高中數(shù)學(xué)選修2-2反證法 (2)

1、反證法反證法直接證明：直接證明：(1)綜合法綜合法(2)分析法分析法由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論pq條件結(jié)論 古時候有個人叫王戎，古時候有個人叫王戎，7歲那年歲那年的某一天和小伙伴在路邊玩，看見的某一天和小伙伴在路邊玩，看見一棵李子樹上的果實(shí)多得把樹枝都一棵李子樹上的果實(shí)多得把樹枝都快壓斷了，小伙伴們都跑去摘，只快壓斷了，小伙伴們都跑去摘，只有王戎站著沒動。他說：有王戎站著沒動。他說：“李子是李子是苦的苦的,我不吃。我不吃?！毙』锇檎獊硪粐L，小伙伴摘來一嘗，李子果然苦得沒法吃。李子果然苦得沒法吃。小故事小小伙伴伙伴問王戎問王戎: :“這就怪了

2、這就怪了! !你又你又沒有吃沒有吃, ,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊? ?”王戎說王戎說: :“如果李子是甜的如果李子是甜的, ,樹樹長在路邊長在路邊, ,李子早就沒了！李李子早就沒了！李子現(xiàn)在還那么多子現(xiàn)在還那么多, ,所以啊所以啊, ,肯肯定李子是苦的，不好吃定李子是苦的，不好吃! !”例例: :小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨昨天晚上下雨了。天晚上下雨了?！蹦軐π∪A的判斷說出理由嗎？您能對小華的判斷說出理由嗎？如果昨天晚上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的，如果昨天晚上沒有下雨，那么

3、地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。雨是正確的。在證明一個命題時，人們有時在證明一個命題時，人們有時先假設(shè)命題不成先假設(shè)命題不成立立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾矛盾，從而得出從而得出假設(shè)命題不成立假設(shè)命題不成立是錯誤的是錯誤的，即所求證，即所求證的命題正確的命題正確.這種證明方法叫做這種證明方法叫做反證法反證法。反證法反證法發(fā)生在身邊的例子發(fā)生在身邊的例子:媽媽媽媽:小華小華,聽說鄰居小芳全家這幾天都外出旅游聽

4、說鄰居小芳全家這幾天都外出旅游.小華小華:不可能不可能,我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢!上述對話中上述對話中,小華要告訴媽媽的命題是什么小華要告訴媽媽的命題是什么?他是如何推斷該命題的正確性的他是如何推斷該命題的正確性的?小芳全家沒外出旅游小芳全家沒外出旅游.小芳全家沒外出旅游，假設(shè)小芳全家外出旅游，小芳全家沒外出旅游，假設(shè)小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，與上午在學(xué)校碰到小那么今天不可能碰到小芳，與上午在學(xué)校碰到小芳和她媽媽矛盾，所以假設(shè)不成立，所以小芳全芳和她媽媽矛盾，所以假設(shè)不成立，所以小芳全家沒外出旅游家沒外出旅游證明：在一個三角形中至少證明：

5、在一個三角形中至少 有一個角不小于有一個角不小于60.引例引例ABC三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于假設(shè)假設(shè)反證法的一般步驟：反證法的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假即假 設(shè)結(jié)論的反面成立；設(shè)結(jié)論的反面成立； (2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設(shè)不正確，由矛盾判定假設(shè)不正確， 從而肯定命題的結(jié)論正確。從而肯定命題的結(jié)論正確。 反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論qppq歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、定理、定義矛盾； （

6、3 3）自相矛盾。）自相矛盾。反證法：反證法：反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真 適宜使用反證法的情況適宜使用反證法的情況 （1）結(jié)論以否定形式出現(xiàn)）結(jié)論以否定形式出現(xiàn) （2）結(jié)論以）結(jié)論以“至多至多-，” ，“至少至少-”形式出現(xiàn)形式出現(xiàn) （ 3）唯一性、存在性問題）唯一性、存在性問題 （4） 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易 研究的命題。研究的命題。常見否定用語常見否定用語是是不是不是 有有沒有沒有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一個不是不都是，即至少有一個不是都有都有不都有，即至少有一個沒有不都有，即至少有一個沒有都不是都不是 部分或全部是，即

7、至少有一個是部分或全部是，即至少有一個是唯一唯一 至少有兩個至少有兩個至少有一個有（是）至少有一個有（是）全部沒有（不是）全部沒有（不是）至少有一個不至少有一個不全部都全部都反饋練習(xí)反饋練習(xí)1 1、寫出用、寫出用“反證法反證法”證明下列命題的第證明下列命題的第一步一步“假設(shè)假設(shè)”. .(1)(1)互補(bǔ)的兩個角不能都大于互補(bǔ)的兩個角不能都大于9090. . (2)(2)ABCABC中中, ,最多有一個鈍角最多有一個鈍角 假設(shè)互補(bǔ)的兩個角都大于假設(shè)互補(bǔ)的兩個角都大于90.假設(shè)假設(shè)ABC中中,至少有兩個鈍角至少有兩個鈍角2 2、“已知已知: : ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.求證求證:

