應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)講稿材料力學(xué)教案顧志榮

1、同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)通過本章學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會從受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會計算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計算，并會排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念；了解主應(yīng)力跡線的概念。二、教學(xué)內(nèi)容1、應(yīng)力狀態(tài)的概念；2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析-數(shù)解法3、平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法4、三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；5、廣義胡克定律體應(yīng)變；6、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；7、梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念。三、重點難點重點：1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計算，主應(yīng)力及主方向的計算

2、，最大剪應(yīng)力的計算。2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。難點：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。2、斜截面上的應(yīng)力計算公式中關(guān)于正負符號的約定。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向的確定。4、廣義胡克定律及其應(yīng)用。四、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。五、計劃學(xué)時6學(xué)時六、實施學(xué)時七、講課提綱本章與前幾章在研究對象上的不同之處。回顧：內(nèi)力圖：、-一根（桿、軸、梁）強度計算本章：應(yīng)力狀態(tài) 一點。(一)應(yīng)力狀態(tài)的概念一、為什么要研究一點的應(yīng)力狀態(tài)？簡單回顧：拉壓：圖9-1 強度條件：扭轉(zhuǎn)：圖9-2強度條件：彎曲：圖11-3強度條

3、件：但，到目前為止尚不能對如第4點的應(yīng)力情況進行校核，因此：1、為了對某些復(fù)雜受力構(gòu)件中既存在又存在的點建立強度條件提供依據(jù)。2、為實驗應(yīng)力分析奠定基礎(chǔ)通過實驗來研究和了解結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中應(yīng)力情況的方法，稱為實驗應(yīng)力分析。應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)在實驗應(yīng)力分析等方面的廣泛應(yīng)用：實驗方案的制訂：驗證理論計算結(jié)果：復(fù)雜受力結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的應(yīng)力測試等等。 二、什么叫一點的應(yīng)力狀態(tài)？通過某一點的所有截面上的應(yīng)力情況，或者說構(gòu)件內(nèi)任一點沿不同方向的斜面上應(yīng)力的變化規(guī)律，稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。三、怎樣研究一點的應(yīng)力狀態(tài)？在構(gòu)件內(nèi)取得單元體代替所研究的點：通過截面法研究單元體各個斜截面上的應(yīng)力情況來研究一點的應(yīng)力狀態(tài)。1、

4、單元體的概念：正六面微體：邊長為無窮小量，dx、dy、dz，故：任意一對平行平面上的應(yīng)力均相等；各個面上的應(yīng)力都均勻分布；任意、相互平行方向的應(yīng)變均相同。2、怎樣取單元體取單元體的原則：盡量使三對面上的應(yīng)力為已知（包括應(yīng)力等于零）先定橫截面上的、，然后按互等定律確定其他面上的剪應(yīng)力。一對橫截面 dx取法 一對縱截面（平行上、下面） dy 一對縱截面（平行前、后面） dz3、根據(jù)構(gòu)件的受力情況，繪應(yīng)力單元體例：受拉伸或壓縮構(gòu)件上的應(yīng)力單元體受扭構(gòu)件上的應(yīng)力單元體彎曲構(gòu)件上的應(yīng)力單元體，等等(二)平面應(yīng)力狀態(tài)分析數(shù)解法一、斜截面上的應(yīng)力(a)(b)圖9-4已知：受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體求：任一斜截面

5、上的應(yīng)力、設(shè)：解：截面法：截出任一斜截面如下：圖9-51、面上的應(yīng)力靜力平衡條件，不是應(yīng)力平衡 :整理上式得，同理，得上述二式：從數(shù)學(xué)上看上述兩個方程式為參數(shù)方程，參變量為；從力學(xué)上看，這兩個方程稱為一點的任意斜截面上的應(yīng)力公式。圖9-62、面（+90°）上的應(yīng)力：若令=90°+，則3、面上應(yīng)力之間的關(guān)系：將式+式，可以看到：常量即任意兩個互相垂直面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)。從式、可以看到：即剪應(yīng)力互等定律將、表示在單元體上圖9-7二、= 在何處？ 該處=？令，則：即的面上有極值這個面在何處？由這個式子可得正應(yīng)力極值所在面的方位：為區(qū)別于任意截面的，令式中的，也從 x軸算起。方

6、位：任意（為方便）令：，則可以發(fā)現(xiàn)：有兩個根：（即正應(yīng)力極植有兩個面）：-具有極植的這兩個面相差90°。即：在兩個互相垂直的斜面上，其正應(yīng)力或為極大值或為極小值。大小：將求得的代入式，得顯然，在的面上三、= ? 在何處？ 該處=？令即： 方位： 將代入(2)式,得:大小:面上的正應(yīng)力:四、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：單元體中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：、用代數(shù)值確定，排列為>>五、應(yīng)力狀態(tài)的分類一個單元體上最多只能出現(xiàn)三對主應(yīng)力，最少可以均為0。按主應(yīng)力存在多少，應(yīng)力狀態(tài)分為：1、三向應(yīng)力狀態(tài)（三

