一階微分方程的解的存在定理

1、第三章一階微分方程的解的存在定理研究對(duì)象初值問題(Cauchy Problem)f (x, y)(3.1)dxy(x。)= yo(3.2)1根本概念1) 利普希茲(Lipschitz) 條件函數(shù)f (x, y)稱為在閉矩形區(qū)域D : x-X。蘭a, y-y°蘭b上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果存在常數(shù) L . 0使得不等式f (x,yj - f(x,y2)| 蘭 L 浙y2對(duì)所有(x, yj,(x, y2) D都成立。其中L稱為利普希茲常數(shù)。2) 局部利普希茲條件稱函數(shù)f (x, y)在區(qū)域G R2內(nèi)關(guān)于y滿足局部利普希茲條件， 如果對(duì)區(qū)域G內(nèi)的每 一點(diǎn)，存在以其為中心的完全含于 G內(nèi)

2、的矩形域D，在D上f (x, y)關(guān)于y滿足利普希茲 條件。注意：對(duì)G內(nèi)不同的點(diǎn)，矩形域 D大小和常數(shù)L可能不同。3) 致利普希茲條件稱函數(shù) f (x, y,-)在區(qū)域 Gx(x, y, 2)(x,y) G, a /R2R內(nèi)一致地關(guān)于y滿足局部利普希茲條件，如果對(duì) G .內(nèi)的每一點(diǎn)(x, y, )都存在以(x, y,')為中心的球 S G x,使得對(duì)任何(x,，), (x, y2,卜S成立不等式f (x,y九)一f(x,y2,九)| 蘭 Ly1 -y2其中L是與無關(guān)的正數(shù)。4) 解的延拓設(shè)方程(3.1)右端函數(shù)f (x, y)在某一有界區(qū)域 G中有意義，y= (x),x a,b是初值問

3、題(3.1) > (3.2)的解，假設(shè)y (x)x 3,4也是初值問題的解，且a,b 力, 當(dāng)X . a,b時(shí)，(x)三F(x)，那么稱解t (x)是解(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)延拓。5) 包絡(luò)和奇解曲線族的包絡(luò) 是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中， 但過這條曲線上的每一點(diǎn), 有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解 在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切，這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。1)奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。2)通解中不一定包含方程的所有解，

4、例如奇解。3) 般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡(luò)的。2根本定理1)存在性與延拓性定理定理3.1 (皮卡(Picard )解的存在唯一性定理)如果函數(shù)f(x,y)在閉矩形域D : x Xo| 蘭 a, y y°| E b上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件，那么方程(3.1)存在唯一的連續(xù)解 y二(x)，定義在區(qū)間xXo < h 上,且滿足初始條件 y(x0)=y0，這里 h=min( a,)，M = max f(x, y)。 M(x,y問證明分五個(gè)步驟完成。步驟1 求解微分方程的初值問題等價(jià)于求解一個(gè)積分方程；步驟2 構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序列；步驟3 證

5、明此逐步逼近序列一致收斂；步驟4 證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解；步驟5 證明唯一性。注意：定理3.1中的條件是解存在唯一的充分條件而非必要條件。定理3.2 (皮亞諾(Peano )解的存在性定理)如果微分方程(3.1)的右端函數(shù)f(x, y)在某區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，任給點(diǎn)(x0,y0)G，那么滿足初始條件y(x() =y0的解在含x0的某區(qū)間上存在。定理3.3 對(duì)于隱式方程F(x,y,y) = 0 ,如果在點(diǎn)(x0,y0,y0)的某一鄰域中,a) F (x, y, y )對(duì)所有的變?cè)?x, y, y )連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；b) F(Xo,y°,yo) =0 ；、干(xo,y

6、°,yo)c) 0。那么方程F(x, y, yj = 0存在唯一的解y = y(x)， x x0|蘭h( h為足夠小的正數(shù))且滿足 條件 y(x°) =y°,y (x°) = y°。定理3.4 如果方程(3.1)右端的函數(shù)f (x, y)在有界區(qū)域G中連續(xù)，且在G內(nèi)滿足局 部利普希茲條件，那么方程(3.1)通過G內(nèi)任何一點(diǎn)(x0, y0)的解y = (x)可以延拓。直到 點(diǎn)(x, (x)任意接近區(qū)域G的邊界。以向x增大一方的延拓來說，如果 y= (x)只能延拓 到區(qū)間x0乞x : m上，那么當(dāng)x > m時(shí)，(x, (x)趨近于區(qū)域G的邊界

