全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題葡萄酒的評價答案全解

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)成員：xxx學(xué)號：xxxxxxxxxx葡萄酒的評價摘要本文主要研究的是如何對葡萄酒進(jìn)行評價的問題。通過對評酒員的評分與釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的理化指標(biāo)等原始數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析和處理，我們得出了一個較為合理地評價葡萄酒質(zhì)量優(yōu)劣的模型。在問題一中，我們采用T檢驗(yàn)法，首先進(jìn)行正態(tài)分布擬合檢驗(yàn)，判斷出它們服從正態(tài)分布。之后，我們通過T檢驗(yàn)法判斷出了兩組評酒員的評價結(jié)果具有顯著性差異。而對于如何判斷哪一組評酒員的評價結(jié)果更可信，由于評酒員評分的客觀性，我們通過計(jì)算評酒員評分均值的置信區(qū)間，利用置信區(qū)間的長短來判斷評分的可信程度。置信區(qū)間越窄，說明其越可信。利用Matlab軟件

2、求出了第二組評酒員的評分均值的置信區(qū)間更窄，所以第二組評酒員的評價結(jié)果更可信。在問題二中，我們采用主成分分析法，把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量再按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差。第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關(guān)。由于變量較多，雖然每個變量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同。依次類推，最后我們將釀酒葡萄分為了四個等級:優(yōu)質(zhì)、次優(yōu)、中等、下等。在問題三中，我們通過多項(xiàng)式曲線擬合的方法，構(gòu)造一個以葡萄酒的理化指標(biāo)為自變量，釀酒葡萄的理化指標(biāo)為因變量的函數(shù)，并利用Matlab軟件進(jìn)行曲線擬合，最后得

3、出釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的關(guān)系為呈線性正相關(guān)。在問題四中，我們用無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析方法，通過對觀測、比較、分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果,鑒別出了兩個因素在水平發(fā)生變化時對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生顯著性影響的大小程度。最后，我們認(rèn)為能用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評價葡萄酒的質(zhì)量，且釀酒葡萄的理化指標(biāo)對葡萄酒質(zhì)量影響相對葡萄酒的理化指標(biāo)更顯著。關(guān)鍵詞：T檢驗(yàn)法，Matlab，正態(tài)分布，主成分分析法，多項(xiàng)式曲線擬合，方差分析問題的重述確定葡萄酒質(zhì)量時一般是通過聘請一批有資質(zhì)的評酒員進(jìn)行品評。每個評酒員在對葡萄酒進(jìn)行品嘗后對其分類指標(biāo)打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所

4、釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標(biāo)會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評價結(jié)果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù)。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 分析附件1中兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？2. 根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進(jìn)行分級。3. 分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。4分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評價葡萄酒的質(zhì)量？附件1：葡萄酒品嘗評分表（含4個表格）附件2：葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)（含2

5、個表格）附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物質(zhì)（含4個表格）二基本假設(shè)與符號說明2.1基本假設(shè)（ 1）評酒員的評分是客觀公正的，不受任何外界因素影響。（ 2）用來檢驗(yàn)的葡萄都是剛采摘的新鮮葡萄，葡萄酒也沒有遭受任何污染。（ 3）在檢測釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)的過程中，忽略由于人為操作不當(dāng)帶來的誤差。（ 4）由于不是每組數(shù)據(jù)都對葡萄酒的質(zhì)量產(chǎn)生很大影響，所以在處理數(shù)據(jù)過程中，忽略那些影響不是很明顯的理化指標(biāo)。2.2符號說明H(i=1,2)第i組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值的期望52(i=1,2)第i組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值的方差H問題一的假設(shè)Zi第i個主成分rj第i個評酒員對第j種酒的評

