平面圖形1(0509)

1、附附 錄錄平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)選擇材料選擇材料與材料的機(jī)械性質(zhì)有關(guān)與材料的機(jī)械性質(zhì)有關(guān)確定尺寸確定尺寸與截面大小、形狀有關(guān)與截面大小、形狀有關(guān)拉壓：拉壓：應(yīng)力均布，僅需滿足應(yīng)力均布，僅需滿足 ， 不考慮形狀；不考慮形狀；NFA 扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：應(yīng)力不均布，出現(xiàn)應(yīng)力不均布，出現(xiàn) ，APdAI2在面積在面積A相同，但形狀不同的情況下，應(yīng)相同，但形狀不同的情況下，應(yīng)力分布不同。力分布不同。1、靜矩、靜矩oyzAdAyz AydAzS AzdAyS圖形對(duì)圖形對(duì)y軸的靜矩軸的靜矩圖形對(duì)圖形對(duì)z軸的靜矩軸的靜矩單位：?jiǎn)挝唬?m-1-1 靜矩和形心靜矩和形心2、形心、形心 截面的形心截面的形心

2、C 的坐標(biāo)的坐標(biāo) 公式為：公式為：ASAxdAxyA ASAydAyxA oyxACczy 討論討論（1）靜矩可）靜矩可 0； 0； 0。（2）靜矩和形心的關(guān)系以及兩者之間的互求）靜矩和形心的關(guān)系以及兩者之間的互求:ASAxdAxyA ASAydAyxA AySxAxSy（3）若）若yzAC, 0, 0zy則則. 0, 0yzSSy、z軸稱為形心軸。軸稱為形心軸。若已知若已知, 0, 0yzSS 則可確定則可確定z z軸、軸、y y軸通軸通過(guò)截面形心。過(guò)截面形心。截面對(duì)形心軸的靜矩等于零。截面對(duì)形心軸的靜矩等于零。若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心。若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必

3、過(guò)形心。 3、 組合截面組合截面截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于該截面對(duì)于同一軸的靜矩。面對(duì)于同一軸的靜矩。 由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面其中：其中： Ai 第第 i 個(gè)簡(jiǎn)單截面面積個(gè)簡(jiǎn)單截面面積 第第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)),(yxii組合截面靜矩的計(jì)算公式為組合截面靜矩的計(jì)算公式為xASiniiy 1 niiixyAS1 計(jì)算組合截面形心坐標(biāo)的公式如下：計(jì)算組合截面形心坐標(biāo)的公式如下： niiniiiAxAx11 niiniiiAyAy111010120o80

4、取取 x 軸和軸和 y 軸分別與截面軸分別與截面的底邊和左邊緣重合的底邊和左邊緣重合解：將截面分為解：將截面分為 1，2 兩個(gè)矩形。兩個(gè)矩形。12x1y1x2y2yxAAxAxAAxAxniiniii21221111 AAyAyAy212211 例例 1-1 試確定圖示截面形心試確定圖示截面形心 C 的位置的位置。1010120o8012x1y1x2y2yx矩形矩形 1mmA21120012010 mmx51 mmy601 矩形矩形 2mmA227007010 mmx45270102 mmy52 所以所以4 40 0m mm m1 19 90 00 07 75 55 50 00 0A AA A

5、y yA Ay yA Ay y2 20 0m mm m1 19 90 00 03 37 75 50 00 0A AA Ax xA Ax xA Ax x2 21 12 22 21 11 12 21 12 22 21 11 11010120o8012x1y1x2y2yx),(xyC1、慣性矩、慣性矩oyzAdAyz AydAzI AzdAyI圖形對(duì)圖形對(duì)y軸的慣性矩軸的慣性矩圖形對(duì)圖形對(duì)z軸的慣性矩軸的慣性矩單位：?jiǎn)挝唬?m-2-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑 討論討論: :（1）慣性矩恒）慣性矩恒 0；（2）,2AiIyyAiIzz2所以所以,AIiyyAIizzzyii ,慣性半徑慣性半

