隨機(jī)過(guò)程的基本概念教學(xué)提綱

1、隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)2.5 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度2.6 典型的隨機(jī)過(guò)程典型的隨機(jī)過(guò)程2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義正弦信號(hào)正弦信號(hào)調(diào)制信號(hào)調(diào)制信號(hào)周期性脈沖信號(hào)周期性脈沖信號(hào)實(shí)際過(guò)程實(shí)際過(guò)程爆破信號(hào)爆破信號(hào)雷達(dá)接收機(jī)的噪聲雷達(dá)接收機(jī)的噪聲?shū)B(niǎo)叫聲?shū)B(niǎo)叫聲接收機(jī)噪聲 隨著時(shí)間隨著時(shí)間t t而改變的隨機(jī)變量而改變的隨機(jī)

2、變量-隨機(jī)變量的集合隨機(jī)變量的集合050100150200-505050100150200-505050100150200-5055050100150200-50X (t1) 2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) 2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義接收機(jī)噪聲 一簇樣本函數(shù)的集合。一簇樣本函數(shù)的集合。 050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) 2.1 2.1 隨

3、機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義1 1、隨機(jī)過(guò)程定義、隨機(jī)過(guò)程定義定義定義1 1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間為的樣本空間為S=eS=e，對(duì)其每一個(gè)元素，對(duì)其每一個(gè)元素 都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù)都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù) , ,由全部元由全部元素素ee所確定的一族樣本函數(shù)所確定的一族樣本函數(shù) 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程, ,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 。 NoImageNoImage( , )X t eNoImage定義定義2 2：設(shè)有一個(gè)過(guò)程設(shè)有一個(gè)過(guò)程 ，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻 ， 是一個(gè)隨機(jī)變量，則是一個(gè)隨機(jī)變量，則 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。( )

4、X t(1,2,.)jtj( )jX t( )X t隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合！隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合！隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合！隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合！2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義1 1、隨機(jī)過(guò)程定義、隨機(jī)過(guò)程定義隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t,e)四種不同情況下的意義：四種不同情況下的意義： 當(dāng)當(dāng)t t固定，固定，e e固定時(shí)，固定時(shí)， X X 是一個(gè)是一個(gè) 確定值確定值； 當(dāng)當(dāng)t t固定，固定，e e可變時(shí)，可變時(shí)， X(e)X(e) 是一個(gè)是一個(gè) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量； 當(dāng)當(dāng)t t可變，可變，e e固定時(shí)，固定時(shí)， X(t)X(t) 是一個(gè)確定的是一個(gè)確定的

5、時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)； 當(dāng)當(dāng)t t可變，可變，e e可變時(shí)，可變時(shí)， X(t,e)X(t,e) 是一個(gè)是一個(gè) 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程； 2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義2 2、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi)、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi)狀態(tài)狀態(tài)時(shí)間時(shí)間連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機(jī)過(guò)程離散型隨機(jī)過(guò)程離散離散連續(xù)連續(xù)離散隨機(jī)序列離散隨機(jī)序列離散離散離散離散 按時(shí)間和狀態(tài)的類(lèi)型分：按時(shí)間和狀態(tài)的類(lèi)型分：2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義2 2、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi)、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi) 按隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的形式分：按隨機(jī)過(guò)程的樣本

6、函數(shù)的形式分：特特 點(diǎn)點(diǎn)不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程任意樣本函數(shù)的未來(lái)值不能由任意樣本函數(shù)的未來(lái)值不能由過(guò)去的觀(guān)測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)過(guò)去的觀(guān)測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程任意樣本函數(shù)的未來(lái)值能由過(guò)任意樣本函數(shù)的未來(lái)值能由過(guò)去的觀(guān)測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)去的觀(guān)測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101隨機(jī)相位信號(hào)隨機(jī)相位信號(hào) 0( )cos()X nAn 0( ,)cos()iiix n

7、An2.1 2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義隨機(jī)過(guò)程的基本概念及定義2 2、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi)、隨機(jī)過(guò)程分類(lèi) 按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)平穩(wěn)性分：按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)平穩(wěn)性分： 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程； 按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)遍歷分：按隨機(jī)過(guò)程有無(wú)遍歷分： 遍歷隨機(jī)過(guò)程、非遍歷隨機(jī)過(guò)程；遍歷隨機(jī)過(guò)程、非遍歷隨機(jī)過(guò)程； 按隨機(jī)過(guò)程功率譜特性分：按隨機(jī)過(guò)程功率譜特性分： 寬帶隨機(jī)過(guò)程、窄帶隨機(jī)過(guò)程；寬帶隨機(jī)過(guò)程、窄帶隨機(jī)過(guò)程；2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述一、隨機(jī)過(guò)程的概率分布一、隨機(jī)過(guò)程的概率分布( , )( )XFx tP X tx對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：

