012呼和浩特中

8、考）4.利用兩塊長(zhǎng)方體木塊測(cè)量一張桌子的高度首先按圖方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖方式放置測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（ ）（2009煙臺(tái)中考）A. 73cm B. 74cm C. 75cm D. 76cm5.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文已知某種加密規(guī)則為：明文a，b對(duì)應(yīng)的密文為a-2b，2a+b例如，明文1，2對(duì)應(yīng)的密文是-3，4，當(dāng)接收方收到密文是-5，5時(shí)，解密得到的明文是 （ ）（四川眉山中考題）A. -1,1 B. 1,3 C. 3,1 D. 1,16. 已知甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲

9、25歲，則甲現(xiàn)在的年齡比乙現(xiàn)在的年齡（ ） A. 甲比乙大5歲 B. 甲比乙大10歲 C. 乙比甲大10歲 D. 乙比甲大5歲7.某超市為“開(kāi)業(yè)三周年”舉行了店慶活動(dòng)對(duì)A、B兩種商品實(shí)行打折出售打折前，購(gòu)買5件A商品和1件B商品需用84元；購(gòu)買6件A商品和3件B商品需用108元而店慶期間，購(gòu)買50件A商品和50件B商品僅需960元，這比不打折少花多少錢？（2009烏魯木齊）8. 某旅行社擬在暑假期間面向?qū)W生推出“林州紅旗渠一日游”活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：人數(shù)m0m100100m200m200收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/人）9085751、 乙兩所學(xué)校計(jì)劃組織本校學(xué)生自愿參加此項(xiàng)活動(dòng)，已知甲校報(bào)名參加的學(xué)生人數(shù)多

10、于100人，乙校報(bào)名參加的學(xué)生人數(shù)少于100人經(jīng)核算，若兩校分別組團(tuán)共需花費(fèi)16875元，若兩校聯(lián)合組團(tuán)只需花費(fèi)16575元（1）兩所學(xué)校報(bào)名參加旅游的學(xué)生共有多少人？（2）兩所學(xué)校報(bào)名參加旅游的學(xué)生各有多少人？（河南中考）9.（2012龍巖）已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元

11、/次，B型車每輛需租金120元/次請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)思維方法天地10. 美國(guó)籃球巨星喬丹在一場(chǎng)比賽中（包括罰球次數(shù)）24投14中，拿下28分，其中三分球三投三中，那么喬丹兩分球投中 球，罰球投中 球（第17屆江蘇競(jìng)賽題）11. 在一條筆直的公路上，某一時(shí)刻，有一輛客車在前，一輛小轎車在后，一輛回車在客車與小轎車正中間同向行駛，過(guò)了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過(guò)了5分鐘，小轎車追上了客車；此后再過(guò)t分鐘，貨車追上了客車，則t= （2012希望杯邀請(qǐng)賽）12已知a，b，c是三個(gè)實(shí)數(shù)，且a與b的平均數(shù)是127，b與c的和的三分之一是78，c與a的和的四分之一是52，那么a，b

12、，c的平均數(shù)是 （河南競(jìng)賽題）13. （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 14. 放成一排的2005個(gè)盒子中共有4010個(gè)小球，其中最左端的盒子中放了a個(gè)小球，最右端的盒子中放了b個(gè)小球，如果任何相鄰的12個(gè)盒子中的小球共有24個(gè)，則（ ）（希望杯邀請(qǐng)賽）Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1，b=2 Da=2，b=115. 買20枝鉛筆、3塊橡皮擦、2本日記本需32元；買39枝鉛筆，5塊橡皮擦、3本日記本需58元；則買5枝鉛筆、5塊橡皮擦、5本日記本需（ ）元 A20 B25 C30 D35（16）16. 如圖，從左上角標(biāo)注2的圓圈開(kāi)始，順時(shí)針?lè)较虬碼n+b的規(guī)律（n表示前一個(gè)圓圈中的數(shù)字，a，b是常數(shù)）轉(zhuǎn)

13、換后得到下一個(gè)圓圈中的數(shù)，則標(biāo)注問(wèn)號(hào)的圓圈中的數(shù)應(yīng)是？（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）17. （天津市競(jìng)賽題）yx302528(18)18. 如圖，正方形中的每個(gè)小圖表示一個(gè)數(shù)字，相同的圖形表示相同的數(shù)字，不同的圖形表示不同的數(shù)字，正方形外的數(shù)字表示該行（或列）的數(shù)字的和，求x 、y的值 (第二十屆希望杯邀請(qǐng)賽)應(yīng)用探究樂(lè)園19. （2010湖南株洲）老師布置了一個(gè)探究活動(dòng)作業(yè)：僅用一架天平和一個(gè)10克的砝碼測(cè)量壹元硬幣和伍角硬幣的質(zhì)量（注：同種類的每枚硬幣質(zhì)量相同）聰明的孔明同學(xué)找來(lái)足夠多的壹元和伍角的硬幣，經(jīng)過(guò)探究得到以下兩個(gè)探究記錄： 記錄天平左邊天平右邊狀態(tài)記錄一5枚壹元硬幣，一個(gè)10克的

