方程組的應用

1、11.方程組的應用-解讀課標-方程組也是刻畫現實數量關系的有效模型，在代數式的化簡求值求值、解實際問題等方面有廣泛的應用。 一些代數式化簡求值問題，運用相關性質、概念，對題意的理解等，常可以轉化為方程組求解或利用方程組探尋字母間的關系。 列方程組解應用題的關鍵是找到能夠表示問題中全部含義的等量關系，即在相等關系中，問題所給的條件既要不遺漏地重復使用，又不能把同一條件重復利用。許多實際問題既可用列方程求解，又可以用列方程組求解，列方程組求解常比單獨設一個未知數建立一元一次方程更容易表達數量關系，但是解方程組稍繁，這是他們的各自優(yōu)缺點。-問題解決-例1. 若（a-2b+3c+4）2+（2a-3b+

2、4c-5）20，則6a-10b+14c-3= （2012希望杯邀請賽）試一試 由不等推倒相等，未知數個數多于方程個數怎么辦？例2. 小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數如下：時刻12：0013；0014:30碑上的數是一個兩位數，數字之和是6個位數字與十位數字與12:00看到的正好顛倒了。比12:00看到的兩位數之間多一個0則12:00看到的兩位數是（） （湖北恩施市中考題）A. 24 B.42 C.51 D.15試一試 理解形勢路程與里程碑上數的關系是解題關鍵想一想：有一次，一位美國心理學家出了這樣一道題來測驗愛因斯坦的智力:把一個正方形分成16個小

3、正方形，每個小方格內分別有蘋果、梨、菠蘿、香蕉四種水果，小方格的右面和下面分別是4行小方格和4列小方格水果的重量，要求很快算出左邊第一列的水果重量，愛因斯坦很快得出結果，你能解答嗎？例3.如圖，長方形ABCD中放置了9個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖，單位：厘米），求圖中陰影部分的面積為。（）時代學習報數學文化節(jié)試題試一試 大長方形ABCD由小長方形拼接而成，求陰影部分的面積，需求出小長方形的長與寬。例4 韋武家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司，合做需6周完成，需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬元，若只選一個公司單獨完成，

4、從節(jié)約開支角度考慮，韋武家是選甲公司、還是乙公司請你說明理由（廣西競賽題）試一試 只有先求出每個公司的工效、需要的工錢，才能進行正確的經濟決策，因此，解本例需解兩次方程組。例5已知x1，x2，x3，xn中每一個數值只能取-2，0，1中的一個，且滿足x1+x2+xn=-17，x12+x22+xn2=37，求x13+x23+xn3的值（華羅庚杯香港中學數學競賽）P=1q=9p-2q=-17P+4q=37 分析 因x1，x2，x3，xn中每一個數值只能取-2，0，1中的一個，故只需求出相應值的個數，將問題轉化為解方程組。 解 設有p個xi取1，q個xi取-2，由 得 ，故原式=1×13+9

5、×（-2）3=-71例6 小王沿街勻速行走，發(fā)現每隔6分鐘從背后駛過一輛公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛公交車假設每輛公交車行駛速度相同，而且公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是多少分鐘？（數學周報杯全國競賽題） 分析 本例是一個既含有相遇又含有追擊的綜合型問題，有下列隱含的等量關系： 迎面駛來兩車距離=3（車速+人速） 背后開來兩車距離=6（車速-人速） 迎面駛來兩車距離=背后開來兩車距離 同向兩車距離=車速×發(fā)車間隔時間解法一 設公交車的速度為x米/分,小王行走的速度為y米/分，發(fā)車間隔為t分鐘。3（x+y）=6（x-y） ）6(x-y)=xt 則 解得

6、t=4即公交車總站發(fā)車的間隔時間為4分鐘。解法二 設同向行駛的相鄰兩車的間距為s米，發(fā)車間隔的時間為t分鐘，小王行走相距兩車間距為s米所用的時間為m分鐘。即 解得t=4即公交車總站發(fā)車間隔的時間為4分鐘。視野窗 對“勻速”、“間隔”等關鍵詞的分析可挖掘隱含的多個等量關系，這是生成不同解法的基礎，而恰當引入輔助未知數，化難為易、化隱為顯是不同解法的共同特點。數學沖浪-知識技能廣場-1.如果 ，那么x+y= （呼和浩特市中考題 ）2. 由圖給出的信息，可求得每件件T恤衫和每瓶礦泉水的價格為 （吉林省中考題） 第2題圖第3題圖3.如圖，某化工廠與A，B兩地有公路和鐵路相連，這家工廠從A地購買一批每噸

