惠州市2014屆高三數學4月模擬考試試題目理新人民教育出版

1、本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4考生必須保持答題卡的整潔考試結束后，將答題卡一并交回參考公式：如果事件互斥，則如果事件相互獨立，則一、選擇題：

2、本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1設集合=,則集合的子集的個數為（）.的解集為（）.3若拋物線的焦點坐標為，則的值為（）.4“”是“函數的最小正周期為”的（）充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件5如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為 ( )左視圖主視圖.開始結束是否俯視圖6程序框圖的運算結果為 ( ).與直線交于、兩點，過原點與線段中點的直線的斜率為，則值為（） 滿足則 的最大值為( ).二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選

3、做題兩部分每小題5分，滿分30分）（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答9復數（為虛數單位）的虛部等于_.10二項式的展開式的常數項是_.（用數字作答）11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是_.12已知為互相垂直的單位向量，,且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 13. 已知數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列. 類比上述結論，已知數列是正項等比數列，若= ，則數列也為等比數列.（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分14（極坐標與參數方程）若圓的方程為：（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的

4、圓心極坐標為_ (極角范圍為) 15（幾何證明選講）如右圖，是圓外一點，過引圓的兩條割線、，=，=，則=_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）已知函數（1）求的值；（2）若，且，求.17（本題滿分12分）在一個盒子中，放有標號分別為，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求隨機變量的分布列和數學期望18（本題滿分14分）如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為（1）求此正三棱柱的側棱長；（2）求二面角的余弦值大小

5、.19（本題滿分分）設等比數列的前項和為，已知()（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列求證：().20(本題滿分14分)平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于、，當長最小時，求直線的方程；（3）設、是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線、分別交于軸于點（）和（），問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21.（本題滿分分）已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）如果關于x的方程有實數根，求實數的取值集合；（3）是否存在正數，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根

6、？如果存在，求滿足的條件；如果不存在，說明理由.數學 (理科）參考答案與評分標準一選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分題號12345678答案DBBADBBA1.【解析】集合的子集有、.選D.2.【解析】得：.選B.3.【解析】選B.4.【解析】當時,函數可化為,故周期;反之，函數可化為，若周期為，則.選A.5.【解析】可知該幾何體是三棱錐，底面面積為，高為1，故選D6.【解析】當時，,選B7.【解析】設交點分別為、，代入橢圓方程：，由兩式得：，即，可化簡為：，即.選B.8.【解析】已知滿足則可化為；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知，當且僅當取等號，即或時，的最大值為.選.二填空題

7、：共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題91011 121314159.【解析】，所以虛部等于.10【解析】=，=，當則,常數項為=.【解析】先畫出可行域（如圖），是可行域內的點與原點連線的斜率，當直線過點時，取得最大值. 【解析】=，又為銳角，解得：，.13. 【解析】由等差數列的的和，則等比數列可類比為的積；對求算術平均值，所以對求幾何平均值，所以類比結果為.14.【解析】圓的圓心為，又圓心在第一象限，故.圓心的極坐標為.15.【解析】如右圖，是圓外一點，過引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =由圓的割線定理，即,化簡為，解得:或（舍去）.三解答

8、題16（本題滿分12分）本小題考查三角函數的化簡與求值。解（1）依題意得16. （本題滿分12分）解：(1)2分(2)4分6分8分10分因為，且，所以11分所以12分17（本題滿分分）本小題考查利用離散型隨機變量分布列的建立以及期望的求法.解：（1）、可能的取值為、，且當或時， 3分因此，隨機變量的最大值為有放回抽兩張卡片的所有情況有種， 答：隨機變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為 4分（2）的所有取值為時，只有這一種情況， 5分時，有或或或四種情況，6分時，有或兩種情況 7分， 10分則隨機變量的分布列為：11分因此，數學期望12分18（本題滿分分）本小題考查利用定義法（向量法）求空

9、間幾何中的角度問題。解：（1）設正三棱柱的側棱長為取中點，連是正三角形，1分又底面?zhèn)让?，且交線為側面連，則直線與側面所成的角為 4分在中，解得 5分此正三棱柱的側棱長為 6分（2）解法一：過作于，連，側面為二面角的平面角 9分在中，又， 又11分在中， 13分故二面角的余弦值得大小為 14分（2）解法2：如圖，建立空間直角坐標系則8分設為平面的法向量由 得取10分又平面的一個法向量11分 12分13分結合圖形可知，二面角的余弦值大小為14分19（本題滿分分）本小題考查利用等比數列的定義及其通項公式求法、和項公式的應用，以及錯位求和與放縮法求證數列不等式。解：（1）設等比數列的首項為，公比為，1

10、分，（）2分=即()3分當,得，即，解得：4分5分即.6分（2），則，8分9分設 則10分-得：2+=+=12分13分14分20（本題滿分分）本小題考查利用待定系數法直線與圓的方程，以及圓中定值問題的求解。解：（1）因為點到直線的距離為，1分 所以圓的半徑為，故圓的方程為.2分（2）設直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，即， 4分，當且僅當時取等號，此時直線的方程為6分(3)設，則，直線與軸交點，直線與軸交點，10分13分故為定值2 14分21（本題滿分分）本小題考查利用導數研究函數的單調區(qū)間以及用導數的方法討論方程根的情況。解：（1）函數的定義域是對求導得2分由 ，由因此 是函數的增區(qū)間；（1，0）和（0，3）是函數的減區(qū)間 5分（2）因為所以實數m的取值范圍就是函數的值域 6分對令當x=2時取得最大值，且又當x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，進而有無限趨近于.因此函數的值域是 ,即實數m的取值范圍是9分（3）結論：這樣的正數k不