8、對(duì)于隨機(jī)序列：對(duì)于隨機(jī)序列：( , )( , )XXFx tfx tx( , )( )XFx nP X nx( , )( , )XXFx nfx nx1 1、一維概率分布、一維概率分布2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述1 1、一維概率分布、一維概率分布tYtX0cos)(0例例1、 設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào)設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào) 其中其中 是常數(shù)，是常數(shù)，Y是均值為零，方差為是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機(jī)變量，的正態(tài)隨機(jī)變量，求求 時(shí)時(shí)X的概率密度。的概率密度。0020,32t2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述2 2、二維概率分布、二維概率分布注意：注意：X(t1)及及X(t

9、2)為同一隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量。為同一隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量。定義：定義：對(duì)于任意的時(shí)刻對(duì)于任意的時(shí)刻t1，t2以及任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)以及任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，定義，定義12121122(,)( ),()XFxxt tP X txX tx21212121212(, ,)(, ,)XXFxxt tfxxt txx 為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率分布。定義的二維概率分布。定義為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率密度。的二維概率密度。2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述2 2、二維概率分布、二維概率分布其中其中 ，且取值概率各為，且取值概率各為1/2, 求求 ， 時(shí)時(shí)的一維和

10、二維概率分布。的一維和二維概率分布。)2/, 0( )cos(/10)X nn10n 210n 0204060-101x2(n) 0204060-101x1(n) 例例2、設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)）二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)）均值均值dxtxxftXEtmXX),()()(方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX)(2tXE)()(22tmtXX均值與方差的物理意義：均值與方差的物理意義：表示消耗在單位電阻表示消耗在單位電阻上的總的平均功率。上的總的平均功率。2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的

11、統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)）二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)）相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)121212121212( ,)( )()(,)XRt tE X tX tx x f xxt tdx dx2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)）二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（連續(xù)） 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)，則稱(chēng)，則稱(chēng)12( ,)0XRt t)(1tX和和)(2tX是相互是相互正交正交的。的。（2）如果）如果121122( ,)( )( )()()XXXKt tEX tmtX tmt（1）如果）如果)(1tX和和)(2tX是是不相關(guān)不相關(guān)的。的。，則稱(chēng)，則稱(chēng)1

12、2( ,)0XKt t1t2t時(shí)刻的狀態(tài)是相互時(shí)刻的狀態(tài)是相互獨(dú)立獨(dú)立的。的。和和則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程在則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程在（3）如果）如果12121122(, ,)(, )(,)XXXfx x t tfx tfx t二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（離散）二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（離散） 均值均值1( )( )( )NXiiimtx t p t 方差方差221( )( )( )( )NXiXiitx tmtp t 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)1211221211( ,)( )( )()()( ,)NNXiXjXijijKt tx tmtxtmtpt t 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1212121211( ,)( )()( )()(

13、,)NNXijijijRt tE X tX tx txtpt t2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征例例3、設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)為設(shè)隨機(jī)相位信號(hào)為其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)， 是是 上均勻分布的隨機(jī)變量。上均勻分布的隨機(jī)變量。求該隨機(jī)信號(hào)的均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。求該隨機(jī)信號(hào)的均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。0( )cos()X nAt0(, ) 例例4、求半二元傳輸信號(hào)的均值和自相關(guān)函數(shù)。求半二元傳輸信號(hào)的均值和自相關(guān)函數(shù)。2.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征例例5

14、、設(shè)有一隨機(jī)過(guò)程設(shè)有一隨機(jī)過(guò)程 ，由，由4條樣本函數(shù)組成，且條樣本函數(shù)組成，且每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等，每條樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等， 在在t1、t2的取值如的取值如下表所示，求下表所示，求 。( )X t( )X t12( , )XRt t 1( )x t2( )x t3( )x t4( )x tt1t2t126354212.2 2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述三、隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)三、隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)dxetxfeEtxjXtXjX),(),()(dettxfxjXX),(21),(Nitjxiietp1)()(離散形式：離散形式：2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一、

15、定義一、定義),(),(1111nnXnnXttxxfttxxf )(),(xftxfXX一維概率密度：一維概率密度：二維概率密度：二維概率密度：),(),(212121xxfttxxfXX21tt (1)(1)嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一、定義一、定義(2) (2) 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(顯然，顯然， 嚴(yán)格平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)，隨機(jī)過(guò)程是廣義平穩(wěn)，隨機(jī)過(guò)程是高斯分布高斯分布時(shí)，兩者等價(jià)。時(shí)，兩者等價(jià)。一定一定不一定不一定 如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與的均

