多屬性決策分析

1、第七章 多屬性決策分析 決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化 決策指標(biāo)權(quán)重的確定 加權(quán)和法 加權(quán)積法 Topsis法 Electre 法（不講） Promethee法（不講）第一節(jié) 多屬性決策的準(zhǔn)備工作多屬性決策的準(zhǔn)備工作包括：決策問題的描述、相關(guān)信息的采集（即形成決策矩陣）、決策數(shù)據(jù)的預(yù)處理和方案的初選（或稱為篩選）。一、決策矩陣 經(jīng)過對(duì)決策問題的描述（包括設(shè)立多屬性指標(biāo)體系）、各指標(biāo)的數(shù)據(jù)采集，形成可以規(guī)范化分析的多屬性決策矩陣。(困難，列方程和解方程的關(guān)系，理論和實(shí)踐之間的關(guān)系) 設(shè)有n個(gè)決策指標(biāo)fi（1jn），m個(gè)備選方案ai 1im），m個(gè)方案n個(gè)指標(biāo)構(gòu)成的矩陣X=(xij)mn稱為決策矩陣。決策矩陣是

2、規(guī)范性分析的基礎(chǔ)。 決策指標(biāo)分兩類：效益型（正向）指標(biāo)，數(shù)值越大越優(yōu)；成本型指標(biāo)（逆向指標(biāo)），數(shù)值越小越優(yōu)。指標(biāo)Xj替 代 方 案Ai期望利潤(萬元)產(chǎn) 品 成品率（%）市 場 占有率（%）（萬元）投資費(fèi)用產(chǎn) 品 外觀自 行 設(shè) 計(jì)（A1）6509530110美 觀國 外 引 進(jìn)（A2）7309735180比 較 美觀改 建（A3）520922550美 觀為了直觀，也可以輔助于決策表二、決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)體系中各指標(biāo)均有不同的量綱，有定量和定性，指標(biāo)之間無法進(jìn)行比較。將不同量綱的指標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖兓?，化為無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)，稱為決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化，又叫數(shù)據(jù)預(yù)處理。有三個(gè)作用：1）變?yōu)檎蛑笜?biāo)2

3、）非量綱化，消除量綱影響，僅用數(shù)值表示優(yōu)劣3）歸一化，把數(shù)值均轉(zhuǎn)變?yōu)?,1區(qū)間上，消除指標(biāo)值標(biāo)度差別過大的影響。下面介紹幾個(gè)常用的預(yù)處理方法。在決策中可以根據(jù)情況選擇一種或幾種對(duì)指標(biāo)值進(jìn)行處理。指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化可以部分解決目標(biāo)屬性的不可公度性。1、向量歸一化）的歐式距離的場合。（如理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)與某種虛擬方案向，常用于計(jì)算各方案本方法不改變屬性的方。，即列向量的模為并且每列的平方和等于陣。顯然稱為向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化矩則矩陣中，令設(shè)決策矩陣11, 10)()1 ,1 (,)(12ijnmijmiijijijnmijyyYnjmixxyxX2、線性比例變化法。一定為為最優(yōu)值，但最劣值不正向指標(biāo)，化為，并

4、且正、逆向指標(biāo)均經(jīng)過變換之后，均有陣。稱為線性比例標(biāo)準(zhǔn)化矩矩陣則，取對(duì)于逆向指標(biāo)則，取中，對(duì)于正向指標(biāo)設(shè)決策矩陣0110)()1 ,1 (,min)1 ,1 (, 0max)(*1*1*ijnmijijjijijmijjjijijijmijjnmijyyYnjmixxyxxfnjmixxyxxfxX3、極差變換法變換。稱標(biāo)準(zhǔn)這是一個(gè)線性變換，又為最劣值。為最優(yōu)值，正向指標(biāo)，化為，并且正、逆向指標(biāo)均經(jīng)過變換之后，均有陣。稱為極差變換標(biāo)準(zhǔn)化矩矩陣則，取對(duì)于逆向指標(biāo)則，取中，對(duì)于正向指標(biāo)設(shè)決策矩陣100110)()1 ,1 (,max,min)1 ,1 (,min,max)(*11*11*ijnmi

