判定平行四邊形的五種方法

1、判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1）證兩組對(duì)邊分別平行；（2）證兩組對(duì)邊分別相等；（3）證一組對(duì)邊平行且相等;（4）證對(duì)角線互相平分；（5）證兩組對(duì)角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說(shuō)明如何證明四邊形是平行四邊形。一、兩組對(duì)邊分別平行如圖1,已知ABC是等邊三角形，DE分別在邊BGAC上，且CD=CE連結(jié)DE弁延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE連結(jié)AF、BE和CF（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，弁加以證明；（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，弁說(shuō)明理由。解：（1）選證BDEAAFEC證明：？?ABC是等邊三角形，?BC=ACZACD=60?CD=CEBD=AEAEDC是等邊三角

2、形?DE=ECZCDEMDEC=60?BDEMFEC=120又?？EF=AE?BD=FE?BDEAAFEC（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知，ABCEDCAEF都是等邊三角形?CDEMABCMEFA=60?AB/DF,BD/AF?四邊形ABDF是平行四邊形。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形兩組對(duì)邊分別被第三邊所截，易證截得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角相等時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，從而四邊形是平行四邊形。一組對(duì)邊平行且相等例2已知：如圖2,在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E,使CE=CG連結(jié)BG弁延長(zhǎng)交DE于F（1）求證：BCGADCE（2）將公DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90

3、°得到DAE,判斷四邊形E'BGD是什么特殊四邊形？弁說(shuō)明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB/DC又通過(guò)旋轉(zhuǎn)CE=AE已知CE=CG所以E'A=CG這樣就有BE=GD可證EBGD是平行四邊形解：（1）vABCD是正方形，?BCDMDCE=90又TCG=CEBCG八DCE（藥？：DCE繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE,?CE=AE,vCE=CG?-CG=AE?四邊形ABCD是正方形?BE/DGAB=CD?AB-AE=CDCG,即口BE'=DG?四邊形DEBG是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形一組對(duì)邊平行時(shí)，再證這組對(duì)邊相等，即可得這個(gè)四邊形是平行

4、四邊形三、兩組對(duì)邊分別相等例3如圖3所示，在ABC中，分別以ABACBC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD等邊ACE等邊BCF求證：四邊形DAEF是平行四邊形;分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對(duì)邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形解：？?ABD和公FBC都是等邊三角形?/DBF+ZFBA=/ABC+/FBA=60?/DBF/ABC又?？BD=BABF=BCABCAADBF?AC=DF=AE同理ABCAAEFC?AB=EF=AD?四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，從而可證四邊形是平行四邊形。四、對(duì)角線互相平分例4已知：如圖4

5、,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,AE!BD于E,BF，AC于F,CGLBD于G,DH，AC于H,求證：四邊形EFGH是平行四邊形分析：因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個(gè)頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線，這些條件與四邊形OE=OGOF=OH則問(wèn)題可獲得解決。EFGH的對(duì)角線有關(guān)，若能證出證明：？?？AE!BDCGLBD?/AEONCGO?/AOENCOGOA=OC5C:NAOEAACOG:OE=OGC同理BOFAADOH?OF=OH?四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知條件與四邊形兩對(duì)角線有關(guān)時(shí)，可證兩對(duì)角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。五、兩組對(duì)角相等例5將兩塊全等的含30°角的三角尺如

6、圖1擺放在一起四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由o(1)如圖2,將RtBCD沿射線BD方向平移到RtAB1C1D的位置，四邊形ABGD是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：o分析：因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問(wèn)題。解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：/ABCNABDNDBC=30+90=120,/ADCNADBNCDB=90+30=120又/A=60°,/C=60,?ABCNADC/A=ZC(2)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：#RtABCD沿射線方向平移到RtBCD的位置日有RtACiBBARtAADD?/(BB=/ADD,/BCBi=ZDAD?有上CiBA=/ABD/CiBB=/CiDB+/ADB=/ADC,/BCiD=/BCiBi+/BQD=/DiAD+/DAB/DiAB所以四