14、砝碼10枚伍角硬幣平衡記錄二15枚壹元硬幣20枚伍角硬幣，一個(gè)10克的砝碼平衡請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算出一枚壹元硬幣多少克，一枚伍角硬幣多少克？20. 涵涵游園記函函早晨到達(dá)上海世博園D區(qū)入口處等待開(kāi)園，九時(shí)整開(kāi)園，D區(qū)入口處有10n條安全檢查通道讓游客通過(guò)安檢入園，游客每分鐘按相同的人數(shù)源源不斷到達(dá)這里等待入園，直到中午十二時(shí)D區(qū)入口處才沒(méi)有排隊(duì)人群，游客一到就可安檢入園九時(shí)二十分函函通過(guò)安檢進(jìn)入上海世博園時(shí)，發(fā)現(xiàn)平均一個(gè)人通過(guò)安全檢查通道入園耗時(shí)20秒排隊(duì)的思考（1）若函函在九時(shí)整排在第3000位，則這時(shí)D區(qū)入口安檢通道可能有多少條？（2）若九時(shí)開(kāi)園時(shí)等待D區(qū)入口處的人數(shù)不變：當(dāng)安檢通道是

15、現(xiàn)有的1.2倍且每分鐘到達(dá)D區(qū)入口處的游客人數(shù)不變時(shí)，從中午十一時(shí)開(kāi)始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園；當(dāng)每分鐘到達(dá)D區(qū)入口處的游客人數(shù)增加了50%，仍要求從十二時(shí)開(kāi)始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園，求這時(shí)需要增加安檢通道的數(shù)量（2010宜昌）視野窗 第20題的模型源于著名的牛頓問(wèn)題-牛吃草問(wèn)題。 這個(gè)問(wèn)題涉及的量有：原有的草量，單位時(shí)間內(nèi)生長(zhǎng)的草量，單位時(shí)間內(nèi)每頭牛吃掉的草量，多重設(shè)元，整體求解是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。微探究借助圖形思考 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系的科學(xué)，數(shù)與形，以及數(shù)與行的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這事數(shù)學(xué)研究的永恒主題。當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么

16、思維就整體地把握了問(wèn)題，并能創(chuàng)造性的思考問(wèn)題”?，F(xiàn)階段借助圖形思考主要體現(xiàn)為：通過(guò)構(gòu)造圖形或拼圖解與數(shù)量關(guān)系相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題。例1.A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽當(dāng)比賽進(jìn)行到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出A、B、C、D、E五隊(duì)已經(jīng)分別比賽了5、4、3、2、1場(chǎng)球，則還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是 試一試 用算數(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境，用六個(gè)點(diǎn)表示.A、B、C、D、E、F這6個(gè)球隊(duì)，若兩隊(duì)已經(jīng) 賽過(guò)一場(chǎng)，就在相應(yīng)的兩點(diǎn)間連一條線，這樣用圖形輔助解題，形象而直觀。例3. 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：他們研究過(guò)圖1中的1、3、6、10、，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；

17、類似地，稱圖2中的1、4、9、16、這樣的為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形又是正方形：A289 B1024 C1225 D1378試一試 分析三角形數(shù)、正方形數(shù)的特征，并用 n的代數(shù)式表示 例3. 有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形的卡片，如圖如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙）（1）請(qǐng)畫(huà)出如圖這個(gè)長(zhǎng)方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間關(guān)系說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方形的代數(shù)意義這個(gè)長(zhǎng)方形的代數(shù)意義是 （2）小明想用類似的方法拼成了一個(gè)邊長(zhǎng)為a+3b和2a+b的矩形框來(lái)解釋某一個(gè)乘法公式，那么小明需用2號(hào)卡片 張，3號(hào)卡片 張（浙江衢州中考題）試一試 為避拼圖的盲目性，從整式的乘法入手。視野窗拼圖，即把所給的圖形以不同方式拼成新的圖形，把圖形面積用不同形式的代數(shù)式表示，若拼拼圖前后的面積相等，則相應(yīng)的代數(shù)式的值也相當(dāng)?shù)?。拼圖形象的揭示了代數(shù)式的關(guān)系，其直觀作用體現(xiàn)為：（1） 驗(yàn)證乘法公式（2） 證明幾何定理例4. 一只小漁船在海上遇到臺(tái)風(fēng)，觸到礁石上，船身撞出一個(gè)窟窿,如果不把它堵上，漁船就有沉沒(méi)的危險(xiǎn)，船中只有一塊邊長(zhǎng)是8cm的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面積少了1cm2，怎么辦好呢？8×8=64cm213&#