一元函數(shù)求極限的若干方法

1、（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西）摘 要：的前提條件，針對這種情況，本文探討了一些常用的求極限的方法關(guān)鍵詞：極限；方法 大家知道，極限是數(shù)學(xué)分析中最基本、也是最重要的概念之一，數(shù)學(xué)分析中許多深層次的理論及應(yīng)用都是極限的拓展和延伸，如：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等都是由極限定義的，而離開了極限思想的數(shù)學(xué)分析就失去了其基礎(chǔ)與價值，因此極限運算在數(shù)學(xué)分析中占有舉足輕重的地位.由于極限定義的高度抽象使我們很難用極限本身的定義去求極限，而對極限的求法可謂是多種多樣，針對這種情況，通過歸納和總結(jié)，羅列出一些常用的求法.1 利用極限的定義求極限 極限是指無窮的趨于一個固定的數(shù)值，數(shù)學(xué)分析中的極限包括：數(shù)列極限和函數(shù)極限.

2、數(shù)列極限的定義 設(shè)是一個數(shù)列,是定數(shù),如果對任意給定的,總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有,我們就稱定數(shù)是數(shù)列的極限.記為 或 . 例1按定義證明，這里是常數(shù).證 由于，故對任給的,只要取，則當(dāng)時，便有 即.這就證明了 .例2證明分析由于 （1）因此，對任給的，只要，便有 （2）即當(dāng)時，（2）式成立又由于（1）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取 （3）證 任給，取據(jù)分析，當(dāng)n>N時有（2）式成立于是本題得證注本例在求N的過程中，（1）式中運用了適當(dāng)放大的方法，這樣求N就比較方便但應(yīng)注意這種放大必須“適當(dāng)” ，以根據(jù)給定的能確定出N又（3）式給出的N不一定是正整數(shù)一般地，在定義1中N不一定限于正整數(shù)，而只

3、要它是正數(shù)即可1.2 函數(shù)極限的定義 函數(shù)極限的定義包括兩個，一個是趨于時函數(shù)的極限，另一個是趨于時函數(shù)的極限.趨于時函數(shù)的極限 設(shè)為定義在上的函數(shù),，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限，記為 或 .趨于時函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限，記為 或 . 例3證明 .證 任給,取,則當(dāng)時有,所以. 例4設(shè),證明. 證 由于當(dāng)時,故對給定的,只要取,根據(jù)題意當(dāng)時有.這就證明了.注 用極限的定義時，只需證明存在,故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在建立過程中往往采用放大或縮小等技巧但是不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大，而是直

4、接應(yīng)該對要證其極限的式子一步步放大，有時還需要加入一些限制條件限制條件必須和所求的一致，最后結(jié)合在一起考慮2利用極限的四則運算法則求極限 對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會想到極限的四則運算法則.法則本身很簡單，但為了能夠使用法則，往往需要先對函數(shù)做一些必要的恒等變形或化簡，那么采用怎樣的變形和化簡要根據(jù)具體的算式?jīng)Q定，常用的方法有：分式的約分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函數(shù)的恒等變形，某些求和或求積公式的恰當(dāng)變量替換等等.2.1 直接運用函數(shù)極限的四則運算法則求極限直接運用函數(shù)極限的四則運算法則求極限時，前提必須是式子中的每個函數(shù)都有極限且分母的極限不等于0.定理若極限

5、都存在，則函數(shù) 例5 求極限：. 解 .例6(這種解法是錯誤的，因為不存在，因此不能寫成.)間接運用函數(shù)極限的四則運算法則求極限.間接利用該法則求極限，即分母的極限等于零或分子、分母的極限為. 消零因子法對于有理分式可將分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.例7求極限.解 .無窮大分除法 當(dāng)時，分子分母的極限為無窮大，可用分母的最高次冪去除分子分母再取極限. 例8解 根據(jù)題意 此類型的題可總結(jié)為以后直接利用該公式即可.3 利用柯西準則求極限定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是對于任意的，存在正數(shù)，使得對于任何有下面證明不存在。證明 取，對任何，設(shè)正整數(shù)，令，則，從而.由柯西準則可知不存

6、在。4利用兩個重要極限求極限.只要符合上述兩個重要極限的形式的函數(shù)極限都可以嘗試使用此方法. 例9例10求極限.【說明】 第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出1，再湊出，最后湊指數(shù)部分.解 .5利用無窮小的性質(zhì)求極限注 1兩個（相同類型的）無窮小量之和差積仍為無窮小量 2無窮小量與有界量的乘積為無窮小量例11 (這兩個極限一定要區(qū)分開).6 利用等價無窮小量代換求極限若，例12 求極限解 由于注 在利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代。5利用夾逼準則求極限 夾逼準則 若且,則：. 當(dāng)極限

7、不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值.特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式. 例13求的極限.解 對任意正整數(shù),顯然有.而。由夾逼準則得.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；如函數(shù)在點連續(xù)，則，而初等函數(shù)在其定義域又是連續(xù)的，所以在通常情況下只需把帶入函數(shù)中，若所得結(jié)果是有意義的則此結(jié)果就是極限值，因此此方法也簡單的稱為直接帶入法. 例14 求極限.分析 因為函數(shù)在處連續(xù)，所以上式的極限等于把代入原函數(shù)即可.解 原式(其特點是可