16、值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與 有關(guān)，即有關(guān)，即21tt 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例例1、 設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試問(wèn)變量。試問(wèn)X(t)是否平穩(wěn)？是否平穩(wěn)？例例2、 設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其。其中中X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率2/3、1/3取值取值-1和和2。試討論隨機(jī)過(guò)程。試討論隨機(jī)過(guò)程Z(t)的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)相關(guān)函數(shù)示意圖相關(guān)函數(shù)示意圖（1）()( )XXRR （3）2

17、2(0)XXXRm （2）(0)( )XXRR （4）若隨機(jī)過(guò)程不含周期分量若隨機(jī)過(guò)程不含周期分量，2lim( )XXRm 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)（5）若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)滿(mǎn)足滿(mǎn)足X(t)= X(t+T)，稱(chēng)其為，稱(chēng)其為周期平周期平穩(wěn)過(guò)程穩(wěn)過(guò)程，則其自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過(guò)程的，則其自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過(guò)程的周期相同。周期相同。（6）若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有同同周期的周期的周期分量周期分量)()cos()

18、(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)例例3、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。251436)(XR10010cos100100)(|10eRX例例4、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。也稱(chēng)為歸一化協(xié)方差函也稱(chēng)為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。相關(guān)時(shí)間示意圖2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間

19、相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)：222( )( )( )XXXXXXKRmr 相關(guān)時(shí)間：相關(guān)時(shí)間：00( )Xrd 0()0.05Xr 050100-4-2024050100-10-50510兩個(gè)不同相關(guān)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù) 1010002.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間例例5、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 求求X(t)的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。23)( eRX2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間三、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時(shí)間2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性四、隨機(jī)過(guò)程的

20、遍歷性定義：定義：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)，若有時(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均，若有時(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均，時(shí)間相關(guān)函數(shù)等于統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)，即時(shí)間相關(guān)函數(shù)等于統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)，即=，PXXmm( )=( )PXXRR 則則X(t)X(t)為遍歷過(guò)程。為遍歷過(guò)程。其中其中2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性1( )2 TXTTml i mX t dtT1( )()( )2 TXTTRl i mX tX t dtT 2.3 2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程與非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程示意圖 四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷

21、性四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性遍歷性的實(shí)際意義：遍歷性的實(shí)際意義：連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：連續(xù)隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)序列：隨機(jī)序列：1( )2TXTmx t dtT1( )() ( )2TXTRx tx t dtT 101( )NXnmx nN12201( )1NXXnx nmN 101( )( ) ()1NmXnRmx n x nmNm隨機(jī)過(guò)程具備遍歷性的條件：隨機(jī)過(guò)程具備遍歷性的條件：(2) 均值遍歷性的充要條件：均值遍歷性的充要條件：(4) 零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號(hào)：零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號(hào)：(3) 相關(guān)函數(shù)遍歷性的充要條件：相關(guān)函數(shù)遍歷性的充要條件：(1) 隨機(jī)過(guò)程必須是平穩(wěn)的。隨機(jī)過(guò)程必須是平穩(wěn)的。2201lim

22、(1)( )02TXXTRmdTT 2201lim(1)( )( )02TXTRRdTT ( )()( )tX tX t 0( )XRd 四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性四、隨機(jī)過(guò)程的遍歷性例例5、判斷隨機(jī)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)相位信號(hào)判斷隨機(jī)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)相位信號(hào)的各態(tài)歷經(jīng)性。的各態(tài)歷經(jīng)性。0( )cos()X nAt2.4 2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)一、聯(lián)合分布一、聯(lián)合分布(1) 二維聯(lián)合分布函數(shù)：二維聯(lián)合分布函數(shù)：(2) 二維聯(lián)合概率密度：二維聯(lián)合概率密度：1111(, , )XYfx y t t2111111(, , ) XYFx t y tx y1111(, , )

23、XYFx y t t1111 ( ), ( )P X tx Y ty2.4 2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)一、聯(lián)合分布一、聯(lián)合分布(3) n+m 維聯(lián)合分布函數(shù)：維聯(lián)合分布函數(shù)：(4) n+m 維聯(lián)合概率密度：維聯(lián)合概率密度：1111(, , ,)XYnmnmFxxyytt tt1111(, ,)XYnmnmfxxyytt tt111111(, ,) n mXYnmnmnmFxxyytt ttxx yy1111( ),( ), ( ), ()nnmmP X txX tx Y tyY ty2.4 2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相

