立體幾何解題方法技巧

1、.立體幾何高考對本節(jié)知識的考查主要有以下兩個考向：1. 三視圖幾乎是每年的必考內(nèi)容，一般以選擇題、 填空題的形式出現(xiàn)，一是考查相關(guān)的識圖，由直觀圖判斷三視圖或由三視圖想象直觀圖，二是以三視圖為載體，考查面積、體積的計算等，均屬低中檔題.2. 對于空間幾何體的表面積與體積，由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)槿晥D及柱、錐與球的接切問題相結(jié)合，特別是已知空間幾何體的三視圖求表面積、體積是近兩年高考考查的熱點(diǎn)，題型一般為選擇題或填空題1 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系2 空間幾何體的三視圖(1) 三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正

2、上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形(2) 三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣(3) 畫三視圖的基本要求： 正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高看不到的線畫虛線3 直觀圖的斜二測畫法空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1) 原圖形中 x 軸、y 軸、z 軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為 45°( 或 135°) ，z軸與 x軸和 y軸所在平面垂直(2) 原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸平行于x 軸和 z 軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y

3、 軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话? 空間幾何體的兩組常用公式(1) 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式：S 柱側(cè) ch( c 為底面周長， h 為高 ) ；S錐側(cè) 1( 為底面周長，為斜高 ) ；2chch1 S 臺側(cè) 2( cc)h(c， c 分別為上下底面的周長，h為斜高 ) ；2 S 球表 4 R( R為球的半徑 ) (2) 柱體、錐體和球的體積公式：.下載可編輯 . V 柱體 Sh( S為底面面積， h 為高 ) ；1 V 錐體 3Sh( S 為底面面積， h 為高 ) ；1 V 臺 ( SSS S)h( 不要求記憶 ) ；34 V 球 3 R3.考點(diǎn)一三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化例1(1)

4、已知三棱柱的正視圖與俯視圖如圖，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為()(2) 將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為().下載可編輯 .答案(1)B(2)D解析(1) 底面為正三角形，一側(cè)棱垂直于底面由虛線知可能有一側(cè)棱看不見 由題知這個空間幾何體的側(cè)視圖的底面邊長是3 ，故其側(cè)視圖只可能是選項B 中的圖形(2) 如圖所示，點(diǎn) D1 的投影為 C1，點(diǎn) D的投影為 C，點(diǎn) A 的投影為 B，故選 D.空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖

5、確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果(1)(2013 ·課標(biāo)全國 ) 一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()(2)(2012 ·湖南 ) 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()答案(1)A(2)D解析(1) 根據(jù)已知條件作出圖形：四面體C1A1DB，標(biāo)出各個點(diǎn)的坐標(biāo)如圖(1) 所示，可以看出正視圖為正方形，如圖(2) 所示故選A

6、.(2) 根據(jù)幾何體的三視圖知識求解由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不可能是 D.考點(diǎn)二幾何體的表面積及體積.下載可編輯 .例2(1) 某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是()A8B62C10D82(2)(2013 ·浙江 ) 若某幾何體的三視圖( 單位： cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于_ cm 3.答案(1)C(2)24解析(1) 由三視圖可想象出如圖所示的三棱錐，SA平面 ABC， ABC中 ABC90°， SA AB 4， BC3，因此圖中四個面的三角形均為直角三角形， SB 42 ，AC

7、 5，S SAC 10， S SAB 8， S SBC62，S ABC6，所以最大面積是10.下載可編輯 .(2) 由三視圖可知，其直觀圖為：AB 4， AC 3， BAC90°， BC5.作 AH BC于 H，AB· AC12AHBC 5.作 A1M BB1 于 M， A1NCC1 于 N. 連接 MN.V1×(5 ×3) ×12(3 ×4) ×1×2 24.352(1) 求幾何體的表面積及體積問題， 可以多角度、 多方位地考慮， 熟記公式是關(guān)鍵所在 求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底

8、面放在已知幾何體的某一面上(2) 求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解(1)(2013 ·江西) 一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A 2009B 20018C 1409D 14018(2)(2012 ·遼寧 ) 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_答案(1)A(2)38解析(1) 該幾何體是由一個長方體與一個半圓柱構(gòu)成12V10×4×5 2××3 ×2 2009.(2) 將三視圖還原為直觀圖后求解根據(jù)三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱，所以

9、S2×(4 3 12) 2 2 38.考點(diǎn)三多面體與球.下載可編輯 .例3如圖所示，平面四邊形ABCD中， AB ADCD 1， BD 2 ，BD CD，將其沿對角線 BD折成四面體 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面體 ABCD的頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的體積為()32A. 2 B3C. 3 D2要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關(guān)系確定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中點(diǎn)到三角形各個頂點(diǎn)的距離相等，只要再證明這個點(diǎn)到點(diǎn)A 的距離等于這個點(diǎn)到B，C，D的距離即可確定球心，進(jìn)而求出球的半徑，根據(jù)體積公式求解即可答案A

