概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案徐雅靜版

1、習題答案第1章 三、解答題 1設P(AB) = 0，則下列說法哪些是正確的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2設A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因為，又因為即 所以(1) 當時P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 時P(AB)取到最小值，最小值是P(

2、AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B) 解：因為，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，試求 解：因為P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因為P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總取法有種，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)

3、法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復部分：-法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼求： (1) 求最小號碼為5的概率； (2) 求最大號碼為5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率 解：設M1, M2, M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的事件，則, , 8設5個產品中有3個合格品，2個

4、不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設M2, M1, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則 , 9口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率 解：設M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則.所以 10 若在區(qū)間(0，1)內任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 任取兩個數(shù)的所有結果構成樣本空間W = (x，y)：0 x，

5、y 1 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5因此圖？ 11隨機地向半圓（為常數(shù)）內擲一點，點落在半圓內任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示隨機地向半圓內擲一點的坐標，q表示原點和該點的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 隨機地向半圓內擲一點的所有結果構成樣本空間 W=(x，y)： 事件A =“原點和該點的連線與軸的夾角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格

6、品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應理解為求“已知所取兩件產品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設A=“所取兩件產品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；， 14有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設A=“從第1個箱子中取出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球

7、”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設M=“原發(fā)信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得 16三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17設事件A與B相互獨立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求

8、. 解：由于A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A與B相互獨立,所以A與相互獨立，所以 18甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設A=“甲射擊目標”，B=“乙射擊目標”，M=“命中目標”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以 19某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不

9、合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時，情況又如何？ 解：設Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P

10、(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件ABC = ，且已知，求P(A) 解：因為ABC = ，所以P(ABC) =0,因為A，B，C兩兩相互獨立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2設事件A，B，C的概率都是，且，證明： 證明：因為，所以將代入上式得到整理得 3設0 P(A) 1，0 P(B) 1時，所以；（2）

11、， 當時，為不可能事件，則， 當時，則， 當時，則，根據(jù)得 ；（3），當時，當時，所以 ；7. (1) 證明：由題意知。，當時，即，當時，當時，故有，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布；（2） 當時， 當時， 當時， 由以上結果，易知，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值為(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/31/2=/3同理可求得PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2(1

12、) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P(X,Y)A=PX+Y1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則PX=0,Y=0=)=P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1

13、,Y=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由歸一性知：1=, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PXY= (4)F(x,y)=即F(x,y)=5.解：PX+Y1=6 解：X的所有可能取值為0,1,2,Y的所有可能取值為0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.53=0.125; 、PX=0,Y=1=0.53=0.125PX=1,Y=1=, PX=1,Y=2=PX=2,Y=2=0.53=0.125, PX=2,Y=3=0.53=0.125X,Y 的分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100

14、.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為10 解： 當00時，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max

15、(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.3114 解： 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則PZ=1=PXY=PZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律為Z01Pk0.50.515 解：同理，顯然，所以X與Y不相互獨立.16 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z)=(2) 利用卷積公式：17 解：由定理3.1（p75）知，X+YN(1,2)故18解：(1) (x0)同理， y0顯然，所以X與Y不相互獨立(2).利用公式19解：并聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=maxX,Y因XE(a),YE(b),故 串聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=m

16、inX,Y (B)組1 解：PX=0=a+0.4, PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+bPX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a由于X=0|與X+Y=1相互獨立, 所以PX=0, X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1),(2)得 a=0.4, b=0.12 解: (1) (2) 利用公式計算3.解：(1) FY(y)=PYy=PX2y當y0時，fY(y)=0當y0時，從而，(2) F(-1/2,4)=PX-1/2,Y4= PX-1/2,X24=P-2X-1/2=4.解：PXY0=

17、1-PXY=0=0即 PX=-1,Y=1+PX=1,Y=1=0由概率的非負性知，PX=-1,Y=1=0，PX=1,Y=1=0由邊緣分布律的定義，PX=-1= PX=-1,Y=0+ PX=-1,Y=1=1/4得PX=-1,Y=0=1/4再由PX=1= PX=1,Y=0+ PX=1,Y=1=1/4得PX=1,Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1,Y=1+ PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1= PX=0,Y=1知PX=0,Y=1=1/2最后由歸一性得：PX=0,Y=0=0(X,Y)的分布律用表格表示如下： YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(

18、2) 顯然，X和Y不相互獨立，因為PX=-1,Y=0 PX=-1PY=05 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 6.解：(X,Y)(G)設F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=PXYss0時，F(xiàn)s(s)=0s0時，所以，于是，S=Y概率密度為7.解：由全概率公式：FU(u)=PUu=X+Yu=PX=1PX+Yu|X=1+ PX=2PX+Yu|X=2= PX=1P1+Yu+ PX=2P2+Yu=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2)所以，fU(u) =0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2)8. 解：(1) (2) 如圖所示，當z0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z2時

19、，F(xiàn)Z(z)=1 當0z2時:綜上所述，所以Z的概率密度為：9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)PZ1/2|X=0=PX+Y1/2|X=0=PY1/2=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+Yz|X=1+PX=0PX+Yz|X=0=PX=-1PX+Yz|X=-1= PX=1P1+Yz+PX=0PYz=PX=-1P-1+Yz=1/3FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)從而，fZ(z) =1/3fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)=11.解：如圖，當z0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z1時，F(xiàn)Z(z)=1 當0z1時:綜上得：12Z的概

20、率密度為12 解：當z5時， ，當5時，0.E(X) =所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9. 在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數(shù)學期望E(X)解：E(X) =1/4 10. 設隨機變量X的概率密度如下，求E(X)解：.11. 設，求數(shù)學期望解：X的分布律為， k = 0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時，相應的取值為0，1，0，-1，0，所以 12. 設風速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，（k 0，常數(shù)），求W的數(shù)學期望解：V的分布律為，所以 13. 設隨機變量(X, Y )的分布律為 Y X01203/289/283/

21、2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X Y )解：E(X)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.14. 設隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產品生產的天數(shù)X是一個隨機變量，具有分布律X10 11 12 13 14pi0.2 0.3 0.