5、jjojijojijijmiojijmijjojjojijijijmiojijmijjnmijyyYnjmixxxxyxxxxfnjmixxxxyxxxxfxX4、標(biāo)準(zhǔn)樣本變換法。，方差為矩陣每列的均值為經(jīng)過變化之后，標(biāo)準(zhǔn)化。稱為標(biāo)準(zhǔn)樣本變換矩陣矩陣樣本均方差其中，樣本均值中，令設(shè)決策矩陣10)()(11,1)1 ,1 (,)(121nmijmijijjmiijjjjijijnmijyYxxmsxmxnjmisxxyxX5、定性指標(biāo)的量化處理如一些可靠性、滿意度等指標(biāo)往往具有模糊性，可以將指標(biāo)依問題性質(zhì)劃分為若干級(jí)別，賦以適當(dāng)?shù)姆种?。一般可以分?級(jí)、7級(jí)、9級(jí)等。見例71 P208三、決策指

6、標(biāo)權(quán)的確定多屬性決策問題的特點(diǎn)，也是求解的難點(diǎn)在于目標(biāo)間的矛盾性和各目標(biāo)的屬性的不可公度。不可公度性通過決策矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化處理得到部分解決；解決目標(biāo)間的矛盾性靠的是引入權(quán)(weight)這一概念。權(quán)，又叫權(quán)重，是目標(biāo)重要性的度量。權(quán)的概念包含并反映下列幾重因素：決策人對(duì)目標(biāo)的重視程度；各目標(biāo)屬性的差異程度；各目標(biāo)屬性的可靠程度確定權(quán)重是非常困難的，因?yàn)橹饔^的因素，權(quán)重很難準(zhǔn)確。確定權(quán)的方法有兩大類：主觀賦權(quán)法：根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)和判斷，用某種方法測定屬性指標(biāo)的權(quán)重；客觀賦權(quán)法：根據(jù)決策矩陣提供的評(píng)價(jià)指標(biāo)的客觀信息，用某種方法測定屬性指標(biāo)的權(quán)重。兩類方法各有利弊，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以結(jié)合使用。下面介紹幾種常用

7、的確定權(quán)的方法1、相對(duì)比較法相對(duì)比較法是一種主觀賦權(quán)法。將所有指標(biāo)分別按行和列，構(gòu)成一個(gè)正方形的表，根據(jù)三級(jí)比例標(biāo)度，指標(biāo)兩兩比較進(jìn)行評(píng)分，并記入表中相應(yīng)位置，再將評(píng)分按行求和，最后進(jìn)行歸一化處理，得到各指標(biāo)的權(quán)重。), 2 , 1(, 1, 5 . 0,)(, 0, 5 . 0, 1,11121niaafaaaaAffffffaafffnninjijnjijiijiijiinmijjijijiijijn的權(quán)重系數(shù)：指標(biāo)顯然評(píng)分值構(gòu)成矩陣不重要時(shí)；比當(dāng)同樣重要時(shí)；比當(dāng)重要時(shí)；比當(dāng)：三級(jí)比例標(biāo)度的含義是設(shè)為對(duì)比較評(píng)分，其分值按三級(jí)比例標(biāo)度兩兩相個(gè)決策指標(biāo)設(shè)有例72 P210使用本方法時(shí)要注意：1

8、、指標(biāo)之間要有可比性；2、應(yīng)滿足比較的傳遞性（一致性）。2、連環(huán)比較法（古林法）連環(huán)比較法也是一種主觀賦權(quán)法。以任意順序排列指標(biāo)，按順序從前到后，相鄰兩指標(biāo)比較其相對(duì)重要性，依次賦以比率值，并賦以最后一個(gè)指標(biāo)的得分值為1；從后往前，按比率依次求出各指標(biāo)的修正評(píng)分值；最后進(jìn)行歸一化處理，得到各指標(biāo)的權(quán)重。), 2 , 1(,)4() 1, 2 , 1(, 1) 3(; 1) 1, 2 , 1(, 1)(),21 (2)(),31 ( 3) 1, 2 , 1()2(,) 1 (,111112121nikknikrkrkfrniffffffrnirfffnfffnniiiiiiiinnniiiiii

9、iinn標(biāo)的權(quán)重，即歸一化處理，求出各指值：計(jì)算各指標(biāo)的修正評(píng)分根據(jù)修正值賦以計(jì)算各指標(biāo)的修正值。同樣重要。和當(dāng)；或相反較重要比當(dāng)；或相反重要比當(dāng)?shù)谋嚷手担嚷手掂弮芍笜?biāo)相對(duì)重要程度從前到后，依次賦以相；，不妨設(shè)為個(gè)指標(biāo)以任意順序排列將個(gè)決策指標(biāo)設(shè)有例73 P211本方法容易滿足傳遞性，但也容易產(chǎn)生誤差的傳遞。3、特征向量法應(yīng)用前兩種方法時(shí)，如果目標(biāo)屬性比較多，一旦主觀賦值一致性不好時(shí)也無法進(jìn)行評(píng)估。為了能夠?qū)σ恢滦钥梢赃M(jìn)行評(píng)價(jià)，Saaty引入了一種使用正數(shù)的成對(duì)比較矩陣的特征向量原理測量權(quán)的方法，叫做特征向量法。這種方法在層次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多屬性決策。下面我們講解一下原