24、關(guān)函數(shù)二、兩隨機(jī)過(guò)程的相互關(guān)系二、兩隨機(jī)過(guò)程的相互關(guān)系(1) 互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)：(2) 互協(xié)方差函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：121212( , )( ) ( )( , , , ) XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy121122( , )( )( ) ( )( )XYXYKt tEX tmtY tm t1212( , )( )( )XYXYRt tmt m t二、兩隨機(jī)過(guò)程的相互關(guān)系：二、兩隨機(jī)過(guò)程的相互關(guān)系：則則X(t)與與Y(t)獨(dú)立獨(dú)立； (3) 如果如果1111(, , ,)XYnmnmfxxyytt tt1111(,)(, ,)XnnYmmfxx ttfyy

25、tt(4) 若若 ，則，則X(t)與與Y(t)正交正交；12( , )0XYRt t(5) 若若 ，則，則X(t)與與Y(t)不相關(guān)不相關(guān)；12( , )0XYKt t2.4 2.4 隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)三、聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)三、聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)定義：定義：如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程X(t),Y(t)X(t),Y(t)平穩(wěn)，即平穩(wěn)，即1212( , )( ),XYXYRt tRtt 則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X(t),Y(t)X(t),Y(t)是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足( )XXmtm( )YYm tm三、聯(lián)合平穩(wěn)

26、隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)三、聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：性質(zhì)：如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程X(t),Y(t)X(t),Y(t)平穩(wěn)，即平穩(wěn)，即YXYXXYYXXYXYmmRKKKr)()0()0()()(1)()( )()( )XYYXXYYXRRKK (2)2222( )(0)(0)( )XYXYXYXYRRRK 是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 ( )( )( )Z tX tY t)(tY是聯(lián)合平穩(wěn)的，則是聯(lián)合平穩(wěn)的，則(3) 如果如果與與( )X t(4) 互相關(guān)系數(shù)：互相關(guān)系數(shù)：三、聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)三、聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)例例1、設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)相位信號(hào)設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)相

27、位信號(hào)其中，其中， 為常數(shù)，為常數(shù)， 上均勻分布，求互協(xié)方差上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。函數(shù)。0( )sin()X tt0( )cos()Y tt0- （ ， ）2.5 2.5 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)( )( )j tSs t edt，頻譜：頻譜：221( )( )( )21( )( )21( )2j tj ts t dts tSe d dtSs t e dtdSd1( )( )2j ts tSed能譜密度：信號(hào)的能量按能譜密度：信號(hào)的能量按頻率分布的情況頻率分布的情況信號(hào)的信號(hào)的總能量總能量211lim( )22TTXdT 二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度二、隨機(jī)過(guò)

28、程的功率譜密度TtTttxtxT0)()(隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù) 截取函數(shù)：截取函數(shù)：( )( )( )TjtjtTTTXx t edtx t edt221( )=( )2TTTTx t dtXd1lim2TT1lim2TT時(shí)間平均時(shí)間平均功率功率功率譜密度：信功率譜密度：信號(hào)的平均功率按號(hào)的平均功率按頻率分布的情況頻率分布的情況EE211lim( )22TTXdT 221( )=( )2TTTTx t dtXd1lim2TT1lim2TT時(shí)間平均時(shí)間平均功率功率功率譜密度：信功率譜密度：信號(hào)的平均功率按號(hào)的平均功率按頻率分布的情況頻率分布的情況EE22111lim( )lim( )2

29、22TTTTTEx t dtEXdTT211lim( ) 22TTEXdTP( )XG 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度：隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度：隨機(jī)過(guò)程的平均功率隨機(jī)過(guò)程的平均功率21( )lim( ) 2XTTGEXT二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：維納辛欽定理維納辛欽定理傅里葉變換對(duì)傅里葉變換對(duì)( )( )jXXGRed 1( )( )2jXXRGed 物理功率譜定義：物理功率譜定義：2( )0( )00XXGF 功率譜密度是從頻域描述隨機(jī)過(guò)程很重要的數(shù)字特征功率譜密度是從頻域描述隨機(jī)過(guò)程很重要的數(shù)字特征, 表表示單位頻帶內(nèi)信號(hào)的頻率分量消耗在單位電

30、阻上的平均功率的示單位頻帶內(nèi)信號(hào)的頻率分量消耗在單位電阻上的平均功率的統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)平均值。缺陷缺陷: :不含相位信息不含相位信息二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：=( )jXRed 21( )lim( ) 2XTTGEXT0( )cosXRd ( )sinXjRd 02( )cosXRd 實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)！實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)！1( )( )2jXXRGed 01 1 P用功率譜來(lái)表示用功率譜來(lái)表示總的平均功率總的平均功率二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：相關(guān)

