全等三角形及三角形全等的條件一對一輔導講義（精編版）

1、全等三角形及三角形全等的條件一對一輔導講義課題全等三角形及三角形全等的條件12 / 12教學目的1、掌握全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，并能進展簡單的推理計算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準確找到判定定理的條件，并熟練運用。教學內容一、課前檢測1. 如圖 1， ABC 中， AB=AC ，AD 平分 BAC，那么 2. 斜邊和一銳角對應相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是 ，底邊和腰相等的兩個等腰三角形全等的根據(jù)是 3. ABC DEF ， DEF 的周長為 32 cm，DE =9 cm ，EF =12 cm 那么 AB= ，BC= ， AC = 圖 1圖 2圖 34. 如圖 2，

2、 AC=BD ，要使 ABC DCB 還需知道的一個條件是 5如圖 3，假設 1= 2， C= D，那么 ADB ，理由 6不能確定兩個三角形全等的條件是A 三邊對應相等C兩角和任一邊對應相等B兩邊及其夾角相等D三個角對應相等7· ABC 和 DEF 中， AB=DE， A= D，假設 ABC DEF 還需要A B= EB C= FCAC =DFD 前三種情況都可以8 ·在 ABC和 A B C中 AB =A BBC =B C AC =A C A=A B=B C= C，那么以下哪組條件不能保證ABC ABCA 具備B 具備C具備D具備參考答案： 1 ADB ADC2ASA或

3、 AASSSS39 cm12 cm11 cm4 ACB = DBC 或 AB=CD 5 ACBAAS6· D7· D8· A二、知識梳理知識要點：要點 1：全等三角形的概念及其性質 1全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 2全等三角形性質：對應邊相等、對應角相等、周長相等、面積相等要點 2：全等三角形的判定 1兩邊及夾角對應相等SAS； 2兩角及夾邊對應相等ASA； 3兩角及其中一角的對邊對應相等AAS； 4三邊對就應相等SSS。要點 3：找全等三角形的對應邊，對應角的方法 1假設給出對應頂點即可找出對應邊和對應角。 2假設給出一些對應邊或對

4、應角，那么按照對應邊所對的角是對應角， 反之，對應角所對的邊是對應邊就可找出其他幾組對應邊和對應角。 3按照兩對對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊來準確找出對應角和對應邊。 4一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應邊，對應角。要點 4：尋找兩個三角形全等的途徑 1三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點有兩組對應角相等時；找有兩組對應邊相等時；找有一邊，一鄰角相等時；找有一邊，一對角相等時；找任一組角相等AAS 2利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應關系，推得新的等量元素如圖一中的AD，圖二中的BC都是相應三角形的公共元素。圖三中如有B

5、F=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖四中假設有DAB= EAC，就能推出 DAC=BAE。三、例題講解：例 1.如圖，A, F , E, B 四點共線，ACCE ， BDDF ， AEBF ， ACBD 。求證：ACFBDE 。. 思路分析： 從結論ACFBDE 入手，全等條件只有ACBD ；由 AEBF 兩邊同時減去EF 得到 AFBE ， 又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是CFDE ，也可以是AB 。由 條 件 ACCE ， BDDF可 得ACEBDF ，從而得到AB 。解答過程 ：ACCE ， BDDFACEBDF90， 再 加 上 AEBF ， ACBD ，

6、可 以 證 明ACEBDF90在 Rt ACE 與 Rt BDF 中AEBFACBD Rt ACERt BDF (HL)A BAEBFAEEFBFEF ，即 AFBE在ACF 與BDE 中AFBEABACBDACFBDE (SAS)解題后的思考：此題的分析方法實際上是“兩頭湊的思想方法：一方面從問題或結論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結論。再比照“所需條件和“得出結論之間是否吻合或具有明顯的 聯(lián)系，從而得出解題思路。小結： 此題不僅告訴我們如何去尋找全等三角形及其全等條件，而且告訴我們如何去分析一個題目，得出解題思路例2.如 圖 ， 在ABC 中 ， BE 是 AB