10、理。nnnnnnnaaaaaaaaaAAnfffn21222211121121)( :,是判斷矩陣注意，不是決策矩陣，得矩陣兩比較，個(gè)指標(biāo)的重要性進(jìn)行兩決策者對(duì)個(gè)決策指標(biāo)設(shè)有3.1 權(quán)重的求解思路假設(shè)各屬性真實(shí)的權(quán)重是nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAA212221212111212222111211:有下面的關(guān)系是完全準(zhǔn)確的話，一定如果矩陣1),(121niiTnWjkikijjiijaaaaankji,1, 2 , 1,都有性質(zhì)：并且對(duì)于任意是正的，反矩陣，即所有元素都這就是所謂一致性正互的特征向量。對(duì)應(yīng)正是最大特征值的最大特征值，而是矩陣這里有下面的關(guān)系是完全準(zhǔn)確的話，一定如果

11、矩陣得乘以nWAnnWnAWAWAnnnnnnnnTn212121222121211121:),(因此權(quán)重向量 的求解方法：W用冪法原理求矩陣A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。算術(shù)平均法。對(duì)于一個(gè)一致的判斷矩陣，它每一列歸一化后，就是相應(yīng)的權(quán)重向量；當(dāng)判斷矩陣不太一致時(shí)，每一列歸一化后就是近似的權(quán)重向量，可以按行相加后再歸一化（相當(dāng)算術(shù)平均值）。1）將判斷矩陣按列歸一化（即使列和為1）：2）按行求和得一向量：3）再向量歸一化：所得 即為A的特征向量的近似值，也就是權(quán)重。ijijijaabjijibWniWiiii,2 , 10),2 , 1(0niWiniiiiinjjijinjjijiTnj

12、jnjnjjjnjjjAWnAAWiAWaAWniaaaaAWWAW1maxmaxmax11max11211max)(1)(,)(), 2 , 1(,),(,可以取算術(shù)平均值，即可能值并不完全相同，得到的不一定是完全一致的，由于，個(gè)分量，于是的第表示向量記故有而4）求A的最大特征值max幾何平均法。對(duì)于一個(gè)一致的判斷矩陣，按行求幾何平均值得到的向量是和權(quán)重向量成固定比例的，歸一化后就是近似的權(quán)重向量。1）將矩陣A按行求幾何平均值：2）對(duì)向量 歸一化，令所得 即為A的特征向量的近似值，也就是權(quán)重。3）按 求最大特征值。nnjijia1Tn),(211),(21nWniiiii,2 , 1 nii

13、iAWn1max)(1為正矩陣。，則稱如果：設(shè)矩陣定義AnjiaaAijnnij), 2 , 1,( , 0,)(13.2 一致性檢驗(yàn)為互反正矩陣。則稱如果：對(duì)于正矩陣定義AnjiaanjiaaAjiijiinnij)., 2 , 1,( ,1)2();, 2 , 1,( , 1) 1 (,)(2為一致性矩陣。則稱如果：對(duì)于正矩陣定義AnkjiaaaaAjkikijnnij)., 2 , 1,( ,)(3的一致性。判斷矩陣因此可以用最大特征值；并且其他特征值為征值而一致性矩陣的最大特，值互反正矩陣的最大特征Annn)(0,maxmaxmax則修改判斷矩陣。時(shí)，接受判斷矩陣，否當(dāng)?shù)谋戎担涀髋c同

14、階的是一致性指標(biāo)一致性比率的平均一致性。因此，表示隨機(jī)矩陣一致性指標(biāo)為了可比性，引入隨機(jī)越大一致性越差。令一致性指標(biāo)1 . 0.)(),(.1.)(maxRCIRICRCIRICratioyconsistencindexrandomIRICnnICindexyconsistenc3.3 判斷矩陣的構(gòu)造 19標(biāo)度法則標(biāo)度方法。教授建議用的發(fā)明者個(gè)屬性的重要程度。個(gè)屬性相對(duì)第代表第一個(gè)判斷矩陣：個(gè)屬性，兩兩比較形成設(shè)決策問題有91)(SaatyAHPjiaaAnijnnij得到判斷矩陣后的第一步是要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，只有通過檢驗(yàn)，計(jì)算的權(quán)向量才有價(jià)值。詳細(xì)內(nèi)容參考教材p166p180案例4、最小加權(quán)