7、。推論如果G是無界區(qū)域，在解的延拓定理的條件下，貝U方程(3.1)的通過點(diǎn)(x0, y0)的解y二(x)可以延拓，以向x增大一方的延拓來說，有下面的兩種情況：a) 解y二(x)可以延拓到區(qū)間以0,=),b) 解y V:(x)可以延拓到區(qū)間x°,m),其中m為有限數(shù)，當(dāng)Xr m時(shí)，y = (x)或者無界，或者(x, :(x)趨于區(qū)域G的邊界。定理3.5 第一比擬定理假設(shè)函數(shù)f (x, y), F(x, y)都在平面區(qū)域 G上連續(xù)，且有不等式f(x,y) ： F(x,y),(x,y) G成立，那么方程 業(yè)二f (x, y)滿足初始條件y(x0)= y。的解(x)和方程 魚=F (x, y

8、)滿dxdx足初始條件y(x。)=y°的解(x)在它們共同存在的區(qū)間上，滿足不等式：(x) ： (x),當(dāng) X X° 時(shí)，：(xp (x),當(dāng) X ： x0 時(shí)。2)解對(duì)初值的連續(xù)性與可微性定理定理3.6假設(shè)函數(shù)f (x,y)于區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部利普希茲條件,(Xo,y°) G，y =以x,x°,yo)是初值問題二 f (x, y)* dxy(xo) = yo的解，它于區(qū)間義，其中a < x0 < b，那么，對(duì)任意給定的；.0 ,必存在正數(shù)：=、：(；，a,b), 使得當(dāng)(x° -X。)2 (yo - yo)2 <

9、2時(shí)，初值問題dx =災(zāi)"的解y= <x,xo，yo)在區(qū)間 y(xo) = yoa二x 也有定義，并且<Kx,Xo,yo) «x,Xo,yo)c axb 。定理3.7假設(shè)函數(shù)f (x,y)于區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部利普希茲條件，那么初值問理=f(x y)題dx的解y=：:(x,Xo，y。)作為x,xo,y。的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。.y(xo) = yo定理3.8對(duì)于方程d = f (x,y,為(E,)dx用G人表示區(qū)域=匕,y, 2)(x,滬 G, a X<曲假設(shè)函數(shù)f(x,y,)于區(qū)域G ,內(nèi)連續(xù)，且在G ,內(nèi)關(guān)于y 致地滿足局部利普希茲條

10、/uAU件，(xo, yo, A) Gx，y = <Kx,Xo，yo,入)是方程E 通過點(diǎn)(Xo,y°)的解，在區(qū)間a_x_b有定義，其中axob,那么，對(duì)任意給定的； O,必存在正數(shù)：二(, a, b), 使得當(dāng)(X。- Xo)2 (% - yo)2 (入- A)2 乞 F時(shí)，方程E,滿足條件y(Xo)的解y = ® (x, xo, yo,人)在區(qū)間a蘭x蘭b也有定義，并且“x,Xo, y°,) 一 “x,Xo,yo, °) ： ； , axb。定理3.9假設(shè)函數(shù)f (x, y, )于區(qū)域G .內(nèi)連續(xù)，且在G .內(nèi)關(guān)于y 致地滿足局部利普希茲條件

11、，那么方程 E,的解y = ：:(x,x°,yo,，)作為x,xo,y。，的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)A是連續(xù)的。fdy = f ( x y)定理3.10 假設(shè)函數(shù)f (x,y)以及 空都在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，那么 初值問題dx"的cyWo) = yo解y = (x,x0, y0)作為x, x0, y0的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。3根本計(jì)算1)近似計(jì)算和誤差估計(jì)第n次近似解的計(jì)算公式：o(x)二 yo 彳X。i®n(x) = yo + f (E 嚴(yán)n(：)dj Xo 蘭 X 蘭 Xo 十 hxo第n次近似解的誤差公式n(x(x) <MLn(n 1)!hn12)求奇解(包絡(luò)線)的方法a) 自然法找出方程不滿足唯一性條件的點(diǎn)集合L，例如l =( x, y)丄=比，再驗(yàn)證它是否是奇解或是否包含有奇解。b) C-判別曲線法結(jié)論1通積分作為曲線族的包絡(luò)線(奇解