數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí) 總體：研究對(duì)象的全體?？傮w：研究對(duì)象的全體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。組成總體的元素稱為個(gè)體。組成總體的元素稱為個(gè)體。16.1、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本16.1.1 總體與個(gè)體總體與個(gè)體16.1.2 16.1.2 樣本：樣本：來(lái)自總體的部分個(gè)體來(lái)自總體的部分個(gè)體 1 1， ， n n 如果滿足：如果滿足：（1 1）同分布性：同分布性： i i，i=1,i=1,n,n與總體同分布與總體同分布. .（2 2）獨(dú)立性：）獨(dú)立性： 1 1， ， n n 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； 則稱之為容量為則稱之為容量為n n 的簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣

2、本，簡(jiǎn)稱樣本隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。而稱而稱 1 1， ， n n 的一次的一次實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為x x1 1， ，x xn n 總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷樣本觀察值，去推斷總體的情況總體的情況總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣。總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀

3、察值去推斷總體去推斷總體16.2 總體矩、樣本矩及其關(guān)系總體矩、樣本矩及其關(guān)系16.2.1 總體矩總體矩1kkvE、k階原點(diǎn)矩2() kkuEE、k階中心矩把總體的各階中心矩和原點(diǎn)矩統(tǒng)稱為把總體的各階中心矩和原點(diǎn)矩統(tǒng)稱為總體矩總體矩1 樣本的原點(diǎn)矩與樣本均值樣本的原點(diǎn)矩與樣本均值111,niikn特別的，得樣本均值111nkkiivn、原點(diǎn)矩16.2.2 樣本矩樣本矩122121012()(),niikukSnSS特別地，時(shí)得樣本方差樣本均方差標(biāo)準(zhǔn)差16.2.3 樣本中心矩與樣本方差樣本中心矩與樣本方差112() ,nkkiiun、中心矩16.2.3 樣本矩、總體矩及其相互聯(lián)系樣本矩、總體矩及

4、其相互聯(lián)系212.).nED定理16.1假設(shè)總體存在二階矩，記，（，為來(lái)自總體的樣本，則樣本矩與總體矩有如下聯(lián)系：212EDn）； ）22*22*22113),4)1()1niinESESnSn稱 為 樣 本 修 正 方 差例例16.1 16.1 從某班級(jí)的英語(yǔ)期末考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取從某班級(jí)的英語(yǔ)期末考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取1010名同學(xué)的成績(jī)分別為：名同學(xué)的成績(jī)分別為：100100，8585，7070，6565，9090，9595，6363，5050，7777，8686（1 1）試寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量；）試寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量；（2 2）求樣本均值，樣本修正方差及二階原

5、點(diǎn)矩。）求樣本均值，樣本修正方差及二階原點(diǎn)矩。 樣本： （1，2，3，10） 樣本值：)x ,x ,x(n21=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86） 樣本容量：樣本容量：=10=1010111(2)(100+85+&+86)=78.11010iixx2*2222111()21.96.97.9 252.519niisxxn10222222211111(100857086 )6326.91010niiiivxxn例例16.2 設(shè)總體設(shè)總體有分布密度有分布密度121002*21,1( )0.12.xxp xSS ，其它從中抽取樣本（ ， ，）樣本均值 的期望和方差

6、；）樣本方差與樣本修正方差的期望解：分布密度為0110(1)(1)0Exx dxxx dx則01222101(1)(1)6Dxx dxxx dx6001nXD0XE12 , ,) )60099n1nES222 ) )61ES22 * * 其它, , , , , ,) )( (01x0 x10 x1x1xp16.3 統(tǒng)計(jì)量及幾個(gè)重要分布16.3.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量定義：如果定義：如果g( 1， ， n )不含不含 未知未知 參數(shù)參數(shù),稱稱樣本樣本 1， ， n 的函數(shù)的函數(shù) g( 1， ， n )是總體是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,16.3.2 四類統(tǒng)計(jì)量及其分布四類統(tǒng)計(jì)量及其分布16.3.2

7、.1 U U統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布2( ,),(0,1)/NUNUn 若則稱為統(tǒng)計(jì)量 2分布及其臨界值分布及其臨界值2221121.,(0,1),( ).niidniiNk定義設(shè)則稱為自由度為n的分布2. 臨界值表的結(jié)構(gòu)和使用臨界值表的結(jié)構(gòu)和使用 設(shè)設(shè) 2(n)，若對(duì)于，若對(duì)于 ：0 1， 存在存在02 滿足滿足22,P則稱則稱2為為2( )n分布的上分布的上 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。22( ; )n 例例16.3 給定給定 =0.05,自由度自由度n=25,求求滿足下面等式的臨界值滿足下面等式的臨界值:2221, PP222:( ; )(0.05;25)37.652n解22112211(1;

8、)(0.95;25)14.611PPn *222222(1)(1);nSnSn3 2統(tǒng)計(jì)量未知時(shí)，已知時(shí)?) )( ( ) )( (nX22n1i2i2 1.定義定義 若若 N(0, 1), 2(n), 與與 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 ( )./tt nk稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布。分布。 記為記為tt(n)、t統(tǒng)計(jì)量及分布統(tǒng)計(jì)量及分布2.2.臨界值表的結(jié)構(gòu)和使用臨界值表的結(jié)構(gòu)和使用設(shè)T Tt(n)t(n)，若對(duì) :0:0 1,00， 滿足PTPT t t = ，則稱t t 為t(n)t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)t例例16.4 給定給定 =0.05,自由度自由度n=20,求滿足求滿足下面等式的臨界值

9、下面等式的臨界值:(1) , P ttP tt 22(2) , P ttP tt :(1)( ; )(0.05;20)1.7247ttnt解1.7247P ttP ttt 2(2)(; )(0.025;20)2.0862ttnt22.086t 3 t統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布* (1)./tt nSn16.3.2.4 F統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布1.定義定義 若若 2(n1)， 2(n2)， ， 獨(dú)立，則獨(dú)立，則1122/( ,)./nFF n nn 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為第二自由度為n2的的F分分布布2. F2. F分布分布臨界值表臨界值表對(duì)于對(duì)于 ：00 100，滿足滿足PFPF F F = ， 則稱則稱F F 為為F(nF(n1 1, n, n2 2) )的的上側(cè)上側(cè) 分位點(diǎn)；分位點(diǎn)；記為記為F F（ ; n; n1 1, n, n2 2 ) )F12211(1;,)( ;,)FFn nFn n注：注：例例16.5 給定給定 =0.1,自由度自由度n1=10, n2=5,求求滿足下面等式的臨界值滿足下面等式的臨界值:21(1) (2) P FP F212(1)( ;,)(0.1;10,5)3.3Fn nF解 112211(2)(1;,)( ;,)12.52(0.1;5,10)Fn nFn nF(4) F 統(tǒng)