8、以直接代入，因為分母的極限不為0，所以當(dāng)直接代入分母的極限不為0時就用直接代入法).例15 求極限解 由于屬于初等函數(shù)的定義域之內(nèi)，故由得連續(xù)性得7 利用洛比達法則求極限型不定式極限【定理1】 若函數(shù)和滿足：；在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；(可為實數(shù)，也可為或），則. (將定理1中換成，只要相應(yīng)的修正中的鄰域也可得到同樣的結(jié)論.)此處需注意該定理滿足充分性，必要性不滿足，即不存在時不能說明不存在.型不定式極限 【定理2】 若函數(shù)和滿足：；在點的某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；(可為實數(shù)，也可為或），則. (將定理2中換成，只要相應(yīng)的修正中的鄰域也可得到同樣的結(jié)論.) 定理1和定理2是洛必達法則的

9、內(nèi)容.7.3 ，等其他類型不定式極限 不定式極限還有，等類型，經(jīng)過簡單變化，它們一般均可化為或的極限。然后判斷是否滿足洛必達法則的條件求解.（對于，不定式，先取對數(shù)，再利用洛必達法則求之）.最后三種冪指型不定式，可先取對數(shù)化為中間的型，再取倒數(shù)化為基本型，事實上. 例16 求.分析 與在點的鄰域內(nèi)滿足定理1的條件，故可應(yīng)用洛必達法則.解 根據(jù)洛必達法則有. 在上題中，如果仍是型不定式極限，只要有可能，我們可再次使用洛必達法則，即考察極限是否存在，當(dāng)然此時和在的某鄰域內(nèi)必須滿足定理1的條件. 例17求.分析 和在點的鄰域內(nèi)滿足定理2的條件，故可應(yīng)用洛必達法則. 解根據(jù)洛必達法則有. 注 不能對任

10、何不定式極限都按洛必達法則求解，首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法則的其他條件.例18雖然是型,但若不顧條件隨便使用洛必達法則,就會因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯誤結(jié)論.例19求.分析 根據(jù)題意可知這是一個型不定式極限，此類題一般先求其對數(shù)極限，即，其指數(shù)部分的極限是型不定式極限，可以先求得從而得到. 綜上洛必達法則是求不定式極限的一種有效方法但它不是萬能的如果對洛必達法則使用不當(dāng)會導(dǎo)致計算出錯在使用洛必達法則求極限時需注意以下幾點 有或型不定式才能直接使用洛必達法則，其它不定式需轉(zhuǎn)換成或型不定式后才能使用洛必達法則. 應(yīng)用洛必達法則時，必須對分子、分母分別同時求導(dǎo)

11、而不是對整個表達式求導(dǎo).當(dāng)導(dǎo)數(shù)極限不存在時，原極限不一定不存在，此時洛必達法則失效，應(yīng)另找方法求極限.只要符合條件，洛必達法則可多次使用.洛必達法則并不一定是計算不定式的最簡方法，有時洛必達法則與其它方法綜合起來使用效果更佳，洛必達法則在極限理論中有著重要意義，在應(yīng)用時一定要注意法則的使用條件，這樣才能避免出錯.8利用單調(diào)有界原理求極限 單調(diào)有界原理 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例20已知數(shù)列其中實數(shù)，證明數(shù)列有極限，并求其極限.證 顯然是遞增的，下證是有界的.由于而故由單調(diào)有界定理 收斂且.注 此種方法主要用于數(shù)列求極限.9利用函數(shù)在某點的左右極限求極限 此方法只適用于解析式中帶有絕對值的函數(shù)或是

12、分段函數(shù)。首先考慮分段點處的左右極限，如果左右極限存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則不存在。 例21已知函數(shù)求 解 因為根據(jù)極限存在的充要條件可知 .10 利用泰勒公式求極限對于一般函數(shù),設(shè)它在點存在直到次多項式，稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，的各項系數(shù)稱為泰勒系數(shù)對于一般函數(shù),設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù)，則有,即.11式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為佩亞諾型余項。當(dāng)泰勒公式1在時的特殊情況：，它也稱為帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式 注 應(yīng)用泰勒公式求解可以使原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為多項式有理式的極限，可以簡化題目，使原極限很容易求出. 例22 求極限. 解 本

13、題可用洛必達法則求解（較繁瑣），在這里可應(yīng)用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為,我們用麥克勞林公式表示極限的分子因而求得 .結(jié)束語 上述方法是在數(shù)學(xué)分析里求解極限的重要方法.在做求解極限題時，除了掌握以上方法外還必須了解應(yīng)用該方法時滿足的條件，必須要仔細分析，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?這樣不僅提高解題效率，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.在求極限時我們應(yīng)具體問題具體分析，不能機械地用某種方法，要對題目進行觀察，有時解題可多種方法混合使用，要學(xué)會靈活運用.參考文獻:1候風(fēng)波.高等數(shù)學(xué) 第二版M.高等教育出版社，2003.10；2劉小軍.高等數(shù)學(xué)解題方法.云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報第12

14、頁.2006.08；3葉伯誠.高等代數(shù).青島海洋大學(xué)大學(xué)出版社，2005；4陳璋.朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析 M.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等教育出版社，2006；5郝涌.盧士堂等.數(shù)學(xué)考研精解.華中理工大學(xué)出版社，2004.The method and skill of limitWEINa- di(Department of Mathematics, BaojiUniversity of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi, China)Abstract: The limit is one of the most basic mathematical analysis, also is one of the most important concept, is an important tool to study calc