10、解析如圖，取 BD的中點(diǎn) E， BC的中點(diǎn) O，.下載可編輯 .連接 AE， OD， EO， AO.由題意，知AB AD，所以 AE BD.由于平面 ABD平面 BCD， AE BD，所以 AE平面 BCD.因為 AB AD CD 1， BD2，213所以 AE 2 ，EO 2. 所以 OA 2 .1 3在 Rt BDC中， OB OCOD 2BC 2 ，3所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為2 .4333所以該球的體積 V (2) . 故選 A.32多面體與球接、切問題求解策略(1) 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)( 一般為接、切點(diǎn) ) 或線作截面，把

11、空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系， 或只畫內(nèi)切、 外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑 ( 直徑 ) 與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程( 組 ) 求解(2 ) 若球面上四點(diǎn)P， A， B， C構(gòu)成的三條線段PA，PB， PC兩兩互相垂直，且PA a，PB b， PC c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2 a2 b2 c2求解(1) 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4 的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積是()A12B24C32D48(2) 一個空間幾何體的三視圖如圖所

12、示，且這個空間幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積是 _答案(1)D(2)16 解析(1) 由已知條件知該幾何體的直觀圖如圖所示，PA面 ABCD， PAC、 PBC、 PCD均為直角三角形，且斜邊相同，所以球心為 PC中點(diǎn) O， OA 1PC OB OD23. 球的表面積為S4(OA) 22 48 .下載可編輯 .(2) 該幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為3，高為 2. 設(shè)其外接球的球心為O，上、下底面中心分別為B、 C，則 O為 BC的中點(diǎn)，如圖所示2則 AB 3×3sin 60 °3， BO1，該棱柱的外接球半徑為22R AB BO 2，球的表面積是S4

13、 R216.1 空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積， 是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和2 在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量( 球除外 ) ，因此體積計算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個量 在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面3 一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補(bǔ)形的方法，從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，而補(bǔ)形又分為對稱補(bǔ)形 ( 即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進(jìn)行補(bǔ)形 ) 、

14、還原補(bǔ)形 ( 即 還臺為錐 ) 和聯(lián)系補(bǔ)形 ( 某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解 ) 4 長方體的外接球(1) 長、寬、高分別為 a、b、c 的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即a2 b2 c2 2R；(2) 棱長為 a 的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即3a 2R.1 從一個正方體中截去部分幾何體，得到一個以原正方體的部分頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多面體，其三視圖如圖，則該幾何體體積的值為()A52B62C9D10答案C解析由三視圖知，其直觀圖為棱錐 A BCDE.下載可編輯 .2719V 2723

15、×3× 2 9.故選 C.2 在三棱錐A中，側(cè)棱， ，兩兩垂直，的面積分別為BCDAB AC ADABCACDABD236A BCD的外接球體積為()2 ， 2， 2，則三棱錐A. 6B 2 6C 3 6D 4 6答案A解析如圖，以 AB， AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的直徑是長方體的對角線長AB·AC2，AB2，據(jù)題意AC· AD3，解得AC1，AB· AD6，AD3，長方體的對角線長為2226，ABACAD6三棱錐外接球的半徑為.24 6 3三棱錐外接球的體積為 V 3·

16、;( 2 ) 6.一、選擇題1 一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為2 ，則原梯形的面積為()A2B.2C22D4答案D解析直觀圖為等腰梯形，則上底設(shè)為x，高設(shè)為 y，則 S 直觀圖 1y( x 2y x) 2，21由直觀圖可知原梯形為直角梯形，其面積S2·2 2y·(x 2y x) 22×2 4.2 (2013 ·湖南 ) 已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1 的正方形，側(cè)視圖是一.下載可編輯 .個面積為2 的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()3B 12 1D.2A.C.22答案D解析俯視圖是面積為1 的正方形，此正方

17、體水平放置，又側(cè)視圖是面積為2的矩形，正方體的對角面平行于投影面，此時正視圖和側(cè)視圖相同，面積為2.3 (2013 ·課標(biāo)全國 ) 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A 168B 88C 1616D 816答案A解析將三視圖還原成直觀圖為：上面是一個正四棱柱，下面是半個圓柱體12所以 V2×2×4 2×2××4 168.故選 A.4 一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為()3 83 82C.36A.6B.663 92D.6答案A解析該幾何體由底面半徑為1 的半圓錐與底面為邊長等于2 的正方形的四棱錐組成，且高

18、都為3，因此該幾何體的體積112) ×13V ×( ××13 ×(2 ×2) ×332364 338，故選 A. 365 (2012 ·北京 ) 某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是().下載可編輯 .A28 6 5B306 5C 56 12 5D 60 12 5答案 B解析根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中 AE平面 BCD， CDBD，且 CD 4， BD 5， BE2， ED 3，AE 4. AE4， ED 3， AD5.

