均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

1、均值不等式應(yīng)用1. (1)假設(shè)，那么(2)假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時取“=2. (1)假設(shè)，那么(2)假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時取“=(3)假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=3.假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=4.假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=5.假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時取“=ps.(1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2)求最值的條件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比擬大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方

2、面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求以下函數(shù)的值域1y3x 2 2yx解：(1)y3x 22 值域為，+(2)當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= x2=2值域為，22，+解題技巧技巧一：湊項例 ，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。評注：此題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為

3、8。評注：此題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。技巧三： 別離例3. 求的值域。解析一：此題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項，再將其別離。當(dāng),即時,當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“號。技巧四：換元解析二：此題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當(dāng),即t=時,當(dāng)t=2即x1時取“號。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用均值不等式來求最值。技巧五：在應(yīng)用最值

4、定理求最值時，假設(shè)遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習(xí)求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.1 2 (3)2，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.假設(shè)實數(shù)滿足，那么的最小值是 .分析：“和到“積是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 都是正數(shù)，當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是6變式：假設(shè)，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性

5、，否那么就會出錯。2：，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： 1假設(shè)且，求的最小值(2)且，求的最小值技巧七x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧八：a，b為正

6、實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或根本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y點評：此題考查不等式的應(yīng)用、不等式的

7、解法及運算能力；如何由不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假設(shè)直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：假設(shè)利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，此題很簡單 2解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用根本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。評注：此題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1為兩兩不相等的實數(shù)，求證：1正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三