7、C的 平 分 線 ， ADBE ， 垂 足 為 D 。 求 證 ：21C 。思路分析： 直接證明21C 比擬困難，我們可以間接證明，即找到，證明2且1C 。也可以看成將2“轉移到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD 延長交 BC 于 F ，那么構造了FBD ，可以通過證明三角形全等來證明 2= DFB ，可以由三角形外角定理得DFB= 1+ C。解答過程 ：延長 AD 交 BC 于 F在ABD 與FBD 中ABDFBD BDBDADBFDB90ABDFBD (ASA2DFB又DFB1C21C 。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例 3. 如圖，在

8、ABC 中， ABBC ，ABC90 。F 為 AB 延長線上一點， 點 E 在 BC 上， BEBF ，連接AE , EF和 CF 。求證： AECF 。思路分析： 可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關鍵是要找到這兩個三角形。以線段 AE 為邊的ABE繞點 B 順時針旋轉90 到CBF 的位置，而線段CF 正好是CBF 的邊，故只要證明它們全等即可。解答過程 ：ABC90 ， F 為 AB 延長線上一點ABCCBF90在ABE 與CBF 中ABBCABCCBF BEBFABECBF (SAS) AECF 。解題后的思考：利用旋轉的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應邊和對應

9、角。小結： 利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。例 4. 如圖， D 是ABC 的邊 BC 上的點， 且 CDAB ，ADBBAD ， AE 是ABD 的中線。 求證： AC2AE 。思路分析： 要證明“ AC使 EFAE 。2AE ， 不妨構造出一條等于2AE 的線段， 然后證其等于AC 。因此， 延長 AE 至 F ，解答過程 ：延長 AE 至點 F ，使 EFAE ，連接 DF在ABE 與FDE 中AEFEAEBFED BEDEABEFDE (SAS)B E

10、DFADFADBEDF ，ADCBADB又ADBBAD ADFADCABDF ， ABCDDFDC在ADF 與ADC 中ADADADFADC DFDCADFADC (SAS)AFAC又AF AC2AE2AE 。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。四、課堂練習一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是()A. 兩直角邊對應相等B.一銳角對應相等C. 兩銳角對應相等D.斜邊相等2. 根據(jù)以下條件，能畫出唯一ABC的是 ()A. AB3 ， BC4 ， CA8B. AB4 ， BC3，A30C. C60 ，B45 ， AB4D

11、. C90 ， AB63. 如圖，12 ， ACAD ，增加以下條件：ABAE ； BCED ；CD ；BE 。其中能使ABCAED 的條件有 ()A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個第 3 題第 4 題第 5 題第 6 題4. 如圖， ABCD ， BCAD ，B23，那么D 等于 ()A.67B.46C.23D.無法確定二、填空題：5. 如圖，在ABC中，C 90，ABC 的平分線BD 交 AC 于點 D ，且CD : AD2:3 ， AC10cm ，那么點 D 到 AB 的距離等于 cm；6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC , BD 為折痕，那么CBD 的大小為 ；

12、三、解答題：7. 如圖，ABC 為等邊三角形， 點 M的度數(shù)。, N 分別在BC, AC 上， 且 BMCN ， AM 與 BN 交于 Q 點。求AQN8. 如圖，BFCE 。ACB90， ACBC ， D 為 AB 上一點， AECD ， BFCD ，交 CD 延長線于F 點。求證：9. 如圖， AEAD ，AF AB ， AF=AB ，AE=AD=BC ，AD/BC. 求證： 1AC=EF ， 2AC EF10. ：如圖，在RtABC 中， AB=AC ， BAC=90°， 1= 2，CE BD 的延長線于E.求證： BD=2CE.參考答案一、選擇題：1. A2. C3. B4.