19、又 CD BD， CD AE，則 CD平面 ABD，故 CD AD，所以 AC 41且 SACD 10.在 Rt ABE中， AE 4， BE 2，故 AB 2 5. 在 Rt BCD中， BD 5， CD 4，故 SBCD 10，且 BC41.在 ABD中， AE 4， BD5，故 S ABD 10.在 ABC中， AB 25 ，BC AC41，1則 AB邊上的高 h 6，故 SABC 2×2 5×6 65.因此，該三棱錐的表面積為S 3065.6 某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2 的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為()333A. 3 B

20、. 6 C.2 D.3答案A解析三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故圓錐的高為h22 123. 易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積，即V12123圓錐3 r h 3×1×3 3 . 故選A.7 已知正方形ABCD的邊長為 22，將 ABC沿對角線 AC折起，使平面 ABC平面 ACD，得到如右圖所示的三棱錐B ACD.若 O為.下載可編輯 .AC邊的中點(diǎn)， M， N分別為線段DC， BO上的動點(diǎn) ( 不包括端點(diǎn) ) ，且 . 設(shè)，則三棱錐的體積y() 的函數(shù)圖象大致是 ()BN CMBN x

21、NAMCfx答案B解析由平面 ABC平面 ACD，且 O為 AC的中點(diǎn)，可知BO平面 ACD，易知 BO 2，故1三棱錐 N AMC的高為 ON 2 x， AMC的面積為 2· MC· AC·sin45°2x，故三棱錐 的體積為y1x) ·2x2x2 2 )(0<x<2) ，函數(shù)f() 的( ) ·(2 (NAMCfx33xx圖象為開口向下的拋物線的一部分二、填空題8 (2012 ·山東 ) 如圖，正方體 ABCD A1B1C1 D1 的棱長為 1， E， F 分別為線段 AA1， B1C上的點(diǎn)，則三棱錐 D1E

22、DF的體積為 _1答案6解析利用三棱錐的體積公式直接求解1VD1 EDF VF DD1E 3S D1 DE· AB 1×1×1×1×1 1.3269 (2013 ·江蘇 ) 如圖，在三棱柱A1B1C1 ABC中， D，E， F 分別是 AB， AC，AA1 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐 F ADE的體積為 V1，三棱柱 A1B1C1 ABC的體積為 V2，則 V1 V2 _.答案124解析設(shè)三棱錐 F ADE的高為 h，11h 21AD·AE·sin DAE3則VV122h2AD2AEsin DAE2 1 .2410已知矩形A

23、BCD的面積為 8，當(dāng)矩形周長最小時，沿對角線AC把 ACD折起，則三棱錐D ABC的外接球的表面積等于_答案16解析設(shè)矩形的兩鄰邊長度分別為a， b，則 ab 8，此時 2a 2b4 ab 82，當(dāng)且.下載可編輯 .僅當(dāng) a b 22時等號成立，此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點(diǎn)的距離相等，均為 2，無論怎樣折疊，其四個頂點(diǎn)都在一個半徑為2 的球面上，這個球的表面積2是 4×2 16.俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為_21答案66解析據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個半球( 下部 ) 與一個四面體( 上部 )的組合體，其直觀圖如圖所示，其中BA，

24、BC， BP兩兩垂直，且BA BC BP1， ( 半 ) 球的直徑長為AC2，該幾何體的體積為14AC311× · ·21半球 P ABC × ( ) × .V VV3232BA BC PB626三、解答題12(2013 ·福建 ) 如圖，在四棱錐P ABCD中， PD平面 ABCD， ABDC，AB AD， BC 5， DC 3，AD 4， PAD60°.(1) 當(dāng)正視方向與向量P ABCD的正視AD的方向相同時，畫出四棱錐圖 ( 要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過程) ；(2) 若 M為 PA的中點(diǎn)，求證：DM平面 PBC；(3) 求三棱錐D PBC的體積(1) 解 在梯形 ABCD中，過點(diǎn) C作 CE AB，垂足為 E.由已知得，四邊形ADCE為矩形， AE CD3，在 Rt BEC中，由 BC 5， CE 4，依據(jù)勾股定理得BE 3，從而 AB 6.又由 PD平面