一次函數(shù)復習講義（精編版）

1、一次函數(shù)的圖象和性質一、知識要點：1、一次函數(shù)：形如y=kx+b (k 0, k, b為常數(shù) ) 的函數(shù)。注意： 1k0, 否那么自變量x 的最高次項的系數(shù)不為1；2當 b=0 時， y=kx ，y 叫 x 的正比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，1兩個常有的特殊點：與y 軸交于 0，b；與 x 軸交于 -，02由圖象可以知道，直線y=kx+b 與直線 y=kx 平行，例如直線：y=2x+3 與直線 y=2x-5 都與直線 y=2x平行。3、性質：(1) 圖象的位置 :(2) 增減性k>0 時， y 隨 x 增大而增大k<0 時， y 隨 x 增大而減小4. 求一次函數(shù)解

2、析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要有三種(1) 由函數(shù)推導或推證(2) 由實際問題列出二元方程，再轉化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法或不易判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關系。(3) 用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。4 / 13“待定系數(shù)法的根本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程組來解決，題目的恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構造方程一般有以下幾種情況：利用一次函數(shù)的定義構造方程組。利用一次函數(shù)y=kx+b 中常數(shù)項 b 恰為函數(shù)圖象與y 軸交點的縱坐標，即由b 來定點；直線y=kx+b平

3、行于 y=kx ，即由 k 來定方向。利用函數(shù)圖象上的點的橫、縱坐標滿足此函數(shù)解析式構造方程。利用題目條件直接構造方程。二、例題舉例：例 1 y=，其中=(k 0 的常數(shù) ) ，與成正比例，求證y 與 x 也成正比例。證明：與成正比例， 設=a(a 0 的常數(shù) ),y=,=(k 0 的常數(shù) ),y=·a=akx ， 其中 ak 0 的常數(shù)，y 與 x 也成正比例。例 2一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3 的圖象與 y 軸交點的縱坐標為-1 ，判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫出兩個函數(shù)的解析式，并指出兩個函數(shù)在直角坐標系中的位置及增減性。解：依題意，得解 得 n=-1 ，=-3x-1,=(3

4、-)x,是正比例函數(shù)；=-3x-1 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，隨 x 的增大而減?。?(3-)x 的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨 x 的增大而增大。說明： 由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關鍵是構造關于n 的方程， 此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項就是圖象與y 軸交點縱坐標來構造方程。例 3直線 y=kx+b 與直線 y=5-4x 平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點在y 軸上，求此直線解析式。分析：直線 y=kx+b 的位置由系數(shù)k、b 來決定：由k 來定方向，由b 來定與 y 軸的交點，假設兩直線平行，那么解析式的一次項系數(shù)k 相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行

5、。解： y=kx+b 與 y=5-4x 平行，k=-4,y=kx+b 與 y=-3(x-6)=-3x+18相交于 y 軸，b=18，y=-4x+18 。說明： 一次函數(shù) y=kx+b 圖象的位置由系數(shù)k、b 來決定：由k 來定方向，由b 來定點，即函數(shù)圖象平行于直線 y=kx ，經(jīng)過 (0, b)點，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與 y 軸交點定 b。例 4直線與 x 軸交于點 A-4 ，0，與 y 軸交于點 B，假設點 B 到 x 軸的距離為2，求直線的解析式。解：點 B 到 x 軸的距離為2，點 B 的坐標為 0，± 2，設直線的解析式為y=kx ±2,直線過點A

6、-4 ，0， 0=-4k ±2,解得： k=±,直線 AB 的解析式為 y=x+2 或 y=-x-2.說明： 此例看起來很簡單，但實際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。1圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；2直線與 y 軸交于 B點，那么點B0，；3點 B 到 x 軸距離為 2，那么|=2 ； 4點 B的縱坐標等于直線解析式的常數(shù)項，即b=；5直線與 y 軸交點的縱坐標，可設 y=kx+， 下面只需待定k 即可。例 5一次函數(shù)的圖象，交x 軸于 A-6 ， 0，交正比例函數(shù)的圖象于點B，且點 B在第三象限，它的橫坐標為 -2 ， AOB的面積為 6 平方單位

7、，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。分析：自畫草圖如下：解：設正比例函數(shù)y=kx ， 一次函數(shù) y=ax+b，點 B 在第三象限，橫坐標為-2 ，設 B-2 ，其中<0，=6， AO·|=6 ， =-2 ，把點 B-2 ，-2 代入正比例函數(shù)y=kx ，得 k=1 把點 A-6 ，0、 B-2 ，-2 代入 y=ax+b，得解得：y=x, y=-x-3 即所求。說明： 1此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的構造式，注意兩個函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；2此例需要把條件 面積轉化為點 B 的坐標。這個轉化實質含有兩步：一是利用面積公式AO·BD=6過點 B

