對一道數(shù)學(xué)趣題的解答的剖析與思考

1、對一道數(shù)學(xué)趣題的解答的剖析與思考潘建輝 陳繼林 張曉斌（1.重慶重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，4000652.重慶重慶市天星橋中學(xué)4000303.重慶重慶市教育科學(xué)研究院，400015）摘要：首先，通過列舉并剖析人們對一道數(shù)學(xué)趣題的幾種常見解答，發(fā)現(xiàn)結(jié)論為有解的解答存在邏輯漏洞，而結(jié)論為無解的解答卻又絲毫未解決分牛糾紛接著，在將抽象問題與情景問題的解加以區(qū)別，并在“逐層分析，退求其次”解題策略下，通過求近似解，才使問題得到解決最后，根據(jù)網(wǎng)民、大一新生和期刊論文作者對本趣題解答情況的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)教育中存在的幾個問題關(guān)鍵詞：趣題解答；退求其次；統(tǒng)計分析；數(shù)學(xué)教育；質(zhì)疑精神1 一道數(shù)學(xué)趣題及其常

2、見解答有一道數(shù)學(xué)趣題，流傳著許多種版本，大量出現(xiàn)在小學(xué)教材和課外讀物里現(xiàn)以上海版六年級數(shù)學(xué)課本中的一道習(xí)題為例展開討論古印度有一位老人，臨終前留下遺囑，要把11頭牛分給三個兒子，老大分得總數(shù)的，老二分得總數(shù)的，老三分得總數(shù)的.按印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不能宰殺，只能整頭分三兄弟為此一籌莫展，你能幫助他們解決問題嗎？ 據(jù)說，在場的一位智叟巧妙地解決了這個難題.他先借給他們1頭牛，使牛的總數(shù)變成12，然后三兄弟按遺囑中的比例各分得6頭、3頭和2頭；最后，剩下1頭，又還給智叟從而，問題得到解決，且各方皆大歡喜 在此方案啟發(fā)下，人們想出了許多種解答方法常見的有：（1）借一法 先借1頭，使牛的總數(shù)變成

3、12三兄弟各分得總數(shù)12的，即6頭、3頭和2頭最后剩下1頭，物歸原主這樣，三兄弟既是按遺囑份額要求，又是將11頭整分完的所以，問題得解（2）級數(shù)法 因三兄弟的總份額為，故老大第一次從總數(shù)11中分得后，第二次可從總剩余量中，分得照此一直分下去，老大分得的總頭數(shù)為同理，老二、老三分得的總頭數(shù)各為3和2嚴(yán)格按遺囑份額要求，11頭被整分完問題得解（3）連比法 因，且，故三兄弟各分得6頭、3頭和2頭按遺囑比例要求，11頭被整分完問題得解（4）方程法 設(shè)老大分得頭，則老二和老三各分得頭和頭依題意得方程，解之得故三兄弟各分得6頭、3頭和2頭按遺囑比例要求，11頭被整分完問題得解（5）舍入法 因，且，故三兄弟

4、各分得6頭、3頭和2頭近似按遺囑比例要求，11頭被整分完問題得解但也有人認(rèn)為這是一道錯題，無法解即：（6）歸錯法 既要求三兄弟各分得總數(shù)的，又要求整分11，這無法實現(xiàn)所以，此為錯題，無法解還有人認(rèn)為此題自相矛盾，故無解即：（7）矛盾法 因，且總數(shù)11為素數(shù)，若按遺囑要求，則11既不能被分盡，又不能被整分，故遺囑內(nèi)容自相矛盾，要求無法滿足本題無解然而，這是錯題嗎？若否，又是否有解？若有，又該怎樣解呢？2 對常見解答的剖析法（1）似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在邏輯漏洞因為實際是以12而非遺囑要求的11為總數(shù)進行分配的，故推理有漏洞但這是否也說明智叟的解決方案有問題呢？本問題留在3.2節(jié)回答法（