6、分三.問題的分析針對問題一，如何判斷兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，我們采用T檢驗(yàn)法進(jìn)行判斷。但采用T檢驗(yàn)法的前提是其必須服從正態(tài)分布，方差未知且相等。所以我們先對那些數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，判斷其是否服從正態(tài)分布。驗(yàn)證服從正態(tài)分布后，我們利用T檢驗(yàn)法判斷兩組評酒員評價結(jié)果的顯著性差異。對于如何判斷哪一組評酒員的評價結(jié)果更可信，由于評酒員評分的客觀性，我們通過計(jì)算評酒員評分均值的置信區(qū)問，利用置信區(qū)間的長短來判斷評分的可信程度。置信區(qū)間越窄，說明其越可信。針對問題二中如何根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對釀酒葡萄進(jìn)行分級，我們采用主成分分析法。因?yàn)樵趯?shí)際問題的研究中，往往會涉及眾多有關(guān)的

7、變量。但是,變量太多不但會增加計(jì)算的復(fù)雜性，而且也會給合理地分析問題和解釋問題帶來困難。一般說來，雖然每個變量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情況下，變量間有一定的相關(guān)性，從而使得這些變量所提供的信息在一定程度上有所重疊。因而人們希望對這些變量加以“改造”，用為數(shù)極少的互補(bǔ)相關(guān)的新變量來反映原變量所提供的絕大部分信息，通過對新變量的分析達(dá)到解決問題的目的。解決這個問題的過程中，我們用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)主成分分析，我們對那些理化指標(biāo)進(jìn)行重新整理，求出各個理化指標(biāo)的之間的相關(guān)系數(shù)、特征值及特征向量和貢獻(xiàn)率等。針對問題三中如何分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系，我們想到了用多

8、項(xiàng)式曲線擬合的方法，根據(jù)兩者理化指標(biāo)實(shí)測樣本，用統(tǒng)計(jì)分析的方法，找出一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系從而達(dá)到處理釀酒葡萄與葡萄酒之間相關(guān)關(guān)系的目的。實(shí)際的操作過程中，我們首先構(gòu)造一個關(guān)于釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)的函數(shù)，以葡萄酒的理化指標(biāo)為自變量，釀酒葡萄的理化指標(biāo)為因變量，利用Matlab軟件進(jìn)行曲線擬合，得出釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的關(guān)系。針對問題四中如何分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對葡萄酒質(zhì)量的影響，以及能否用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評價葡萄酒的質(zhì)量，我們采用無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析方法。用方差分析，可以將影響葡萄酒的主要因素和次要因素區(qū)分開來，還可以分別算出釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡

9、萄酒的理化指標(biāo)與葡萄酒質(zhì)量之間的誤差，如果誤差在可接受范圍之內(nèi)，即說明可以用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評價葡萄酒質(zhì)量。四模型的建立與求解4.1 問題一的模型建立與求解4.1.1 T檢驗(yàn)法的模型建立與求解T檢驗(yàn)是用T分布理論來推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個均值的差異是否顯著。由于檢驗(yàn)紅葡萄酒與白葡萄酒的方法和模型一樣，這里我們只給出檢驗(yàn)紅葡萄酒的模型。1. 正態(tài)分布的檢驗(yàn)由于使用T檢驗(yàn)法的前提是兩個總體分布都服從正態(tài)分布，我們先利用Excel軟件計(jì)算出：第一組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值為：62.7,80.3,80.4,68.6,73.3,73.2,71.5,72.3,81.5,74.2

10、,70.1,53.9,74.6,73,58.7,74.9,79.3,59.9,78.6,78.6,77.1,77.2,85.6,78,69.2,73.8,73第二組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值為：68.1,74,74.6,71.2,72.1,66365.3,66,78.2,68.8,61.6,68368.8,72.6,65.7,69.9,74.5,65.4,72.6,75.8,72.2,71.6,77.1,71.5,68.2,72,71.5然后我們利用Matlab軟件里的正態(tài)分布擬合函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，得出其正態(tài)分布的擬合曲線圖為圖一：圖一、正態(tài)分布擬合曲線圖Normal Probabdit