15、法 又稱最小二乘法，是Chu等人提出的，它涉及線性代數(shù)方程組解集，而且從概念上比Saaty的特征向量法更容易理解。是拉格朗日乘數(shù)。其中，維的無約束極值。求極值，變成這樣就可以對(duì)，拉格朗日函數(shù)為：為了求多元極值下列優(yōu)化問題得到：解的特征，權(quán)重可以通過中元素具有的矩陣考慮到1) 1(2)(, 0, 1. .)(minSaaty11121112nLaLzNitsazaAninjniiijijiniininjijijjiij的值。和方程組可以求出給定參數(shù)元非齊次線性方程組：得令的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，和對(duì)分別令，一階偏導(dǎo)數(shù)為的極值，令求iijniinjljljilniililllninjniiijijaNl

16、aaanLNlLLaL,01, 0)()(1, 0)(0) 1(2)(1111112注意：本方法同樣要求判斷矩陣的一致性。5、信息熵法 信息熵法是一個(gè)客觀的賦權(quán)法，根據(jù)決策矩陣所具有的信息量來賦權(quán)。 如果某一個(gè)屬性（準(zhǔn)則）的值對(duì)所有的方案都差不多，那么這個(gè)屬性對(duì)于決策來講作用就不大，即便是這個(gè)屬性很重要。如何測定這種效應(yīng)呢？ 在信息學(xué)中，熵是不確定性的一個(gè)指標(biāo)，用概率分布來表示，它認(rèn)為一個(gè)廣泛的分布比具有明顯峰值的分布表示更不確定。Shannon給出的表達(dá)方法如下：njjnjjjnPPPkPPPE11211log),(其中其中k是正的常數(shù)。當(dāng)所有的Pi都相等時(shí)，即Pi=1/n，熵值最大。指標(biāo)值

17、的差異越小，對(duì)方案的評(píng)價(jià)作用越低，權(quán)重應(yīng)該減小。nmijijxXnjmixnm)(), 2 , 1;, 2 , 1(決策矩陣個(gè)屬性，屬性值為個(gè)方案，設(shè)決策問題有按列可以計(jì)算熵。所以對(duì)于每個(gè)屬性，每列由于理，得并按列進(jìn)行歸一化處化矩陣標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)作或極差變換法用線性比例變換法對(duì)決策矩陣, 1, 10), 2 , 1;, 2 , 1(,)()()() 1 (11miijijmiijijijnmijnmijppnjmiyypyYxX), 2 , 1(,log)2(1njppkejmiijmijj個(gè)屬性的熵按列計(jì)算第，權(quán)重相對(duì)就要大。較大，對(duì)決策作用就大差別越大說明指標(biāo)值之間的差異系數(shù)和熵相反

18、，值個(gè)屬性的差異系數(shù)計(jì)算第), 2 , 1(,1)3(njeggjjjj。實(shí)際權(quán)重進(jìn)行決策分析為觀的權(quán)，本權(quán)重可以作如果決策者事先沒有主個(gè)屬性的權(quán)重為確定權(quán)重。第), 2 , 1(,)4(1njggjnjjjj。得到的新權(quán)應(yīng)該更有效進(jìn)行修正：可以根據(jù)得到的客觀權(quán)觀的權(quán)如果決策者已經(jīng)有了主), 2 , 1(,)5(10njnjjjjjjj6543214321550 . 5200018002 . 2775 . 4210020008 . 1535 . 6180027005 . 2955 . 5200015000 . 2)(XXXXXXAAAAD如下：假設(shè)都是正向指標(biāo)例：設(shè)某決策矩陣654321432

19、1411923. 025. 02326. 02530. 02250. 02588. 02692. 035. 02093. 02658. 02500. 02118. 01923. 015. 03023. 02278. 03375. 02941. 03462. 025. 02558. 02530. 01875. 02353. 0,XXXXXXAAAAPxxpiijijij進(jìn)行變換得：使用X1X2X3X4X5X6EjDjj0.94460.00540.06490.98290.01710.20550.99890.00110.01330.99310.00690.08290.97030.02970.3570

20、0.97700.02300.2764分別計(jì)算每個(gè)屬性的熵、差異系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)重：可見，X5的權(quán)重最大，X3的權(quán)重最小。觀察其變化。修正以后得：通過的主觀權(quán)重如果決策者已經(jīng)有預(yù)先)4199. 0 ,3616. 0 ,0420. 0 ,0067. 0 ,1041. 0 ,0657. 0()3 . 0 , 2 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 2 . 0(010njjjjjj第二節(jié) 多屬性決策方法1、標(biāo)準(zhǔn)水平法由于多屬性決策時(shí)，屬性間具有不可替代性，決策人對(duì)部分或全部屬性可能設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)水平要求。有兩種方式：1）聯(lián)合法決策者設(shè)立了必須接受的最小屬性值（標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)），任何不滿足最小