7、1 000元的原料運回工廠，制成每噸8 000元的產品運到B地已知公路運價為1.5元/（噸千米），鐵路運價為1.2元/（噸千米），這兩次運輸共支出公路運費15 000元，鐵路運費97 200元，請計算這批產品的銷售款比原料費和運輸費的和多多少元？(1) 根據題意,甲乙兩名同學分別列出尚不完整的方程組如下：1.5（20x+10y）=1.2（110x+120y）=甲： 乙： 根據甲乙兩名同學所列方程組，請你分別指出未知數x、y表示的意義，然后在等式右邊的方框內內補全甲乙兩名同學所列的方程組。甲：x表示的 ,y表示 乙：x表示的 ,y表示 （2012呼和浩特中

8、考）4.利用兩塊長方體木塊測量一張桌子的高度首先按圖方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖方式放置測量的數據如圖，則桌子的高度是（ ）（2009煙臺中考）A. 73cm B. 74cm C. 75cm D. 76cm5.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文已知某種加密規(guī)則為：明文a，b對應的密文為a-2b，2a+b例如，明文1，2對應的密文是-3，4，當接收方收到密文是-5，5時，解密得到的明文是 （ ）（四川眉山中考題）A. -1,1 B. 1,3 C. 3,1 D. 1,16. 已知甲是乙現在的年齡時，乙10歲乙是甲現在的年齡時，甲

9、25歲，則甲現在的年齡比乙現在的年齡（ ） A. 甲比乙大5歲 B. 甲比乙大10歲 C. 乙比甲大10歲 D. 乙比甲大5歲7.某超市為“開業(yè)三周年”舉行了店慶活動對A、B兩種商品實行打折出售打折前，購買5件A商品和1件B商品需用84元；購買6件A商品和3件B商品需用108元而店慶期間，購買50件A商品和50件B商品僅需960元，這比不打折少花多少錢？（2009烏魯木齊）8. 某旅行社擬在暑假期間面向學生推出“林州紅旗渠一日游”活動，收費標準如下：人數m0m100100m200m200收費標準（元/人）9085751、 乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動，已知甲校報名參加的學生人數多

10、于100人，乙校報名參加的學生人數少于100人經核算，若兩校分別組團共需花費16875元，若兩校聯合組團只需花費16575元（1）兩所學校報名參加旅游的學生共有多少人？（2）兩所學校報名參加旅游的學生各有多少人？（河南中考）9.（2012龍巖）已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物根據以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）請你幫該物流公司設計租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元

11、/次，B型車每輛需租金120元/次請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費思維方法天地10. 美國籃球巨星喬丹在一場比賽中（包括罰球次數）24投14中，拿下28分，其中三分球三投三中，那么喬丹兩分球投中 球，罰球投中 球（第17屆江蘇競賽題）11. 在一條筆直的公路上，某一時刻，有一輛客車在前，一輛小轎車在后，一輛回車在客車與小轎車正中間同向行駛，過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；此后再過t分鐘，貨車追上了客車，則t= （2012希望杯邀請賽）12已知a，b，c是三個實數，且a與b的平均數是127，b與c的和的三分之一是78，c與a的和的四分之一是52，那么a，b

12、，c的平均數是 （河南競賽題）13. （全國初中數學聯賽） 14. 放成一排的2005個盒子中共有4010個小球，其中最左端的盒子中放了a個小球，最右端的盒子中放了b個小球，如果任何相鄰的12個盒子中的小球共有24個，則（ ）（希望杯邀請賽）Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1，b=2 Da=2，b=115. 買20枝鉛筆、3塊橡皮擦、2本日記本需32元；買39枝鉛筆，5塊橡皮擦、3本日記本需58元；則買5枝鉛筆、5塊橡皮擦、5本日記本需（ ）元 A20 B25 C30 D35（16）16. 如圖，從左上角標注2的圓圈開始，順時針方向按an+b的規(guī)律（n表示前一個圓圈中的數字，a，b是常數）轉