11、y PlotNormal Probability Plot三石 EqsCL+A1 checkA2 checki _：.L6070SOData0.990 980.950.900.750.500 250.100.050.020.014- B1 checkB2 check6570758085Dats從圖中我們知道其曲線近似為一條直線，因此我們認(rèn)為評酒員對紅葡萄酒以及白葡萄酒的評分均值都服從正態(tài)分布。2. T檢驗(yàn)法模型的建立與求解設(shè)匕狗分別為第一組、第二組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值，且巴N(4,%),打5%尸2),其中邑112,。1,。2均未知。(1)作出統(tǒng)計(jì)假設(shè)Ho工=邑2eH1:&”2。(2

12、)選取統(tǒng)計(jì)量t_nT：-22t(nif-2)nS1nln2s2n211:n1n2-2n1n2(3)對于給定的顯著性水平a=0.05,我們禾1J用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算求解。結(jié)果如下表所?。浩舷嗑频钠贩NH值P值差異顯著程度第一組紅葡錮酒00.9396差異不顯著第二組紅葡錮酒第一組第二組白葡相酒白葡相酒11.4077e-006差異非常顯著H=0,表示接受原假設(shè)；H=1,表示接受背擇假設(shè)。由上表可知：紅葡萄酒之間不存在顯著性差異，白葡萄酒之間存在顯著性差異4.1.2可信度的判定由于樣本的置信區(qū)間與其可信度是呈負(fù)相關(guān)的，即置信區(qū)間越小，其可信度越大。我們利用Matlab軟件求解得出第一組、第二組紅葡

13、萄酒和白葡萄酒的置信區(qū)間，見下表：葡萄酒的置信區(qū)問紅葡相酒的置信區(qū)問白葡相酒的置信區(qū)問第一組70.3377,75.773472.3342,76.1872第二組69.6890,71.960775.3788,77.6855顯然第二組的置信區(qū)間長度小于第一組，所以第二組評酒員的評價結(jié)果可信度更284.2問題二的模型建立與求解主成分分析法是一種數(shù)學(xué)變換的方法，它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關(guān)，稱為第二主成分。依次類推，I個

14、變量就有I個主成分。1.計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣11r12,r1p21r222PR=-P1P2rpp1(1)在（1）式中，1。/=1,2丁邛）為原變量的Xi與Xj之間的相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算公式為ij二.二.(xki-xi)(xkj-xj)kNnn、(xki-xi)、(xkjxj)k1k1(2)因?yàn)镽是實(shí)對稱矩陣（即j=小），所以只需計(jì)算上三角元素或下三角元素即可。2.計(jì)算特征值與特征向量首先解特征方程a-R=0,通常用雅可比法求出特征值“i=1,2,，p）,并使其按大小順序排列，即%之九2之之之。然后分別求出對應(yīng)于特征值%的特征向量pei（i=1,2,，p）。這里要求|e|=1,即Zej=1,其中e.表示

15、向量ei的第j個分量j13.計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率貢獻(xiàn)率：第i個主成分方差在全部方差中所占的比重稱為貢獻(xiàn)率。這個值越大，表明第i個主成分綜合信息的能力越強(qiáng)。主成分Zi的貢獻(xiàn)率為(3)(4)(i=1,2,p)kk4累積貢獻(xiàn)率：前k個主成分共有多大的綜合能力，用這k個主成分的方差和在全部方差中所占的比重來描述，表明取前k個主成分基本包含了全部測量指標(biāo)所具有信息的百分率。累計(jì)貢獻(xiàn)率為%”(i=1,2,p)p.二-kk=4一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85%95%的特征值九1,九2，九m所對應(yīng)的第一、第二，第m(mFColumns100841100840.460.0355Rows43679221839.51