6、徑（單位：（單位： ） m2、極慣性矩、極慣性矩oyzAdAyzAPdAI2圖形對(duì)圖形對(duì)o點(diǎn)的極慣矩點(diǎn)的極慣矩單位：?jiǎn)挝唬?m 討論討論（1）222yz zyII AAdAydAz22APdAI2AdAyz)(22oyzAdAyzyzzy222yz且且APdAI2AdAyz)(22zyII即即對(duì)對(duì)o o點(diǎn)極慣性矩點(diǎn)極慣性矩 = =對(duì)同一平面內(nèi)過(guò)對(duì)同一平面內(nèi)過(guò)o o點(diǎn)任意兩個(gè)相點(diǎn)任意兩個(gè)相互垂直軸的慣矩之和互垂直軸的慣矩之和zyII PI所以所以 只與原點(diǎn)只與原點(diǎn)o有關(guān)，即有關(guān)，即constIIzy（2）0, 0yzII0恒pI例例 2 _ 1 求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸 x ,

7、y 軸的慣性矩。軸的慣性矩。 dA = b dy解解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAx dAyIAx 2123hbIy 例例 2 - 2 求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩 。解：因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心解：因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心 O 的的極慣性矩為極慣性矩為yxd所以所以644dIIyx 324dI IIIyx IIyx 1、慣性積、慣性積AyzyzdAI圖形對(duì)圖形對(duì)y、z兩軸的慣性積兩軸的慣性積單位：?jiǎn)挝唬?moyzAdAyz 討論討論-3-3 慣性積慣性積（2）若圖形有一對(duì)稱軸，則）若圖形有一對(duì)稱軸，則0yzI（1） 可可 0； 0； 0；yzIyzIA

8、IIAIIIAIVAIIIAAyzdAyzdAIVIIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdAIVIIIAAyzdAyzdA0（3）若）若, 0yzI則則y、z軸稱為軸稱為主慣性軸（主軸）主慣性軸（主軸）。對(duì)稱軸一定是主軸，主軸不一定是對(duì)稱軸。對(duì)稱軸一定是主軸，主軸不一定是對(duì)稱軸。通過(guò)形心的主軸稱為形心主慣性軸。通過(guò)形心的主軸稱為形心主慣性軸。yzbh例：例：1、矩形。求、矩形。求zyyzyzyziiIIISS,解：解：. 0, 0yzSS（1）（2）dAzIAy2zdz222hhbdzz2233hhzb3121bh同理同理dAyIAz23121hbAIiyyAIizz,63hb

9、63c（3）AyzyzdAI02 2、組合圖形的幾何性質(zhì)、組合圖形的幾何性質(zhì)dD根據(jù)定義：根據(jù)定義：整個(gè)圖形對(duì)某一軸的慣性矩（靜矩、慣性積整個(gè)圖形對(duì)某一軸的慣性矩（靜矩、慣性積）等于各個(gè)）等于各個(gè)分圖形對(duì)同一軸的慣性矩（靜矩、慣性積分圖形對(duì)同一軸的慣性矩（靜矩、慣性積）之和。）之和。IIIIIIyz例如例如:IIIIIIAAAA則則dAzIAy2IIIIIIyzdAzdAzdAzIIIIIIAAA222yIIIyIIyIIIImiyiI1同理同理,1mizizII,1mizizSS,1miyiySSmiyziyzII1空心圓空心圓小大PPPIII44321321dD)1 (32144D其中其中

10、Dd小大zzzyIIII)1 (64144DdDyzIIIIIIyz31iyiyIIy1ACyzdAyzo1y1zba1z1y已知已知:,yzyzIII( (y、z軸過(guò)形心軸過(guò)形心C) )求求1111,zyyzIII及),(11zzyy解：解：,1bzz,1ayy代入定義式：代入定義式：-4 平行移軸公式平行移軸公式 AdAyzba1z1yCyzo1y1zdAzIAy211dAbzA2)(dAbdAzbdAzAAA222AbbSIyy22AbIIyy21同理同理AaIIzz21dAzyIAzy1111dAaybzA)(dAabdAbydAazdAyzAAAA00abAIyz平行移軸公式平行移軸

11、公式 注意：注意：平行移軸公式平行移軸公式AbIIyy21AaIIzz21abAIIyzzy11AdAyzba1z1yCyzo1y1z例例 3 -1 求梯形截面對(duì)其形心軸求梯形截面對(duì)其形心軸 yc 的慣性矩的慣性矩。解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對(duì)稱軸截面的形心必在對(duì)稱軸 zc 上。上。取過(guò)矩形取過(guò)矩形 2 的形心且平行的形心且平行記作記作 y 軸軸 。于底邊的軸作為參考軸，于底邊的軸作為參考軸，所以截面的形心坐標(biāo)為所以截面的形心坐標(biāo)為140201 A801 Z201002 A02 Z2014010020zcycy12m