8、 作 BDAO于 D計算出線段長 BD=2，再利用 | |=BD 及點 B 在第三象限計算出 =-2 。假設去掉第三象限的條件，想一想點 B 的位置有幾種可能，結果會有什么變化？答：有兩種可能，點 B 可能在第二象限 -2 ，2，結果增加一組 y=-x, y= (x+3).例 6 正比例函數(shù) y=kx (k<0) 圖象上的一點與原點的距離等于 13，過這點向 x 軸作垂線，這點到垂足間的線段和 x 軸及該圖象圍成的圖形的面積等于 30，求這個正比例函數(shù)的解析式。分析：畫草圖如下：那么 OA=13，=30，那么列方程求出點A 的坐標即可。解法 1： 設圖象上一點Ax, y 滿足解得：；代入

9、 y=kx (k<0)得 k=-, k=-.y=-x 或 y=-x。解法 2： 設圖象上一點Aa, ka 滿足由 2得=-,代入 1，得 (1+) ·(-)=.整理，得 60+169k+60=0.解得 k=-或 k=-. y=-x 或 y=-x.說明： 由于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的構造式y(tǒng)=kx ，其中 k 為待定系數(shù)，故解此例的關鍵是構造關于 k 的方程。此例給出的兩個解法代表兩種不同的思路：解法1 是把條件先轉化為求函數(shù)圖象上一點的坐標，構造方程解出， 再求 k ；解法 2 是引進輔助未知數(shù)a，利用勾股定理、 三角形面積公式直接構造關于a、k 的方程組，解題時消去a，求出

10、 k 值。例 7在直角坐標系x0y 中，一次函數(shù)y=x+的圖象與 x 軸， y 軸，分別交于A、B 兩點，點 C坐標為 1， 0，點 D 在 x 軸上，且 BCD= ABD，求圖象經(jīng)過B、D 兩點的一次函數(shù)的解析式。分析： 由可得 A 點坐標 -3 ，0， B點坐標 0，點 C 是確定的點 1， 0，解題的關鍵是確定點 D 的坐標，由點D在 x 軸上，以 BCD=ABD的條件，結合畫草圖可知BCD的邊 BC確定，頂點C確定，但邊 CD 可以有兩個方向，即點D可以在 C點右側，也可以在C點左側，因此解此題要分類討論。解：點 A、B 分別是直線 y=x+與 x 軸和 y 軸交點，A-3 ，0， B

11、0，5 / 13點 C坐標 1，0由勾股定理得BC=，AB=，設點 D的坐標為 x, 0 ，1當點 D在 C點右側，即x>1 時， BCD=ABD，BDC= ADB， BCD ABD，=- - - -=8-22x+5=0x 1=, x 2 =,經(jīng)檢驗： x1 =, x 2=, 都是方程的根。x=, 不合題意，舍去。x=，D點坐標為, 0 。設圖象過 B、D 兩點的一次函數(shù)解析式為y=kx+b ，所求一次函數(shù)為y=-x+2假設點 D 在點 C左側那么 x<1， 可證 ABC ADB，- - - -13 / 138-18x-5=0x 1=-, x 2=,經(jīng)檢驗 x 1 =-, x 2

12、=, 都是方程的根。x 2=不合題意舍去，x1=-,D點坐標為 -, 0 ，圖象過 B、D-, 0 兩點的一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-x+或 y=4x+.例 8：如圖一次函數(shù)y=x-3 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于A、B 兩點，過點 C4，0作 AB 的垂線交 AB 于點 E，交 y 軸于點 D，求點 D、E 的坐標。解：直線 y=x-3 與 x 軸交于點 A6，0，與 y 軸交于點 B0， -3 ，OA=6， OB=3，OAOB，CDAB， ODC=OAB，cot ODC=cotOAB,即OD=8.點 D的坐標為 0，8，設過 CD的直線解析式為y=kx

13、+8, 將 C( 4,0)代入0=4k+8,解得 k=-2直線 CD：y=-2x+8,由解得點 E 的坐標為，-說明： 由于點 E 既在直線 AB 上，又在直線CD上，所以可以把兩直線的解析式聯(lián)立，構成二元一次方程組，通過解方程組求得。3點 C ，求 ABC的面積一次函數(shù)綜合提高題第一局部：靈活應用y1.如果一次函數(shù)么 m n=y=mx+1 與 y=nx 2 的圖象相交于x 軸上一點，那yx3 與y2 xb 的 圖 象 交 于y 軸 上 一 點 ， 那 么Ob3.xymxn直線 ymxn 如下圖，化簡：mnm2第 3 題4.如圖， 相交于 P2，2點的互相垂直的直線l1 與 x 軸的正半軸交點