16、0.0074Interaction6289.423144.7Error131291621881.8Total191343.411所以，由結(jié)果知第一個p值代表列樣本均值相同的假設(shè)p值，反映了釀酒葡萄的理化指標(biāo)的影響。由于P(i)0.05,故可得葡萄酒的理化指標(biāo)對葡萄酒質(zhì)量的影響顯著。同理，因?yàn)閜(2)0.85break;endend%記下累積貢獻(xiàn)率大85%的特征值的序號放入newi中fprintf(主成分?jǐn)?shù)：%gnn,length(newi);fprintf(主成分載荷：n)forp=1:length(newi)forq=1:length(y)result(q,p)=sqrt(newval(ne

17、wi(p)*vec(q,newi(p);endend%計(jì)算載荷disp(result)%cwprint.mfunctionprint=cwprint(filename,a,b);%filename為文采文作文件名，a為矩陣行數(shù)(樣本數(shù))，b為矩陣列數(shù)(變量指標(biāo)數(shù))fid=fopen(filename,r)vector=fscanf(fid,%g,ab);fprintf(標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果如下：n)v1=cwstd(vector)result=cwfac(v1);cwscore(v1,result);%cwscore.m,計(jì)算得分functionscore=cwscore(vector1,vector2

18、);sco=vector1*vector2;csum=sum(sco,2);newcsum,i=sort(-1*csum);newi,j=sort(i);fprintf(計(jì)算得分：n)score=sco,csum,j%身分矩陣：sco為各主成分得分；csum為綜合得分；j為排序結(jié)果%cwstd.m,functionstd=cwstd(vector)cwsum=sum(vector,1);%a,b=size(vector);%fori=1:aforj=1:bstd(i,j)=vector(i,j)/cwsum(j);endend問題三：利用多項(xiàng)式曲線擬合來對葡萄酒及葡萄進(jìn)行擬合wine=8,7.

19、286,6.271,4.914,3.6304,0.224;putao=273.1,237.303,35.4449,24.478,6.724,1.101;n=1:3;p1=polyfit(wine,putao,n(1)p2=polyfit(wine,putao,n(2)p3=polyfit(wine,putao,n(3)putao1=polyval(p1,wine);putao2=polyval(p2,wine);putao3=polyval(p3,wine);plot(wine,putao,ko,wine,putao1,-k*,wine,putao2,-kx,wine,putao3,:kd);

20、xlabel(wine);ylabel(putao);legend(原始數(shù)據(jù),1次曲線,2次曲線,3次曲線);p1=33.5390-73.1553p2=10.0945-49.290619.4525p3=Columns1through32.3094-18.945941.5641Column4-6.7461各次擬合曲線與原數(shù)據(jù)的比較結(jié)果如圖所示，。由p3可得3次擬合曲線多項(xiàng)式函數(shù)為：F=p3(1)xA3+p3(2)xA2+p3(3)x+p3(4)=2.3094xA3-18.9459xA2+41.5641x-6.7461接著求的y的3次擬合的曲線機(jī)器預(yù)測誤差范圍+-deltay代碼如下：p,s=po

21、lyfit(wine,putao,3);putao3,deltay=polyval(p,wine,s);putaolo=putao3-deltay;putaoup=putao3+deltay;plot(wine,putao,ko,wine,putao2,-k*,wine,putaolo,-.bs,wine,putaoup,-.bd);xlabel(wine);ylabel(putao);legend(原始數(shù)據(jù),3次曲線,誤差下限,誤差上限)對于白葡萄酒與白葡萄的關(guān)系如下：wine=1.853,1.461,1.557,0.3664,0.0545,101.796;對于白葡萄的理化指標(biāo)的選擇，我們依據(jù)第二問中所分析出來的重要指標(biāo)中選擇6個重要指標(biāo)：putao=0.2245,1.616,3.315,3.810,5.450,115.256;wine=0.0545,0.3664,1.461,1.557,1.853;putao=0.2245,1.616,3.315,3.810,5.450;n=1:3;p1=polyfit(w