12、mAAZAZAZC746212211. ZCZC2014010020y12zcyc).(746801402014020121231 IyC).(7462010020100121232 IyCmIIIyCyCyC4621101212 .oyzAdAyz1z1y1y1z設(shè)一平面圖形設(shè)一平面圖形,已知已知 求求,yzyzIIIA1111,zyyzIII -5 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸1. 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式順時(shí)針轉(zhuǎn)取為順時(shí)針轉(zhuǎn)取為 號(hào)號(hào) 逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為 + 號(hào)，號(hào)，1y解解:sincos1zyysincos1yzzAdAy22sinAydAzI211AdAyz2)sincos(Ad

13、Az22cosAyzdAcossin222sin2sincoszyzyIIIoyzAdAyz1z1y1zoyzAdAyz1z1y1y1z同理同理22sin2sincos1yyzzzIIII改寫為改寫為并且并且constIIIIzyzy11)2cos1 (21sin)2cos1 (21cos22和又2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2sin2cos221yzzyzyyIIIIIIoyzAdAyz1z1y1y1zAzydAzyI1111AdAyzzy)sincos)(sincos(AdAyzcossin)(22AyzdA)sin(cos222cos2sin)(21yzzyIII2 2

14、、主慣性軸及主慣性矩、主慣性軸及主慣性矩oyzAdAyz0z0y00若若, 000zyI則則 軸稱為軸稱為主慣性軸（主軸）。主慣性軸（主軸）。00,zy如坐標(biāo)原點(diǎn)與形心重合如坐標(biāo)原點(diǎn)與形心重合,則稱為則稱為形心主慣性軸。形心主慣性軸。對(duì)主慣性軸的的慣性矩稱為對(duì)主慣性軸的的慣性矩稱為主慣性矩主慣性矩方向方向 的求解的求解: 002cos2sin)(210000yzzyzyIIIIzyyzIIItg220代入代入,得主慣矩為得主慣矩為002sin2cos220yzzyzyyIIIIII002sin2sin220yzzyzyzIIIIII求求 minmax,II02cos22sin)(1yzzyyI

15、IIddIzyyzIIItg2202tg因此主慣性軸的慣性矩因此主慣性軸的慣性矩 即過(guò)即過(guò)o o點(diǎn)各軸中的慣矩極值點(diǎn)各軸中的慣矩極值. .00,zyII可求得可求得:00max2sin2cos22yzzyzyIIIIII00min2sin2sin22yzzyzyIIIIII0zI0yIIIIIIIIzyyzyzyZ2214)(2200還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到，得出還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到，得出主慣性矩的計(jì)算公式主慣性矩的計(jì)算公式（I.19）例例 4-1 計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩。計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩。解：該圖形形心解：該圖形形心 c 的位置已確定的位置已確定, 如圖所示。如圖所示。 過(guò)形心過(guò)形心

16、c 選一對(duì)座標(biāo)軸選一對(duì)座標(biāo)軸 X , y 軸，軸， 計(jì)算其慣性矩（積）。計(jì)算其慣性矩（積）。 y 20 c10101207080 xymmIx442323104.1001070)25(1070121101201510120121 y 20 c10101207080 xymmIy44104278 . mmxyI44103 .971070)35()25(01012020150 y 20 c10101207080 xy093.1)2(20 IyIxIxytg 8.11300 形心主慣性軸形心主慣性軸 x0 , y0 分別由分別由 x 軸和軸和 y 軸繞軸繞 C點(diǎn)點(diǎn) 逆時(shí)針轉(zhuǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) 113.80 得出。得出。 形心主慣形矩為形心主慣形矩為 44422104 .5710321421200mmIIIIIIIxyyxyxyx IIyx 20在第三象限在第三象限2062270. 確定形心確定形心 的位置的位置 AyAyAxAxiiiiii, 選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐 標(biāo)軸標(biāo)軸 x ，y, 計(jì)算計(jì)算 Ix , Iy , Ixy求形