中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座動(dòng)態(tài)幾何問題

1、第三講 動(dòng)態(tài)幾何問題【前言】從歷年中考來看，動(dòng)態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說，動(dòng)態(tài)問題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會(huì)拼高分。在這一講，我們著重研究一下動(dòng)態(tài)幾何問題的解法， 第一部分 真題精講【例1】（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，梯形的高為動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)

2、動(dòng)的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動(dòng)，誰沒在動(dòng)，通過分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來說，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動(dòng)，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN/AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知

3、，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，如圖，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題） （這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵） 解得【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當(dāng)時(shí)，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的

4、性質(zhì)），解得 當(dāng)時(shí)，如圖，過作于H則， 當(dāng)時(shí)， 則 綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形【例2】（2010，崇文，一模）在ABC中，ACB=45º點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示）【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)

5、點(diǎn)靜止，而本題并未給出那個(gè)“靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚海?）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º，DAB=FAC，DABFAC ，ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，于是我們和上題

6、一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結(jié)論成立理由是：過點(diǎn)A作AGAC交BC于點(diǎn)G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º即CFBD【思路分析3】這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過點(diǎn)A作AQBC交CB的延長線于點(diǎn)Q，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP，點(diǎn)D在線段B

7、C延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x過A作交CB延長線于點(diǎn)G，則 CFBD，AQDDCP，【例3】（2010，懷柔，一模）已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變?cè)O(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說明理由ADCBPMQ60°【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什

8、么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個(gè)度數(shù)的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢? 當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點(diǎn)梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個(gè)角度傳遞非常重要,大家要仔細(xì)揣摩) (設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對(duì)稱軸的值時(shí)Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知

9、的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。（3）解：為直角三角形當(dāng)取最小值時(shí)，是的中點(diǎn)，而以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】2010，門頭溝，一模已知正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，連接，為中點(diǎn)，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點(diǎn)，連接，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加

10、以證明 （3）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問自不必說，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的

11、方法，自然想到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了。（1）（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點(diǎn)作于，與的延長線交于點(diǎn)在與中，在與中， 在矩形中，在與中，【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個(gè)思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？梢匝娱L一倍EG到H，從而構(gòu)造一個(gè)和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等

12、過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個(gè)等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。（3）（1）中的結(jié)論仍然成立【例5】（2010，朝陽，一模）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處（1）當(dāng)=1 時(shí)，CF=_cm，（2）當(dāng)=2 時(shí)，求sinDAB的值；（3）當(dāng)= x 時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），請(qǐng)寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）CADB【思路分析】動(dòng)態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對(duì)稱）也是一大熱

13、點(diǎn)。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。圖1【解析】（1）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長AB交DC于點(diǎn)M， ABCF，ABEFCE，=2， CF=3

14、 ABCF，BAE=F又BAE=B AE，B AE=F MA=MF設(shè)MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62，解得 k=MA= DM=（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，延長AD交B E于點(diǎn)N，同可得NA=NE設(shè)NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62，解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，y= 【總結(jié)】

15、通過以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)這么幾種可能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因?yàn)闊o論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個(gè)個(gè)將條件抽出來,將大問題化成若干個(gè)小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)過程是否需要分段考慮，分類討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤

16、其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時(shí)刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，石景山，一模已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求

17、證：；（3）設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個(gè)直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計(jì)算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了?！舅伎?】2009，西城，二模 ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，若PBC180°，且PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA，（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），BPD= &#

18、176;；（2）當(dāng)BP在ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖2），求BPD的度數(shù)；（3）當(dāng)BP在ABC的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫出BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形【思路分析】本題中，和動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)量有PBC，以及D點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個(gè)圓，那D點(diǎn)是什么呢？留給大家思考一下【思考3】2009，懷柔，二模如圖：已知，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=點(diǎn)O為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)

19、M，交射線BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN（1）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長；（2）點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)BO為多長時(shí)BP=MN；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作C，請(qǐng)直接寫出當(dāng)C存在時(shí)，O與C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的C半徑CN的取值范圍。ABCDOPMNABCD（備用圖）【思路分析】這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問題。在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計(jì)算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的

20、猜想一定要記得分類分情況討論。【思考4】2009，北京在中，過點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)（1）在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)

21、點(diǎn)動(dòng)線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。第三部分 思考題解析【思考1解析】（1）證明：， 又， 第25題 （2）證明：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，容易證明 在中， （3）解：的周長， 設(shè)，則，即 由（1）知，的周長的周長的周長與值無關(guān) 【思考2答案】圖8解：（1）BPD= 30 °； （2）如圖8，連結(jié)CD 解一： 點(diǎn)D在PBC的平分線上，1=2ABC是等邊三角形， BA=BC=AC，ACB= 60° BP=BA， BP=BC BD= BD，PBDCBDBPD=3- - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACDBPD =30° 解二：ABC是等邊三角形， BA =