5、2）巧妙利用極限思想，既是一次次嚴(yán)格按遺囑份額分配，又恰將11整分，似無毛病，但也有漏洞問題就出在“一次又一次地分割”，因遺囑沒說“一次不能分盡，可再分”就像叫小孩吃半個月餅一樣，小孩不能先吃半個，再吃剩下半個的一半；否則，一直這樣吃下去，幾乎是要把整個月餅吃光的這就不是吃半個月餅了法（3）似乎既精巧又無懈可擊，但仍有漏洞因“，且”表示“按的比例把11頭牛分完”，但遺囑要求的是分別把總數(shù)11頭牛的分給三兄弟當(dāng)且僅當(dāng)幾個正分?jǐn)?shù)的和為1時，這兩種分法才等價這里的，故兩者不等價所以，法（）仍有漏洞法（4）雖巧妙利用了方程思想，但還是有漏洞問題就出在“依題意得方程”，因方程并不合題意錯誤的實質(zhì)與法（3

6、）同，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個正分?jǐn)?shù)的和為1時，方程才符合題意故法（4）還是有漏洞法（5）似乎顯得荒誕，但它或許蘊涵著某種重要的解題思想法（6）顯然不對一方面，這是生活中可能出現(xiàn)的實際問題；另一方面，題中矛盾并非設(shè)計者考慮不周所致，而是為考驗解答者智慧所精心設(shè)置故本題并非錯題，而是匠心獨運的好題法（7）似乎是唯一正確的解答，但本問題真的無解嗎？下面我們來做進一步討論盡管解答（7）已由非整數(shù)，否定了嚴(yán)格滿足本題條件的整數(shù)解不存在，即認(rèn)為無解，但這并未解決問題，因為我們所面臨的是分牛的現(xiàn)實問題這里的“無解”既未告訴人們是否應(yīng)該分牛，又未指出“若分，又該怎么分；若不分，又將怎么辦” 所以，解答（7）實際上并未

7、解決分牛糾紛為什么會出現(xiàn)這樣的尷尬，我們又該怎樣解決這一矛盾呢？為此，我們嘗試用下面的辦法，看是否能解決問題3 本題在“逐層分析，退求其次”解題策略下的解決方案3.1 “逐層分析，退求其次”的解題策略為解決與本趣題類似的問題，不妨，我們將數(shù)學(xué)解答題分為情景化問題和抽象化問題（下面簡稱情景問題和抽象問題）兩大類如“一個小孩先吃2個蘋果，再吃3個蘋果，問小孩一共吃了幾個蘋果？”，就是一個具有情景的數(shù)學(xué)問題我們可以把它抽象成“”，這里的“”就是前面的情景問題對應(yīng)的抽象問題于是，解答數(shù)學(xué)問題時，需分類進行對于抽象問題，首先應(yīng)判斷其前提是否有矛盾或不周密若是，則問題無解；若否，則繼續(xù)解下去但對于情景問題

8、，情況要復(fù)雜得多通常，我們是將其轉(zhuǎn)化為抽象問題來解的當(dāng)抽象問題有解時，還要看該解是否與情景相符若是，則抽象問題的解就是對應(yīng)情景問題的解；若否，則它不是情景問題的解，應(yīng)舍去當(dāng)抽象問題無解時，人們往往誤以為對應(yīng)的情景問題就一定無解然而，事實并非如此這是為什么呢？因為盡管抽象問題是由同一類情景問題族抽象而來，且族內(nèi)任一情景問題都是該抽象問題的具體化，然而兩者的解的含義卻有很大差異抽象問題的解，是嚴(yán)格滿足命題條件的待求元的值；情景問題的解，卻是該問題的解決方案，它不一定會嚴(yán)格滿足命題的所有條件當(dāng)抽象問題無解時，只能說，其對應(yīng)的情景問題無嚴(yán)格滿足所有條件的精確解，而不能說它無解為使情景問題得到解決，在它

9、無精確解時，我們就要退而求其次，看是否能求得近似解，從而給出這一情景問題的最佳解決方案至于能否和怎樣尋求最佳解決方案的問題，似可用“逐層分析法”即把問題所包含的矛盾分層次，且從高到低以次排列，使低層矛盾的解決以高層矛盾的解決為條件對于無精確解的情景問題，因至少存在某層矛盾得不到解決，故需優(yōu)先解決高層矛盾，直到某層矛盾不能解決為止；最后，再針對該層矛盾求問題的近似解因此，求解數(shù)學(xué)問題的方法或步驟可歸結(jié)如下：（1）分清待解的是抽象問題，還是情景問題（2）對于抽象問題，首先應(yīng)判斷其前提是否有矛盾或不周密若是，則問題無解；若否，則繼續(xù)解下去（3）對于情景問題，一般是先將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的抽象問題來解，然后

