吉林大學(xué)工程數(shù)學(xué)計算方法習(xí)題答案

1、1. 分別用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計算積分計誤差。解：1）用梯形公式有：事實上，2）Simpson公式事實上，3）由Cotes公式有：事實上，2證明Simpson公式具有三次代數(shù)精度。證明：而當(dāng)時左側(cè)：右側(cè)：左側(cè)不等于右側(cè)。所以Simpson具有三次代數(shù)精度.3.分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式Simpson計算下列積分.(1)，（3），解：（1）用復(fù)化梯形公式有：，由復(fù)化Simpson公式有：解：刪去 解（3）：由復(fù)化梯形公式有：由復(fù)化公式有：（4）解：由復(fù)化梯形公式：由復(fù)化Simpson公式：4給定求積節(jié)點試推出計算積分的插值型求積公式，并寫出它的截斷誤差。解： 考慮到對

2、稱性，有，于是有求積公式由于原式含有3個節(jié)點，故它至少有2階精度?？紤]到其對稱性，可以猜想到它可能有3階精度。事實上，對原式左右兩端相等：此外，容易驗證原式對不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造出的求積公式有3階精度。5給定積分。（1） 利用復(fù)化梯形公式計算上述積分值，使其截斷誤差不超過（2） 取同樣的求積節(jié)點，改用復(fù)化Simpson公式計算時，截斷誤差是多少？（3） 如果要求截斷誤差不超過，那么使用復(fù)化Simpson公式計算時，應(yīng)將積分區(qū)間分成多少等分？解：(1) =,當(dāng)誤差時，, 所以取=26。（2）6用Romberg求積方法計算下列積分，使誤差不超過。（1）；（2）；（3）;(4)解（1）：計算可以停止。解

3、（2）：（3）解:解（4）:7推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：證明：將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得將在處Taylor展開，得兩邊在上積分，得將在處Taylor展開，得兩邊在上積分，得8如果證明用復(fù)化梯形公式計算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。證明：復(fù)化梯形公式為 若在上連續(xù)，則復(fù)化梯形公式的余項為 由于且 所以使 則(1)式成為： 又因為所以 即用復(fù)化梯形公式計算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大。其幾何意義：曲線在定義域內(nèi)是向下凹的，即曲線在曲線上任兩點連線的下方。9對構(gòu)造一個至少具有三次代數(shù)精度的求積公式。解：因為具有4個求積節(jié)點的插值型求積公式，至少有三次代數(shù)精度。如果在上取節(jié)點0

4、，1，2，3，則插值型求積公式為：其中系數(shù)為同理求得即有：10判別下列求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度：解：插值型求積公式 其中 則 因此，是插值型的求積公式。因其求積公式是插值型的，且存在2個節(jié)點，所以其代數(shù)精度至少是1。 對于時， 可見它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。11構(gòu)造下列求積公式，并指明這些求積公式所具有的代數(shù)精度：解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解之得 ， 于是有求積公式 容易驗證，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有解之得 于是有求積公式容易驗證當(dāng)時，而可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是3。

5、解(3)：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有解得:于是有求積公式 容易驗證，當(dāng)時，而 可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是2。12.利用代數(shù)精度方法構(gòu)造下列兩點Gauss求積公式：解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 利用的第1式，可將第2式化為同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 由式消去得進(jìn)一步整理由此解出解得：因此所求的兩點Gauss求積公式：或依下面的思想：解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 利用的第1式，可將第2式化為同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 由式消去得進(jìn)一步整理由此解出解得：因此所求的兩點Gauss求積公式：或依下面的思想：13分別用三點和四點GaussChebyshev求積公式計算積分，并估計誤差。解：用三點Gauss-Chebyshev求積公式來計算：此時，由公式可得：由余項可估計誤差為用四點Gauss-Chebyshev求積公式來計