21、屬性值的方案都被否定，這種方法叫聯(lián)合法。關(guān)鍵點(diǎn)在于標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)（也叫閾值）的設(shè)定，要適當(dāng)。如：考研單科設(shè)限、招收新員工、評(píng)定職稱2）分離法分離法評(píng)價(jià)方案是建立在最大的一個(gè)屬性值上，達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的方案就接受。如：高考特招生、選拔足球運(yùn)動(dòng)員（在防守、速度特長）特點(diǎn)：屬性間不可補(bǔ)償在實(shí)踐中被大量應(yīng)用可以保證任何在某方面特別差的個(gè)體或方案不被選入只需分出接受或不接受特點(diǎn)：在實(shí)踐中被大量應(yīng)用可以保證所有個(gè)體或方案在某方面有特長2、字典法本方法類似查字典。對(duì)于一些決策情形下，單個(gè)的屬性在決策中的作用很顯著，甚至在最重要的屬性上就可以進(jìn)行決策。在最重要屬性上，如果某個(gè)方案對(duì)于其他方案有較高的屬性值，該方案就被選擇，

22、決策結(jié)束；如果在最重要的屬性上不能區(qū)分優(yōu)劣，就以第二重要的屬性來進(jìn)行比較；這個(gè)過程可以進(jìn)行進(jìn)行，直到一個(gè)方案被選中或所有的屬性都被考慮過。如：高校招生，按高考成績排序，同樣成績者，優(yōu)秀三好生優(yōu)先。特點(diǎn)：本方法需要對(duì)屬性的重要性排序有可能漏掉更好的方案，如對(duì)高考的批評(píng)?？赡艿母倪M(jìn)是不會(huì)因?yàn)閷傩灾德愿咭稽c(diǎn)就被認(rèn)為更好。3、簡單線性加權(quán)法P212是一種最常用的多屬性決策方法。方法是先確定各決策指標(biāo)的權(quán)重，再對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，求出各方案的線性加權(quán)均值，以次作為各方案排序的判據(jù)。注意：標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，要把所有指標(biāo)屬性正向化。步驟：1）用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各屬性的權(quán)重，設(shè)權(quán)重向量為1,),(121njjTn

23、W其中3）求出各方案線性加權(quán)指標(biāo)值), 2 , 1(,1miyunjijji4）選擇線性加權(quán)指標(biāo)值最大者為最滿意方案njijjmiimiyuau111*maxmax)(例74 P212且指標(biāo)都是正向指標(biāo)。陣為作標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)矩對(duì)決策矩陣,)()()2nmijnmijyYxX注意：1）簡單線性加權(quán)法潛在的假設(shè)是各屬性在偏好上獨(dú)立，即單個(gè)屬性值對(duì)于整體評(píng)價(jià)的影響與其他屬性值相互獨(dú)立。如籃球運(yùn)動(dòng)員身高和體重不是相互獨(dú)立的。2）權(quán)重設(shè)定的不可靠。如一個(gè)權(quán)重是0.1，另一個(gè)是0.4，多達(dá)4倍的關(guān)系，是否真正合理？3）假設(shè)多個(gè)屬性的效用可以分解成單個(gè)屬性的效用。如籃球運(yùn)動(dòng)員身高和體重需要相匹配。4）但是

24、理論推導(dǎo)、仿真計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)判斷都表明，簡單加權(quán)法與復(fù)雜的非線性形式產(chǎn)生的結(jié)果很相似，而前者有簡單多的理解和使用特點(diǎn)，因此得到普遍的應(yīng)用。4、理想解法（TOPSIS法）P213由Yoon和Hwang開發(fā)，又稱逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）這種方法通過構(gòu)造多屬性問題的理想解和負(fù)理想解，以方案靠近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解兩個(gè)基準(zhǔn)作為方案排序的準(zhǔn)則，來選擇最滿意方案。理想解：就是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最滿意值的解；負(fù)理想解：就是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最不滿意值的解。理想解和負(fù)理想解一般都是虛擬的方案可以將m各方案n個(gè)屬性的多屬性決策問題視作在n維空間中的m個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的幾何系統(tǒng)中進(jìn)行處理，此時(shí)所有的方案都看成該系統(tǒng)的解。為了直觀起見，用兩個(gè)屬性的決策空間：圖中A*為理想解，A為負(fù)理想解各方案接近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解的測度：貼近度。貼近度涉及到理