10、根據(jù)表1中兩類問題解的對應(yīng)關(guān)系，求出或確定情景問題的解若抽象問題無解，則還需用“逐層分析法”確定情景問題近似解的存在情況，從而得到問題的解決方案表1 抽象問題與情景問題解的對應(yīng)關(guān)系問題類型抽象問題情景問題解的對應(yīng)關(guān)系有解有（精確）解無解無解無解有（近似）解3.2 本趣題在“逐層分析，退求其次”策略下的解答下面，我們就按上述步驟和策略來解答本題這是一個關(guān)于解決分牛糾紛的數(shù)學(xué)情景問題由解法（7）知，其抽象問題的前提存在矛盾，故抽象問題無解，但根據(jù)步驟（3）表1中情景問題與抽象問題解的對應(yīng)關(guān)系知，本分牛問題可能存在近似解若將題中矛盾按從高到低依次分成“是否分牛”、“是否整分牛”和“是否嚴(yán)格按遺囑要求

11、分牛”3層，則根據(jù)“逐層分析法”求近似解的規(guī)則，應(yīng)優(yōu)先解決上兩層矛盾，讓它們的狀態(tài)都變成“是”，即在“分?！鼻摇罢峙！钡那疤嵯虑蠼平鉃榇耍捎们笆龇椒ǎ?）（5）中任意一種求解，且結(jié)果相同，即3兄弟各分得6頭、3頭和2頭至此，我們看到，由方法（1）（5）得到的最終解決方案與智叟的一致，且都是近似解，但它們又存在很大差別方法（1）（4）在推理過程中，都存在邏輯漏洞；方法（5）雖蘊涵了“無精確解，就退而求其次”的 解題思想，但還是略顯“武斷”；惟有智叟，他只給出了處理糾紛的方案，而未象方法（1）（4）那樣，還給出了含有邏輯漏洞的解釋因此，不僅智叟的方案正確，而且其處理方法，對于古印度山區(qū)沒有多

12、少文化的農(nóng)民來說，可謂是十分絕妙的4 從人們對本題解答情況統(tǒng)計看數(shù)學(xué)教育4.1 關(guān)于人們對本題解答情況的統(tǒng)計（1）對網(wǎng)民解答情況的統(tǒng)計筆者于2007年9月2日，在“百度”搜索網(wǎng)站，分別以“分?！?、“分馬”、“分羊”和“分牛問題”為關(guān)鍵詞搜索，再截取各關(guān)鍵詞搜索到的前10頁中與解答類似本趣題有關(guān)的帖子，獲得對網(wǎng)民解答統(tǒng)計情況，如表2表2 對網(wǎng)民解答情況的統(tǒng)計解答類別借一法借一法與另一方法借一法與另兩方法質(zhì)疑答案判為無解完整解答總計帖子數(shù)75232510106百分比71%22%2%5%1%0%100%（2）對大一新生解答情況的統(tǒng)計為掌握學(xué)生對本題的解答情況，并找出其不能正確解答的原因，筆者對重慶郵

13、電大學(xué)07級經(jīng)濟學(xué)和市場營銷兩個專業(yè)共105名來自全國各地的本科新生，就是否知道“智叟分?！钡墓适隆⑹欠窠佑|過與本趣題類似的問題，以及接觸的時間和途徑等，進行了問卷調(diào)查，并要求他們給出解答對問卷回答及趣題解答情況的統(tǒng)計如表3和表4表3 對大學(xué)生入學(xué)前與本題接觸情況的統(tǒng)計項 目是否接觸過本趣題是否知道分牛故事首次接觸的時間首次接觸的途徑是否是否小學(xué)初中高中上課閱讀上網(wǎng)聽說其它人 數(shù)6936 22 831730221439196百分比66%34%21%79%16%29%21%13%37%1%9%6%表4 對大一新生解答情況的統(tǒng)計解答類別未解答借一法連比法級數(shù)法方程法舍入法判為無解完整解答總計人數(shù)2

