非線性科學1復習進程

1、非線性科學1分類按系統(tǒng)組成要素：自然系統(tǒng)、人工系統(tǒng)、復合系統(tǒng)按系統(tǒng)在時空中存在的狀態(tài)： 動態(tài)系統(tǒng)、靜態(tài)系統(tǒng)、穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、非穩(wěn)態(tài)、態(tài)系系統(tǒng)與外部環(huán)境的關系：開放系統(tǒng)、封閉系統(tǒng) 自然系統(tǒng)：以自然物質作為要素構成的，在自然界發(fā)展中自然而然形成的。如生態(tài)平衡系統(tǒng)、生命機體系統(tǒng)、天體系統(tǒng)、氣象系統(tǒng) 人工系統(tǒng):為達到一定目的而人為建造的系統(tǒng)交通系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、教育系統(tǒng)、醫(yī)療系統(tǒng)、企業(yè)管理系統(tǒng)等等。 復合系統(tǒng)：復合系統(tǒng)是自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)的組合。 復合系統(tǒng)包括氣象預報系統(tǒng)、導航系統(tǒng)、交通管理系統(tǒng)、和人一機系統(tǒng)等等。系統(tǒng)論的基本原則：整體性原則層次性原則有序性原則開放性原則系統(tǒng)方法：邏輯維時間維知識

2、維 二、線性科學與非線性科學二、線性科學與非線性科學線性科學：線性科學：n線性是指量與量之間的正比關系；在直角坐標系里，這是用一根直線表征的關系。 n例如：例如：0ss=v0+atv0t1、線性科學的成就、線性科學的成就 由于人的認識的發(fā)展總是從簡單事物開始的，所以在科學發(fā)展的早期，首先由于人的認識的發(fā)展總是從簡單事物開始的，所以在科學發(fā)展的早期，首先從線性關系來認識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自從線性關系來認識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的然的 。 例如：經(jīng)典物理學中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想例如：經(jīng)典物理學中，首先考察的

3、是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。 理論家們在對大自然中的許多現(xiàn)象進行探索時，總是力求在忽略非線性因素理論家們在對大自然中的許多現(xiàn)象進行探索時，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動來討論非型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動來討論非線性效應。線性效應

4、。 經(jīng)過長期的發(fā)展，在經(jīng)典科學中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方經(jīng)過長期的發(fā)展，在經(jīng)典科學中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數(shù)、回歸技術等；就是設計物理法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數(shù)、回歸技術等；就是設計物理實驗，也主要是做那些可以做線性分析的實驗。從這個特點看來，經(jīng)典科學實實驗，也主要是做那些可以做線性分析的實驗。從這個特點看來，經(jīng)典科學實質上是線性科學。線性科學在理論研究和實際應用上都有十分光輝的進展，在質上是線性科學。線性科學在理論研究和實際應用上都有十分光輝的進展，在自然科學和工程技術領域，對線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成

5、績。自然科學和工程技術領域，對線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成績。 2、線性科學的局限、線性科學的局限n 線性科學的長期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認識或線性科學的長期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認識或“科學思想科學思想”，認為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)，認為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)現(xiàn)象和本質特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一般原理現(xiàn)象和本質特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是例外的病態(tài)現(xiàn)象和非和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是例外的病態(tài)現(xiàn)象和非本質特征，沒有普遍的規(guī)律，只能作為對線性系統(tǒng)的本質特征，沒有普遍的規(guī)律，只能作為對線性系統(tǒng)的擾動或采取特殊的方法做個別處理。由此得出結論

6、說，擾動或采取特殊的方法做個別處理。由此得出結論說，線性系統(tǒng)才是科學探索的基本對象，線性問題才存在線性系統(tǒng)才是科學探索的基本對象，線性問題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學的長期發(fā)展，都是封閉在線理論體系；所以經(jīng)典科學的長期發(fā)展，都是封閉在線性現(xiàn)象的圈子里進行的。性現(xiàn)象的圈子里進行的。所謂線性系統(tǒng)是指輸出與輸入成正比的系統(tǒng)所謂非線性系統(tǒng)是指除線性系統(tǒng)以外的所所謂非線性系統(tǒng)是指除線性系統(tǒng)以外的所有系統(tǒng)有系統(tǒng)。即輸出與輸入不成正比的系統(tǒng)。非線性與線性存在著本質的差別非線性與線性存在著本質的差別: 對于線性系統(tǒng)輸入有小的變化必定引起輸出小的變化，大的輸出變化對應于大的輸入變化。而非線性系統(tǒng)則不然。小的輸入

7、變化可引起大的輸出變化，大的輸入變化倒不一定引起大的輸出變化。 例如某人作長途旅行：先乘公共汽車到火車站， 然后乘高速火車到機場，最后乘飛機到達目的地。整個系統(tǒng)是非線性的，幾分鐘的初始誤差逐漸放大，最后到達目的地相差一天，小的輸入變化會引出大的輸出變化。外語學習外語學習3、線性科學和非線性科學的差異、線性科學和非線性科學的差異 線性與非線性物理現(xiàn)象有著質的差異和不同的特征。線性與非線性物理現(xiàn)象有著質的差異和不同的特征。 1、從結構上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之、從結構上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應，等于各個因

8、素單獨作用和等于整體，幾個因素對系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應，等于各個因素單獨作用效應的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加效應的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學操作，都是處理線性問起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)