14、為 A ， l 2 與 y 軸的正半軸交點為B，那么四邊形OAPB 的面積為 .5.平行四邊形ABCD的對角線交點O 為直角坐標系的坐標原點，點A 2， 1，點 B1 ， 1，那么點2C 和 D 的坐標分別為6.點 Px ， 2和點 Q3，y不重合，那么當P、Q 關于 對稱時， x= 3，y=2 ；當 PQ 垂直 y 軸， x ， y .y3 x2m 和 y1 x2n 的圖象都經(jīng)過點(2，0) ，且與 y 軸分別交于B、C 兩點，那么 ABC 的面積是y(m21)xm2 與 y 軸的交點在x 軸的上方，且m10，m 為整數(shù)，那么符合條件的 m 有9. 點 P 坐標為 2a ， 3a6 ，且點P

15、 到兩坐標軸的距離相等，那么點P 的坐標是y2 x3 與 x 軸交于點A ，與 y 軸交于點B ，直線 y2xb 經(jīng)過點 B 且與 x 軸交于11. 一次函數(shù)y=kx+b 的圖象過點1， 2，且與y 軸交于點P，假設直線y= 0.5x+2 與 y軸的交點為Q，點 Q 與點 p 關于 x 軸對稱，求這個函數(shù)解析式.12. 直線 y=2x+1 1求直線與y 軸交點 M 的坐標； 2假設直線y=kx+b 與直線關于y軸對稱，求k， b 的值13. y+2 與 x 成正比例，且x=-2 時， y=01求 y 與 x 之間的函數(shù)關系式；2畫出函數(shù)的圖象；3觀察圖象，當x 取何值時， y 0？4假設點 m

16、， 6在該函數(shù)的圖象上，求m的值；5設點 P 在 y 軸負半軸上，2中的圖象與x 軸、 y 軸分別交于A， B 兩點，且SABP=4，求 P 點的坐標14. y+a 與 x+ba，b 為是常數(shù)成正比例1y 是 x 的一次函數(shù)嗎？請說明理由；2在什么條件下，y 是 x 的正比例函數(shù)？15. 如圖，直線L： y1 x2 與 x 軸、 y 軸分別交于A、B 兩點，在 y 軸上有一點2C0，4, 動點 M從 A 點以每秒1 個單位的速度沿x 軸向左移動。1求 A、B 兩點的坐標；2求 COM的面積 S 與 M的移動時間t 之間的函數(shù)關系式；3當 t 何值時 COM AOB，并求此時M點的坐標。一次函數(shù)

17、增減性與不等式1. 點 -4 ，y 1， 2，y 2都在直線y= -12 x+b上，那么y1 、 y2 大小關系是2. 關于 x 的不等式ax 1 0 a 0的解集是x 1，那么直線yax 1 與 x 軸的交點是3. 假設正比例函數(shù)y=(2 3m)x 的圖象經(jīng)過點A x1，y1和 Bx2，y2，且當 x 1x 2 時， y1y 2，那么 m的取值范圍是4.2x y 0，且 x5 y，那么 x 的取值范圍是 5、如圖，函數(shù)y 3x b 和 y ax 3 的圖象交于點P( 2， 5) ，那么根據(jù)圖象可得不等式 3x b ax 3 的解集是 。y2y3xb-2O2-2yax3 xyy1y2A6、如圖

18、，一次函數(shù) y1 k1xb1 與 y2k 2x b2 的圖象相交于A(3 ，Ox7，那么不等式(k 2 k 1)x b2 b1 0 的解集為 8. 不等式 x 5 3x 3 的解集是x 2，那么直線y x 5 與 y 3x 3?的交點坐標是 m 取何實數(shù)，直線y=x+3 m 與 y= x+1 的交點不可能在第 象限 .10、以下圖中表示一次函數(shù)ymx+n 與正比例函數(shù)y m nx(m ， n 是常數(shù)，且mn0) 圖像的是 ()11. 一次函數(shù)ykxk ，其在直角坐標系中的圖象大體是A B12. 如下圖，正比例函數(shù)ykx(k0) 的函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大，那么一次函數(shù)yxk 的圖象大致是yyyyxxxA B Dyy 2=xa02x4O3y =kxb113 題圖14題圖13 一次函數(shù)ykxb 的圖象如下圖，當x 1 時， y 的取值范圍是A、 2 y 0B、 4 y 0C、y 2D、y 414、一次函數(shù)y1 kx b 與 y2 xa 的圖象如圖，那么以下結論k0； a 0；當x 3 時， y1 y 2 中，正確的個數(shù)是A、0B、1C、2D、315下面圖象中，關于x 的一次函數(shù)y mx (m 3) 的圖象不可能是()xx3x， y 滿足