22、3 0.1 0.1所得利潤（以元計）為,求E(Y)，D(Y)解： E(Y) = E1000(12-X)=1000(12-10)0.2+(12-11)0.3+(12-12)0.3+(12-13)0.1+(12-14)0.1 = 400E(Y2) = E10002(12-X)2=10002(12-10)20.2+（12-11）20.3+（12-12）20.3+（12-13）20.1+（12-14）20.1=1.6106D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1.6106- 4002=1.44106 16. 設隨機變量X服從幾何分布 ，其分布律為其中0 p 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)解：令q=1- p

23、 ,則 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 設隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設隨機變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因為，所以=-1/632=-1,19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, E(X2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28

24、+0+0)=4/7, E(Y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -E(X)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- E(Y)2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) (3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ()= -/520. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 設二維隨機變量(X, Y )的概率密度為試驗

25、證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關.當x2 + y21時，f ( x,y)fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨立的22. 設隨機變量(X, Y )的概率密度為驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的解：由于f ( x,y)的非零區(qū)域為D: 0 x 1, | y | 2x ,所以Cov(X，Y)=0，從而，因此X與Y不相關 . 所以，當0x1, -2y2時，所以X和Y不是相互獨立的 .四、應用題.1. 某公司計劃開發(fā)一種新產品市場，并試圖確定該產品的產量，他們估計出售一件產品可獲利m元，而積壓一件產品導致n元

26、的損失，再者，他們預測銷售量Y（件）服從參數(shù)的指數(shù)分布，問若要獲利的數(shù)學期望最大，應該生產多少件產品？（設m,n,均為已知）.解：設生產x件產品時，獲利Q為銷售量Y的函數(shù) y 0 y=所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+E(Y)2=1+4=53. 設隨機變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機變量試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2) 解：(1) PX =-1, Y =-1= PU -1且U 1= PU -1=，PX =-1, Y =1= PU -1且U 1= 0，PX =1, Y =-1= P-1 -1且U 1= PU 1=，所以和的聯(lián)合分

27、布律為 X Y-11-11/41/2101/4(2) 和的邊緣分布律分別為X 11pi1/43/4Y 11pi3/41/4所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0，E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24. 設隨機變量X的期望E(X)與方差存在，且有，證明證明：首先證明E（Y）存在(1) 若隨機變量X為離散型隨機變量，分布律為：則由

28、E(X)存在知，絕對收斂，且記,則絕對收斂，所以E（Y）存在，,(2) 若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則：5. 設離散型隨機變量X的分布律為，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時取得最小值，且最小值為D(X)證明：令，則，所以，又，所以時，取得最小值，此時 6. 隨機變量X與Y獨立同分布，且X的分布律為X12pi2/31/3記， (1) 求(U，V)的分布律；(2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V).解：(1) (X ,Y)的分布律 Y X1214/92/922/91/9(X ,Y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9U12

29、22V1112 V U1214/9024/91/9(2) E(U)= 4/9+25/9=14/9，E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 21/9=10/9，E(UV)= 4/9+24/9+41/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 隨機變量X的概率密度為令為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)解： 8. 對于任意二事件A和B，0 P(A) 1，0 P(B) 1，稱作事件A和B的相關系數(shù) (1) 證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關系數(shù)等于零 (2) 利用隨機變量相關系數(shù)的基本性質，證明證明: (1) ,即(2) 考慮隨機變量X和Y X服

30、從0-1分布:X01pi1-P(A)P(A)Y服從0-1分布:X01pi1-P(B)P(B)可見, 隨機變量和的相關系數(shù)由兩隨機變量的相關系數(shù)的基本性質有第五章5三、解答題1. 設隨機變量X1，X2，Xn獨立同分布，且XP(l)，試利用契比謝夫不等式估計的下界。解：因為XP(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = 0.5，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P|X + Y | 3的上界。解：由題知 =0Cov= -1.5所以3. 據(jù)以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨

31、立的求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率解：設i個元件壽命為Xi小時，i = 1 ,2 , . , 16 ，則X1 ，X2 ，. ，X16獨立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由獨立同分布的中心極限定理可知：近似服從N ( 1600 , 1.610000)，所以=1- 0.7881= 0.21194. 某商店負責供應某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時間內每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時間段各人購買與否彼此無關，問商店應預備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷（假定該商品在某一時間段內每人

32、最多可以買一件）解：設商店應預備n件這種商品，這一時間段內同時間購買此商品的人數(shù)為X ，則X B（1000，0.6），則E(X) = 600，D (X ) = 240，根據(jù)題意應確定最小的n，使PX n = 99.7%成立.則PX n 所以，取n=643。即商店應預備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷。5. 某種難度很大的手術成功率為0.9，先對100個病人進行這種手術，用X記手術成功的人數(shù)，求P84 X 95解：依題意, X B（100，0.9），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結帳柜臺替顧客服務的時間（以分鐘計）是相互獨立的隨機變量，均值為1.5，方差為1求對100位顧客的總服務時間不多于2小時的概率解：設柜臺替第i位顧客服務的時間為X i ，i = 1,2,3.100.則X i ，i = 1,2,3.100獨立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以 即對100位顧客的服務時間不多于兩個小時的概率為0.0013.7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產筆記本電腦10000臺，為了以9