9、的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運動向不規(guī)則數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運動向不規(guī)則運動的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。運動的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。 2、從系統(tǒng)對擾動和參量變化的響應來看，線性系統(tǒng)的響應是平緩光滑、從系統(tǒng)對擾動和參量變化的響應來看，線性系統(tǒng)的響應是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關節(jié)點上，參量的微小變化往往導的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關節(jié)點上，參量的微小變化往往導致運動形式質的變化，出現(xiàn)與外界激勵有本質區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整致運動形式質的變化，出現(xiàn)與外界激勵有本質區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結構的形成和

10、維持。正是非線性作用，才形成了物質世界的無限多性有序結構的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。 第二節(jié) 混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象1、什么是混沌、什么是混沌 n 它的原意是指無序和混亂的狀態(tài)（混沌譯自英文它的原意是指無序和混亂的狀態(tài)（混沌譯自英文Chaos）。這）。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預測的現(xiàn)象，實際上有它自己的些表面上看起來無規(guī)律、不可預測的現(xiàn)象，實際上有它自己的規(guī)律。規(guī)律。n 混沌學的任務：就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加以處理和應用?；煦鐚W的任務：就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加

11、以處理和應用。n 60年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、化學、生年代混沌學的研究熱悄然興起，滲透到物理學、化學、生物學、生態(tài)學、力學、氣象學、經(jīng)濟學、社會學等諸多領域，物學、生態(tài)學、力學、氣象學、經(jīng)濟學、社會學等諸多領域，成為一門新興學科。成為一門新興學科。 n 科學家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的科學家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、不可預測，這就是混沌現(xiàn)象。卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、不可預測，這就是混沌現(xiàn)象。進一步研

12、究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充美處理的多為性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充美處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的！在現(xiàn)實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的！ 2、混沌的特征、混沌的特征 1、內在隨機性內在隨機性 2、初值敏感性性（蝴蝶效應）初值敏感性性（蝴蝶效應） 3、非規(guī)則的有序（周期倍化現(xiàn)象）非規(guī)則的有序（周期倍化現(xiàn)象）蝴蝶效應 19

13、791979年年1212月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印引起一場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂象。從此以后，所謂“蝴蝶效應蝴蝶效應”之說就不脛而走，名聲遠揚之說就不脛而走，名聲遠揚了。了。 “ “蝴蝶效應蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發(fā)人深省，之所以令人著迷、令人激動、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在于其深刻的不但

14、在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在于其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力。科學內涵和內在的哲學魅力。 從科學的角度來看，從科學的角度來看，“蝴蝶效應蝴蝶效應”反映了混沌運動的一個重反映了混沌運動的一個重要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性。要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性。 周期倍化現(xiàn)象 3、通向混沌的三條道路:n倍周期分岔道路n陣發(fā)道路n茹勒太肯道路第三節(jié) 分形與分維在二十世紀七十年代，法國數(shù)學家曼德爾勃羅特在他的著在二十世紀七十年代，法國數(shù)學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使

15、用的尺度。時所使用的尺度。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用用直線把它們連起來，

16、得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。分形：分形： 狹義在結構上具有自相似性的幾何對象稱為分形，研究狹義在結構上具有自相似性的幾何對象稱為分形，研究這種分形特性的幾何稱為分形幾何這種分形特性的幾何稱為分形幾何 廣義在形態(tài)、功能和信息方面具有自相似性的研究對廣義在形態(tài)、功能和信息方面具有自相似性的研究對 象稱為分形象稱為分形 自相似性：局部形態(tài)與整體是相似的，或者這部分與那自相似性：局部形態(tài)與整體是相似的，或者這部分與那一

17、部分之間是相似的。一部分之間是相似的。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結構不變。分形的分類分形的分類n自然分形：幾何分形、自然分形：幾何分形、 功能分形、和信功能分形、和信息分息分 、能量分形、能量分形n社會分形社會分形n思維分形思維分形n時間分形時間分形n哲學分形哲學分形分維定義：分維也叫分形維數(shù)或分數(shù)維，是描述分形的定量參數(shù)，它可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。種類n歐氏空間維數(shù)n拓撲維n豪斯道夫維數(shù)分形學的應用意義n分形學的開發(fā)應用簡介n生物、生命科學中的分形應用n物理、化學

18、中的分形應用n分形數(shù)學的研究n混沌中的分形n分形在地質、水文和氣象科學中的應用n分形在地理、人文和社會科學中的應用分形方法的意義n分形是觀察無窮的有形思維方法n分形是理解各學科內復雜性的新語言、新工具：遞歸、嵌套、自相似第四節(jié) 耗散結構理論與自 組織現(xiàn)象背景n可逆的微觀方程和不可逆的宏觀現(xiàn)象的 矛盾n進化與退化的矛盾n動力學規(guī)律是必然的決定論的，而統(tǒng)計規(guī)律是概率性的、隨機的、非決定論的自組織現(xiàn)象 定義： 自組織在是指系統(tǒng)在沒有外部指令或外力干擾的條件下，自行按某種規(guī)則形成一定時空的和功能的結構。自組織現(xiàn)象分類n生命系統(tǒng)的自組織現(xiàn)象n無生命系統(tǒng)的自組織現(xiàn)象 貝納德對流現(xiàn)象 激光 貝洛索夫扎 鮑廷斯基反應 耗散結構理論n一個遠離平衡態(tài)的非線性的開放系統(tǒng)(不管是物理的、化學的、生物的乃至社會的、經(jīng)濟的系統(tǒng))通過不斷地與外界交換物質和能量，在系統(tǒng)內部某個參量的變化達到一定的閾值時，通過漲落，系統(tǒng)可能發(fā)生突變即非平衡相變，由原來的混沌無序狀態(tài)轉變?yōu)橐环N在時間上、空間上或功能上的有序狀態(tài)。這種在遠離平衡的