31、性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄。相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄。對(duì)于實(shí)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，功對(duì)于實(shí)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，功率譜為實(shí)的、非負(fù)偶函數(shù)；率譜為實(shí)的、非負(fù)偶函數(shù)；例例1、計(jì)算計(jì)算隨隨機(jī)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)相位信號(hào)機(jī)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)相位信號(hào)的功率譜。的功率譜。0( )cos()X tAt二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度二、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度例例2、已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜為已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜為求自相關(guān)函數(shù)。求自相關(guān)函數(shù)。242+4( )+10+9XG2.5 2.5 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度( )()jm

32、XXmGRm e 對(duì)于對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)X(n)，其功率譜密度，其功率譜密度1()( )2jmXXRmGed 傅里葉傅里葉 變換對(duì)變換對(duì)21(0)( )( )2XXRE XnGd 當(dāng)當(dāng) m=0 m=0 時(shí)，時(shí)，三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度Z Z變換形式：變換形式：)()(1zGzGXX實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。性質(zhì)：性質(zhì)：)()()()(XXXXGGmRmR如隨機(jī)序列的功率譜為有理函數(shù)：如隨機(jī)序列的功率譜為有理函數(shù)：( )()，mjXXmGzRm zze 例例1、設(shè)隨機(jī)序列為、設(shè)隨機(jī)序列

33、為 ,其中其中 是是 高斯隨機(jī)序列，均值為零，自相關(guān)函數(shù)為高斯隨機(jī)序列，均值為零，自相關(guān)函數(shù)為 ， 求求 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。其中的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。其中 為單位樣值函為單位樣值函數(shù)數(shù)( )( )(1)X nW nW n三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度三、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度( )W n2( )( )WRmm ( )X n( )m1(0)( )=0(0)mmmTTtjTTdtetyY)()( )( )Tj tTTTXx t edt，其中：其中：若若X(t)X(t)及及Y(t)Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有聯(lián)合平穩(wěn)，有)()(XYXYGR( )( )jXYXYGRed 1( )( )2jXYXYRGe

34、d 三、互功率譜密度及其性質(zhì)三、互功率譜密度及其性質(zhì)1( )lim( )( )2XYTTTGEXYT 定義：定義：性質(zhì)：性質(zhì)：(3)(3)若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交正交，則0)()(*YXXYGG三、互功率譜密度及其性質(zhì)三、互功率譜密度及其性質(zhì)(1)*( )()( )XYYXYXGGG )(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG與是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)；是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)；與(2)2( )( )( )XYXYGGG (4)若不相關(guān)，則若不相關(guān)，則)()(*YXXYGG)(2YXmm三、互功率譜密度及其性質(zhì)三、互功率譜密度及其性質(zhì)例、例、已知隨機(jī)過(guò)程已知隨機(jī)過(guò)

35、程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為求互譜密度。求互譜密度。 0009)(3 eRXY2.7 2.7 典型的隨機(jī)過(guò)程典型的隨機(jī)過(guò)程一、白噪聲一、白噪聲設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)X(t)的均值為零，自相關(guān)函數(shù)為的均值為零，自相關(guān)函數(shù)為12112( , )( ) ()XRt tV ttt 其中其中V(tV(t1 1) )是大于零的任意函數(shù)，則稱(chēng)是大于零的任意函數(shù)，則稱(chēng)X(t)X(t)為白噪聲。為白噪聲。 如果如果V(tV(t1 1)=N)=N0 0/2/2為常數(shù)，則稱(chēng)為常數(shù)，則稱(chēng)X(t)X(t)是是平穩(wěn)白噪聲平穩(wěn)白噪聲，功率譜密，功率譜密度為度為0( )2XNG 平穩(wěn)白噪聲的功率譜在頻率軸上均勻分布！平穩(wěn)白噪聲的功率譜在頻率軸上均勻分布！2.7 2.7 典型的隨機(jī)過(guò)程典型的隨機(jī)過(guò)程一、白噪聲一、白噪聲白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度0( )2XNG 0( )( )2XNR )(XF)(XG2/0N0N0)(XR0)(20N2.7 2.7 典型的隨機(jī)過(guò)程典型的隨機(jī)過(guò)程一、白噪聲一、白噪聲白噪聲樣本函數(shù)波形白噪聲樣本函數(shù)波形 0100200300400500-3-2-10123x(n)0