13、 C二、填空題：5. 46.90三、解答題：7. 解：ABC為等邊三角形ABBC ，ABCC60在ABM 與BCN 中ABBC ABCCBMCNABMBCN (SAS)NBCBAMAQNABQBAMABQNBC8. 證明：AECD ， BFCD60 。FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCF90CAEBCF在ACE 與CBF 中FAEC CAEBCFACBCACECBF (AAS)BFCE 。9. 證明：1 AD/BC ， B DAB=18°0又 DAB 4 EAF 3=360°， 3= 4=90° DAB EAF=180° B= EAF在 A

14、BC 和 FAE 中 ABC FAESAS AC=EF2 ABC FAE 1= F又 1 3= 2 F 2= 3又 3=90° 2=90° AG EF，即 AC EF10.證明：延長BA 、 CE 交于點 F. 3=90°， 5 F=90°又 BECE， 4=90°， 7=90° 1 F=90°， 6=180° 90°=90° 1= 5在 ABD 和 ACF 中 ABD ACF ASA BD=FC在 BEF 和 BEC 中 BEF BECASA EF=EC FC=2ECBD=2EC五、課堂小結(

15、1) 全等三角形的概念及其性質(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的對應邊，對應角的方法(4) 尋找兩個三角形全等的途徑六、課后作業(yè)一、填空題1·如圖 1， C= E， 1=2， AC=AE，那么 ABD 按邊分是 三角形2·如圖2，AB=AC，BDAC 于 D ，CE AB 于 E，交 BD 于 P，那么 PD PE填“ <或“ >或“ =3如圖 3， ABC 中， AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明B= C，假設證三角形全等所用的公理是SSS公理，那么圖中所添加的輔助線應是 圖 1圖 2圖 3圖 4 4一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三

16、邊為y、2、6，假設這兩個三角形全等，那么 x+y= 5. 如圖 4， AD=AE，假設 AEC ADB ，那么需增加的條件是 至少三個二、選擇題6. 如圖 8，圖中有兩個三角形全等，且A= D， AB 與 DF 是對應邊，那么以下書寫最標準的是A ABC DEFB ABC DFEC BAC DEFD ACB DEF7. 如圖 9， AC=AB， AD 平分 CAB， E 在 AD 上，那么圖中能全等的三角形有 對A 1B 2C 3D 4圖 8圖 9圖 10圖 118. 如圖10，ABC中，D、E 是 BC 邊上兩點，AD=AE，BE=CD，1=2=110°，BAE=60°

17、，那么CAD 等于 A 70°B 60°C 50°D 110°9. 如圖 11， AB CD ，且 AB=CD ，那么 ABE CDE 的根據(jù)是A 只能用 ASAB 只能用SASC只能用AASD用 ASA 或 AAS10. 如圖 12， ABC AEF，AB 和 AE， AC 和 AF 是對應邊，那么EAC 等于A ACBB BAFC FD CAF11. 如圖 13， ABC 中， C=90 °， AC=BC，AD 平分 CAB 交 BC 于 D， DE AB 于 E 且 AB=6 cm，那么 DEB 的周長為A 40 cmB 6 cmC 8

18、cmD 10 cm圖 12圖 13圖 1412. 如圖 14， 1= 2， C=D ，AC， BD 相交于點E，下面結論不正確的選項是A DAE = CBEB DEA 與 CEB 不全等CCE=CDD AEB 是等腰三角形三、解答題13. EF 是 AB 上的兩點， AE=BF， AC BD，且 AC=DB，求證： CF=DE圖 1514. 一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖16所示的殘片，你對圖中作哪些數(shù)據(jù)測量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由圖 1615. 如圖 17，在 ABC 中， AM 是中線， AD 是高線圖 171假設 AB 比 AC 長 5 cm，那么 ABM 的周長比 ACM 的周長多 cm2假設 AMC 的面積為10 cm2，那么 ABC 的面積為 cm 2A 10B20C 30D 403假設 AD 又是 AMC 的角平分線，AMB =130°，求 ACB 的度數(shù)16. 如圖 18， B 是 CE 的中點， AD=BC， AB=DC DE 交 AB 于 F 點求證：1 ADBC 2AF=BF圖 18參考答案一、 1·等腰2 =3AD 為 ABC 的中線4 115 AEC= ADB 或 C= B 或 AC=AB 或 BE=CD 多寫一個加一分二、 6 B7 C8 B9D10 B11 B12 B三、 13證明： ACF