高二數(shù)學(xué)橢圓1

1、第八章 圓錐曲線方程一 橢圓【考點闡述】橢圓及其標準方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)了解橢圓的參數(shù)方程【考試要求】（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程【考題分類】（一）選擇題（共6題）1.（湖北卷理10文10）如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道繞月飛行，若用和分別表示橢軌道和的焦距，用和分別表示橢圓軌道和的長軸的長，給出下列式子：; ; ; .其中正確式子的序號是A. B. C. D. 解

2、：由焦點到頂點的距離可知正確，由橢圓的離心率知正確，故應(yīng)選2.（江西卷理7文7）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是A B C D解：.由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則又,所以3.（上海卷文12）設(shè)是橢圓上的點若是橢圓的兩個焦點，則等于（ ）A4 B5 C8 D10 【答案】D【解析】 由橢圓的第一定義知4.（天津卷理5）設(shè)橢圓上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P點到右準線的距離為 (A) 6 (B) 2 (C) (D) 解析：由橢圓第一定義知，所以，橢圓方程為所以，選B5.（天津卷文7）設(shè)橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則

3、此橢圓的方程為（ ）ABCD解析：拋物線的焦點為，橢圓焦點在軸上，排除A、C，由排除D，選B6.（上海春卷14）已知橢圓，長軸在軸上. 若焦距為，則等于 （ ） （A）. （B）. （C）. （D）.解析：由題意得m-2>10-m 且10-m>0，于是6<m<10，再有(m-2)-(10-m)=22，得m=8。（二）填空題（共7題）1.（海南寧夏卷文15）過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_【標準答案】：【試題解析】：將橢圓與直線方程聯(lián)立：，得交點；故；【高考考點】直線與橢圓的位置關(guān)系【易錯點】：不會靈活地將三角形面積

4、分解而導(dǎo)致運算較繁?！救穫淇继崾尽浚簩τ趫A錐曲線目前主要以定義及方程為主，對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系只要掌握直線與橢圓的相關(guān)知識即可。2.（湖南卷理12）已知橢圓（ab0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .【答案】 【解析】3.（江蘇卷12）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ?！窘馕觥吭O(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得【答案】4.（全國卷理15）在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 答案：.設(shè)，則，.5

5、.（全國卷文15）在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 6.（上海卷理10）某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為1、2，那么船只已進入該淺水區(qū)的判別條件是 【答案】 【解析】依題意， ；7.（浙江卷理12文12）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則=_。解析：本小題主要考查橢圓的第一定義的應(yīng)用。依題直線過橢圓的左焦點

6、,在 中，又，（三）解答題（共18題）1.（安徽卷理22）設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點Q、A、B的坐標分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(

7、4)(3) 得 即點總在定直線上2.（安徽卷文22）設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點的準線方程為.（）求橢圓的方程；（）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：;（）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值解 ：（1）由題意得： 橢圓的方程為 (2)方法一： 由（1）知是橢圓的左焦點，離心率 設(shè)為橢圓的左準線。則 作，與軸交于點H(如圖) 點A在橢圓上 同理 。方法二： 當(dāng)時，記，則 將其代入方程 得 設(shè) ，則是此二次方程的兩個根. .(1) 代入（1）式得 .(2) 當(dāng)時， 仍滿足（2）式。 （3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得 ， 當(dāng)時，取得最小值3.（北京卷理19）已知菱形的頂點在橢

8、圓上，對角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過點時，求直線的方程；（）當(dāng)時，求菱形面積的最大值解：（）由題意得直線的方程為因為四邊形為菱形，所以于是可設(shè)直線的方程為由得因為在橢圓上，所以，解得設(shè)兩點坐標分別為，則，所以所以的中點坐標為由四邊形為菱形可知，點在直線上， 所以，解得所以直線的方程為，即（）因為四邊形為菱形，且，所以所以菱形的面積由（）可得，所以所以當(dāng)時，菱形的面積取得最大值4.（北京卷文19）已知的頂點在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標原點時，求的長及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程解：（）因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為設(shè)兩點坐標分別為由 得所以又因為邊上

9、的高等于原點到直線的距離所以，（）設(shè)所在直線的方程為，由得因為在橢圓上，所以設(shè)兩點坐標分別為，則，所以又因為的長等于點到直線的距離，即所以所以當(dāng)時，邊最長，（這時）此時所在直線的方程為5.（福建卷理21）如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.（）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（）設(shè)過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍.解：()設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，因為MNF為正三角形， 所以, 因此，橢圓方程為() 設(shè) ()當(dāng)直線 AB與x軸重合時， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所