8、B90:B180B+C+A180. .這與三角形內(nèi)角和這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾定理相矛盾. .(2)(2)所以所以B90Bb0ab0，那么，那么a a b b證：假設(shè) a b不成立，則 a b證：假設(shè) a b不成立，則 a b若 a =b，則a = b,若 a =b，則a = b,與已知a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。 例例2.2.求證：求證： 是無理數(shù)。是無理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n

9、使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。總結(jié)提煉總結(jié)提煉1 1.用反證法證明命題的一般步驟是什么用反證法證明命題的一般步驟是什么? 用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾是與

10、題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾,與已知定義、與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等反設(shè)反設(shè) 歸謬歸謬 結(jié)論結(jié)論2.用反證法證題用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些矛盾的主要類型有哪些?推理推理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理（歸納、類比）（歸納、類比） （三段論）（三段論）證明證明 直接證明直接證明 間接證明間接證明（分析法、綜合法）（分析法、綜合法） （反證法）（反證法）數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)公理化思想公理化思想備選備選證明：假設(shè)以任意三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形。記四個 點(diǎn)為A、B、C、D?？紤]點(diǎn)D在 之內(nèi)或之外兩種情況。ABC(1)如果點(diǎn)D在 之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，ABCD

11、ABCBDCADBADC,都為銳角三角形所以270BDCADBADC這與一個周角為這與一個周角為360矛盾。矛盾。 演練反饋演練反饋(1)如果點(diǎn)D在 之外，根據(jù)假設(shè)，ABCADBCBCDBADADCABC,都是銳角三角形，即360ADCBCDABCBAD這與四邊形內(nèi)角和矛盾。這與四邊形內(nèi)角和矛盾。所以，綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目結(jié)論成立所以，綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目結(jié)論成立。即這些三角形不可能都為銳角三角形。即這些三角形不可能都為銳角三角形。用反證法證明：圓的兩條不是直徑用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如圖，在：如圖，在 O中，弦中

12、，弦AB、CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P，且，且AB、CD不是直徑不是直徑.求證：求證：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 1 1證明：證明：假設(shè)弦假設(shè)弦AB、CD被被P平分平分，連結(jié)連結(jié) AD、BD、BC、AC, DPOBAC因?yàn)橄乙驗(yàn)橄褹B、CD被被P點(diǎn)平分，所以四邊形點(diǎn)平分，所以四邊形ADBC是平行四邊形是平行四邊形所以所以CBDCADADBACB,因?yàn)橐驗(yàn)?ABCD為圓內(nèi)接四邊形為圓內(nèi)接四邊形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，對角線所以，對角線AB、CD均為直徑，均為直徑，這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立所以，弦所以，

13、弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反證法證明：圓的兩條不是直徑用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如圖，在：如圖，在 O中，弦中，弦AB、CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P，且，且AB、CD不是直徑不是直徑.求證：求證：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P點(diǎn)一定不是圓心點(diǎn)一定不是圓心O，連結(jié)，連結(jié)OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有根據(jù)垂徑定理的推論，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。證明：證明：假設(shè)弦假設(shè)弦AB、CD被被P平分，平分，即過點(diǎn)即過點(diǎn)P有兩條直線與有兩條直線與OP都垂直，都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成

14、立這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立證法二證法二OPAB，OPCD，2. 2. 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一個根。個根。證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = =

15、0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。備選備選【探究探究2】 已知已知 a 0 ,0 ,關(guān)于關(guān)于 x x 的方程的方程 a x = b 有解嗎？有解嗎？【探究探究1】將將9個球分別染成紅色或白色個球分別染成紅色或白色 無論怎樣染色，至少有無論怎樣染色，至少有5個球個球 一一 定是同色的。正確嗎？定是同色的。正確嗎？ 反反 證證 法法解唯一嗎？解唯一嗎？【例例1】給定實(shí)數(shù)給定實(shí)數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 求證：經(jīng)過函數(shù)圖像上任求證：經(jīng)過函數(shù)圖像上任 意兩個不同點(diǎn)的直線意兩個不同點(diǎn)的直線 不平行于不平行于x軸。軸。10,aaa且)1,(11)(axRxaxxxf41)1( ,)1(,)1(, )1 , 0(,2不能同時大于不能同時大于求證：求證：已知已知】【例【例accbbacba 例4已知0 x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上為增函數(shù)，則f(f(x0)f(x0)， 又f(f(x0)x0，x0f(x0)，與假設(shè)矛盾， 若x0f(x0)1，則f(x0)f(f(x0)， 又f(f(x0)x0，f(x0)x0也與假設(shè)矛盾 綜上所述，當(dāng)x01，f(x0)1且f(f(x0)x0時有f(x0)x0. 已知p3q32，求證