13、換后得到下一個圓圈中的數，則標注問號的圓圈中的數應是？（時代學習報數學文化節(jié)試題）17. （天津市競賽題）yx302528(18)18. 如圖，正方形中的每個小圖表示一個數字，相同的圖形表示相同的數字，不同的圖形表示不同的數字，正方形外的數字表示該行（或列）的數字的和，求x 、y的值 (第二十屆希望杯邀請賽)應用探究樂園19. （2010湖南株洲）老師布置了一個探究活動作業(yè)：僅用一架天平和一個10克的砝碼測量壹元硬幣和伍角硬幣的質量（注：同種類的每枚硬幣質量相同）聰明的孔明同學找來足夠多的壹元和伍角的硬幣，經過探究得到以下兩個探究記錄： 記錄天平左邊天平右邊狀態(tài)記錄一5枚壹元硬幣，一個10克的

14、砝碼10枚伍角硬幣平衡記錄二15枚壹元硬幣20枚伍角硬幣，一個10克的砝碼平衡請你用所學的數學知識計算出一枚壹元硬幣多少克，一枚伍角硬幣多少克？20. 涵涵游園記函函早晨到達上海世博園D區(qū)入口處等待開園，九時整開園，D區(qū)入口處有10n條安全檢查通道讓游客通過安檢入園，游客每分鐘按相同的人數源源不斷到達這里等待入園，直到中午十二時D區(qū)入口處才沒有排隊人群，游客一到就可安檢入園九時二十分函函通過安檢進入上海世博園時，發(fā)現平均一個人通過安全檢查通道入園耗時20秒排隊的思考（1）若函函在九時整排在第3000位，則這時D區(qū)入口安檢通道可能有多少條？（2）若九時開園時等待D區(qū)入口處的人數不變：當安檢通道是

15、現有的1.2倍且每分鐘到達D區(qū)入口處的游客人數不變時，從中午十一時開始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園；當每分鐘到達D區(qū)入口處的游客人數增加了50%，仍要求從十二時開始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園，求這時需要增加安檢通道的數量（2010宜昌）視野窗 第20題的模型源于著名的牛頓問題-牛吃草問題。 這個問題涉及的量有：原有的草量，單位時間內生長的草量，單位時間內每頭牛吃掉的草量，多重設元，整體求解是解決這類問題的關鍵。微探究借助圖形思考 數學是研究數量關系與空間關系的科學，數與形，以及數與行的關聯與轉化，這事數學研究的永恒主題。當代美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么

16、思維就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性的思考問題”?，F階段借助圖形思考主要體現為：通過構造圖形或拼圖解與數量關系相關聯的問題。例1.A、B、C、D、E、F六個足球隊進行循環(huán)比賽當比賽進行到某一天時，統(tǒng)計出A、B、C、D、E五隊已經分別比賽了5、4、3、2、1場球，則還沒有與B隊比賽的球隊是 試一試 用算數或代數方法解，易陷入困境，用六個點表示.A、B、C、D、E、F這6個球隊，若兩隊已經 賽過一場，就在相應的兩點間連一條線，這樣用圖形輔助解題，形象而直觀。例3. 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數比如：他們研究過圖1中的1、3、6、10、，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；

17、類似地，稱圖2中的1、4、9、16、這樣的為正方形數下列數中既是三角形又是正方形：A289 B1024 C1225 D1378試一試 分析三角形數、正方形數的特征，并用 n的代數式表示 例3. 有足夠多的長方形和正方形的卡片，如圖如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙）（1）請畫出如圖這個長方形的草圖，并運用拼圖前后面積之間關系說明這個長方形的代數意義這個長方形的代數意義是 （2）小明想用類似的方法拼成了一個邊長為a+3b和2a+b的矩形框來解釋某一個乘法公式，那么小明需用2號卡片 張，3號卡片 張（浙江衢州中考題）試一試 為避拼圖的盲目性，從整式的乘法入手。視野窗拼圖，即把所給的圖形以不同方式拼成新的圖形，把圖形面積用不同形式的代數式表示，若拼拼圖前后的面積相等，則相應的代數式的值也相當等。拼圖形象的揭示了代數式的關系，其直觀作用體現為：（1） 驗證乘法公式（2） 證明幾何定理例4. 一只小漁船在海上遇到臺風，觸到礁石上，船身撞出一個窟窿,如果不把它堵上，漁船就有沉沒的危險，船中只有一塊邊長是8cm的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面積少了1cm2，怎么辦好呢？8×8=64cm213&#