10、以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又，所以對恒成立，即對恒成立,當(dāng)時，最小值為0，所以， ,，即,解得或(舍去)，即,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.6.（福建卷文22）如圖，橢圓（ab0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.（）求橢圓C的方程；（）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M. ()求證：點M恒在橢圓C上；()求AMN面積的最大值.本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力。解法一：（）由題設(shè)a=2,c=1,從而b2=a2-c2=3,所以橢圓C前方程為.()(i)由題意

11、得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n0),=1. AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.設(shè)M(x0,y0),則有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, n(x0-4)+(m-4)y0=0, 由，得x0=.所以點M恒在橢圓G上.()設(shè)AM的方程為x=xy+1,代入1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.設(shè)A(x1,y1),M（x2，y2），則有：y1+y2=|y1-y2|=令3t2+4=(4),則|y1-y2|因為4，0<|y1-y2|有最大值3，此時AM過點F.AMN的面積SAMN=解法二：（）問解法一：（）

12、（）由題意得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n0), AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由，得：當(dāng). 由代入，得=1（y0）.當(dāng)x=時，由，得：解得與a0矛盾.所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.（）同解法一.7.（海南寧夏卷理20）在直角坐標系xOy中，橢圓C1：的左、右焦點分別為F1、F2。F2也是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且。（1）求C1的方程；（2）平面上的點N滿足，直線lMN，且與C1交于A、B兩點，若·=0，求直線l的方程。解：（）由：知設(shè)，在上，因為，

13、所以，得，在上，且橢圓的半焦距，于是消去并整理得 ， 解得（不合題意，舍去）故橢圓的方程為（）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點，因為，所以與的斜率相同，故的斜率設(shè)的方程為由 消去并化簡得 設(shè)，因為，所以 所以此時，故所求直線的方程為，或8.（湖南卷文19）已知橢圓的中心在原點，一個焦點是，且兩條準線間的距離為。（I）求橢圓的方程；（II）若存在過點A（1，0）的直線，使點F關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，求的取值范圍。解：（I）設(shè)橢圓的方程為由條件知且所以 故橢圓的方程是（II）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是 設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為則 解得因為點在橢圓上，所以即設(shè)則因

14、為所以于是,當(dāng)且僅當(dāng)上述方程存在正實根,即直線存在.解得所以 即的取值范圍是9.（江蘇卷21C）在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值解： 因橢圓的參數(shù)方程為 故可設(shè)動點的坐標為，其中. 因此 所以，當(dāng)時，取最大值210.（遼寧卷理20）在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點（）寫出C的方程；（）若，求k的值；（）若點A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時，恒有|>|說明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力滿分12分解析：（）設(shè)P（x，y），由橢圓定義

15、可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為3分（）設(shè)，其坐標滿足 消去y并整理得，故5分若，即而，于是，化簡得，所以8分（） 因為A在第一象限，故由知，從而又，故，即在題設(shè)條件下，恒有12分11.（遼寧卷文21）在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為（）寫出C的方程；（）設(shè)直線與C交于A，B兩點k為何值時？此時的值是多少？解：（）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為4分（）設(shè)，其坐標滿足消去y并整理得，故6分，即而，于是所以時，故8分當(dāng)時，而，所以12分12.（全國卷理21

16、文22）設(shè)橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點（）若，求的值；（）求四邊形面積的最大值（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，2分如圖，設(shè)，其中，DFByxAOE且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或6分（）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為，9分又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為9分，當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分13.（山東卷文22）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓（

17、）求橢圓的標準方程；（）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點（1）若（為坐標原點），當(dāng)點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值解：（）由題意得又，解得，因此所求橢圓的標準方程為（）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，解方程組得，所以設(shè)，由題意知，所以，即，因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，因此，又，所以，故又當(dāng)或不存在時，上式仍然成立綜上所述，的軌跡方程為（2）當(dāng)存在且時，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時，綜上所述，的面積的最小值為解

18、法二：因為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時，綜上所述，的面積的最小值為14.（四川卷理21）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，（）若，求的值；（）證明：當(dāng)取最小值時，與共線?！窘狻浚河膳c，得 ，的方程為設(shè)則由得 （）由，得 由、三式，消去，并求得故（）當(dāng)且僅當(dāng)或時，取最小值此時，故與共線。【點評】：此題重點考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用；【突破】：熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進行向量的坐標運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應(yīng)用。15.（四川卷文22）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，點到右準線為的距離為（）求的值；（）設(shè)是上的兩個動點，證明：當(dāng)取最小值時，【解】：因為，到的距離，所以由題設(shè)得 解得由，得（）由得，的方程為故可設(shè)由知知 得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，此時所以， 【點評】：此題重點考察橢圓基本量間的關(guān)系，進而求橢圓待定常數(shù)，考察向量與橢圓的綜合應(yīng)用；【突破】：熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練進行向量的坐標運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中應(yīng)靈活應(yīng)用。16.（重慶卷理21）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