14、866711110105百分比27%63%7%1%1%1%1%0%100%（3）對期刊論文解答情況的統(tǒng)計以“分牛”、“分馬”、“分羊”、“趣味數(shù)學(xué)題”、“數(shù)學(xué)名題”和“借一還一”為題名或關(guān)鍵詞，通過維普資訊-中文科技期刊數(shù)據(jù)庫檢索1989年-2007年的全部期刊，共獲21篇與解本題有關(guān)的論文其中的解答情況統(tǒng)計如表5表5 對期刊論文解答情況的統(tǒng)計解 答類 別僅用借一法借一法與另一方法借一法與另兩方法判為錯題判為無解質(zhì)疑借一法等完整解答總計篇 數(shù)591123021百分比24%43%5%5%10%14%0%100%4.2 從統(tǒng)計情況看數(shù)學(xué)教育從以上統(tǒng)計，可看到我國數(shù)學(xué)教育中存在如下問題：（1）學(xué)生受

15、常規(guī)思維束縛嚴(yán)重盡管這是一道小學(xué)的分配問題，但由于它不合常規(guī)，所以，在常規(guī)思維束縛下，約有27%的大一學(xué)生不能或不敢做答，另約有72%的學(xué)生只能用含有邏輯漏洞的常規(guī)方法“武斷”地解出答案所以，中國數(shù)學(xué)教育中，常規(guī)思維訓(xùn)練太甚，創(chuàng)新思維培養(yǎng)嚴(yán)重不足（2）迷信權(quán)威，不善質(zhì)疑一方面，教育“權(quán)威”因錯誤理解“智叟分牛”的內(nèi)涵，在將“分牛問題”編入小學(xué)數(shù)學(xué)教材和初中數(shù)學(xué)課外讀物時，給出了錯誤的解答（如“借一法”、“連比法”等）另一方面，大量的中小學(xué)教師，在不加質(zhì)疑的情況下，又把這些似是而非的方法傳授給了學(xué)生所以許多學(xué)生對“借一法” 和“連比法”等“權(quán)威”解法深信不疑，并大膽運用這里的統(tǒng)計顯示，網(wǎng)民、大一

16、新生和論文作者，采用“借一法”的人數(shù)，各約占其總解答人數(shù)的95%，86%和71%即他們對“借一法”提出質(zhì)疑的人數(shù)，各約占其總解答人數(shù)的5%、14%和29%（3）成人的解題思想，受其職業(yè)背景影響顯著從期刊論文看，數(shù)學(xué)教師多數(shù)是把“借一法”作為所謂的重要 “解題思想”來運用，且小學(xué)教師多用“借一法”與“連比法”（如文6，11，12，14，15），初中教師多用“借一法”與“方程法”（如文8，10，13，17，18），高中教師多用“借一法”與“級數(shù)法”（如文7，9，16）；非數(shù)學(xué)教師，則多將“借一法”用于商業(yè)和愛情等方面，表示“有付出，就有回報”的比喻意義（如文21，22）（4）部分作者治學(xué)態(tài)度欠嚴(yán)謹(jǐn)

17、從期刊論文的內(nèi)容和發(fā)表時間上看，觀點重復(fù)或已被否定的文章，有在同類或相同期刊上反復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象（如文11，23，24與文11，25；文10，16，17，18與文6，20）這似乎表明，有關(guān)論文作者，其治學(xué)態(tài)度欠嚴(yán)謹(jǐn)總之，從人們對本題的解答情況，可看出我國數(shù)學(xué)教育中存在的部分問題這是值得我們思考的參考文獻1 柯召，孫琦單位分?jǐn)?shù)M北京：科學(xué)出版社，20022 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組組編. 數(shù)學(xué)（六年級上冊）M北京：北京師范大學(xué)出版社，20063 宋乃慶主編數(shù)學(xué)（六年級上）M重慶：西南師范大學(xué)出版社，20074 吳正憲主編易學(xué)易考數(shù)學(xué)（六年級上冊）M北京：人民教育出版社，2007.5 黃家禮對“分牛

18、”問題解答的意見J數(shù)學(xué)教學(xué)，2003，（7）：10-126 張貴賢在數(shù)學(xué)活動課中開展“名題講座”J.小學(xué)教學(xué)研究，2001，（5）：18.7 王國平酋長分馬與數(shù)列的極限J數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2002，（4）：47-48.8 李殿起“分馬”與“喝水” J初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002，（7）：48-49.9 敖大山分馬傳說今日談J中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003，（8）：32.10 曾勇從分馬“術(shù)”得到的啟示J中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2004，（4）：34-35.11 徐桂珠一道古名題的兩種解法J小學(xué)教學(xué)研究，2004，（5）：35.12 于連慶分羊問題的討論J小學(xué)生課程輔導(dǎo)（數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2004，（5）：35.13 陸海權(quán)“借