圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題

1、1、已知定點(diǎn)，定直線，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到直線的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，過(guò)點(diǎn)的直線交于B,C兩點(diǎn)，直線AB,AC分別交于點(diǎn)M,N.（1）求的方程.（2）試判斷以線段為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由.1）設(shè)，則由題意知，整理可得. 的方程為.（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，由消去得（3-k2）.由題意知，且.設(shè)，則，.x1x2-1，直線 的方程為, 因此點(diǎn)的坐標(biāo)為,.同理可得.,即以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn). 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，其方程為，則不妨令,的方程為，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，.同理可得.,即以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).綜上，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).2、橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)，過(guò)

2、其焦點(diǎn)F(0,1)的直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn).直線AC與直線BD交于點(diǎn).（）當(dāng)=時(shí)，求直線的方程；()當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證: 為定值.【思路點(diǎn)撥】（）先求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(0,1)，故只需利用弦長(zhǎng)公式求出斜率即可.()直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，但斜率不確定，故點(diǎn)的坐標(biāo)隨直線斜率的變化而變化.所以可用直線的斜率表示點(diǎn).若設(shè)的方程為則要證為定值，只需用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo).通過(guò)聯(lián)立直線AC,BD的方程求點(diǎn)的橫坐標(biāo).【精講精析】（）因橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由已知得，.則橢圓方程為.直線垂直于軸時(shí)與題意不符.設(shè)的方程為.由消去得， . 則，. ， 由解得.

3、的方程為或.() 直線垂直于軸時(shí)與題意不符. 設(shè)的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)，由（）知，直線的方程為，直線的方程為，將兩直線方程聯(lián)立，消去得.，與異號(hào).與異號(hào)，與同號(hào).解得.點(diǎn)的坐標(biāo)為.故為定值.3、如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為.()求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；() 設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】由橢圓的離心率及準(zhǔn)線的定義可求出的值,然后由可求出的值,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.直接設(shè)出的坐標(biāo),根據(jù)題目中的條件列出等式求解.【精講精析】()由解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.()設(shè),則由得即因?yàn)辄c(diǎn)

4、在橢圓上,所以,，故設(shè)分別為直線的斜率,由題設(shè)條件知,因此，所以.所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).設(shè)該橢圓的左,右焦點(diǎn)為,則由橢圓的定義為定值,又因,因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為即存在滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn). 4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（）求的最小值；（）若，（i）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）試問(wèn)點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學(xué)生的題目.（I）設(shè)直線，聯(lián)立方程，再由韋達(dá)定理得出中點(diǎn)E

5、的坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的關(guān)系，再由交點(diǎn)直線系方程得出l過(guò)定點(diǎn). （ii）可先假設(shè)對(duì)稱(chēng)，然后通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證這樣的圓是否存在.【精講精析】（）由題意:設(shè)直線,由消y得:,，設(shè)A，B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,因?yàn)镺，E，D三點(diǎn)在同一直線上，所以即，解得，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為2.（）（i）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,又因?yàn)?且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得y=0,與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān),所以直線過(guò)定點(diǎn)(-1,0).（i

6、i）假設(shè)點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,由（i）知點(diǎn)G,所以點(diǎn)B,又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(-1,0),所以直線的斜率為，又因?yàn)?，所以解得或，又因?yàn)?所以舍去,即，此時(shí)k=1，m=1，E（），.AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),此時(shí)的外接圓的方程為: .5、設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，且滿(mǎn)足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線C于P，

7、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m,使得對(duì)任意的k>0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】本題考查求軌跡的方法和直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是把點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)出，用代入法求軌跡，再結(jié)合一定的運(yùn)算能力求解.【解析】（1）如圖1.設(shè)，則由得.又A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),則.把代入得曲線C的方程為:.當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓; 當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. (2)如圖2,3, 對(duì)任意的k>0 ,設(shè),直線QN的方程為: 將其代入橢圓方程并整理得:.依題意設(shè)此方程的兩根為: ,

8、對(duì)任意的k>0,都有PQPH,又點(diǎn)H在直線QN上,所以于是.又PQPH,則,即,也就是.故存在m=,使得對(duì)任意的k>0，都有PQPH. 7、如圖，動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn). (1)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.(2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.【解題指南】（1）由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)的某個(gè)變量來(lái)表示矩形面積，建立函數(shù)，求最值.（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，用交軌法求軌跡方程.【解析】（1）由于A,B,C,D四

9、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)則矩形ABCD的面積為，由點(diǎn)在橢圓上，所以從而，故時(shí)，取得最大值.從而取得最大值6.此時(shí).（2）由可得直線的方程：-直線的方程：-設(shè)直線與直線的交點(diǎn)由得-由（1）知-代入整理得，因此點(diǎn)M的軌跡方程為.4.（2012·遼寧高考理科·T20）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，.點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn).定點(diǎn)、定值和最值問(wèn)題1、已知定點(diǎn)，定直線，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到直線的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，過(guò)點(diǎn)的直線交于B,C兩點(diǎn)，直線AB,AC分別交于點(diǎn)M,N.（1）求的方程.（2）試判斷以線段為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由.2、橢圓有兩

10、頂點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)，過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn).直線AC與直線BD交于點(diǎn).（）當(dāng)=時(shí)，求直線的方程；()當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證: 為定值.3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（）求的最小值；（）若，（i）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）試問(wèn)點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.4、如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為.()求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；() 設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.5、設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，且滿(mǎn)足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N