7、個主應(yīng)力都不等于零）圖9-82、二向應(yīng)力狀態(tài)（兩個主應(yīng)力不等于零）圖9-93、單向應(yīng)力狀態(tài)（只有一個主應(yīng)力都不等于零）圖9-10 (三)平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法一、應(yīng)力圓（0·Mohr圓）的由來任意斜截面上的應(yīng)力計算公式從數(shù)學(xué)上來看，這兩個方程是個參數(shù)方程，參變量為2，即若消去和，則一定能找到的曲線方程0·Mohr作了這個工作：首先將式改寫，即將式子等號右邊的第一項移到等號左邊，然后對等式兩邊平方；再對式的兩邊平方；最后將兩式相加，并利用這一關(guān)系消去sin2和cos2而得：這就是所求的曲線方程（應(yīng)力圓的方程）由解析幾何的原理可知，方程（x-a）2+y2=R2 (a)

8、這是一個圓心在（a、0），半徑為R的圓的曲線方程。即圖9-11對照(a)、兩式：x_y_a_R_圖9-12從力學(xué)觀點看：若已知一個應(yīng)力單元體兩個互相垂直面上的應(yīng)力就一定可以作一個圓，圓周上的各點就是該單元體任意斜截面上的應(yīng)力。平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化。從以上的數(shù)學(xué)方程、力學(xué)觀點分析，通常將此圓稱為應(yīng)力圓。由于0·Mohr首先運用數(shù)學(xué)原理將應(yīng)力單元體任意斜截面上的應(yīng)力用圖來表示，因此又稱0·Mohr圓。2、應(yīng)力圓的一般做法圖9-13取坐標(biāo)系；按比例量?。?；由此得Dx點；得Dy點連交軸于C；以C為圓心，或為半徑作圓。即為所求的應(yīng)力圓。從作圓的過程可以

9、看到：應(yīng)力圓上的點：Dx即代表單元體上X面上的應(yīng)力；Dy即代表單元體上Y面上的應(yīng)力；顯然，單元體上任意斜截面上的應(yīng)力就制約在應(yīng)力圓的圓周上，所以可利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力。3、利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力四句話：點面相對應(yīng)，首先找基準(zhǔn)。轉(zhuǎn)向要相同，夾角兩倍整。例：求任意斜面上上的應(yīng)力，見圖9-13：E點的坐標(biāo)就是所求的、值，即,最后，根據(jù)應(yīng)力圓上E點的坐標(biāo)，標(biāo)出該斜截面上應(yīng)力方向（見單元體的方向）。4、利用應(yīng)力圓求單元體的主應(yīng)力及方向最大正應(yīng)力：最小正應(yīng)力：主方向：（式中負號假設(shè)為+，現(xiàn)從DxA1為，為-）5、利用應(yīng)力圓求單元體的最大剪應(yīng)力及方向最大剪應(yīng)力：最小剪應(yīng)力：

10、方向：應(yīng)力圓上A1與G1相差900，即在主應(yīng)力單元體上主平面與所在面相差450 。需要注意的是：面上還有，其值： 分析討論題：1、圖示平面應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓，試在單元體上表示出相應(yīng)于應(yīng)力圓上的點1、2、3、4、5、6、7、8的截面位置及應(yīng)力方向。圖9-14圖9-152、圖示一處在二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓。試在應(yīng)力圓上用點表示0-1，0-2，0-3，0-4，0-5各截面的位置，并畫出單元體斜面上的應(yīng)力方向。圖9-16(四)三向應(yīng)力狀態(tài)一、三向應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、雙向應(yīng)力狀態(tài)是三向應(yīng)力狀態(tài)的特例。工程中三向應(yīng)力狀態(tài)的實例：例1：地層一定深度處所取的單元體，豎向受巖土體的自重壓力；

11、側(cè)向受四周巖土的側(cè)向壓力。圖9-17例2：火車道軌上取一單元體 例3：壓力容器內(nèi)壁取一單元體圖9-18 圖9-192、三向應(yīng)力圓求與某個主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力、：求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)圖9-20求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)。圖9-21求平行于的任意斜截面上的應(yīng)力、；顯然、只與、有關(guān)。圖9-22求任意截面上的應(yīng)力、；顯然、與、都有關(guān)。圖9-233、一點處的最大應(yīng)力：最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力由和所作成的最大應(yīng)力圓可見：主剪應(yīng)力與最大剪應(yīng)力：由三向應(yīng)力圓可知，在三向應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)的單元體中，有三對主剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力例1已知，求解:例2已知某點的正應(yīng)

12、力狀態(tài)的應(yīng)力值為26 Mpa、10 Mpa，求？解： 1、確定主應(yīng)力、，2、例3已知平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值，求解： 1、確定主應(yīng)力、2、(五)廣義虎克定律根據(jù)拉壓虎克定律和橫向變形系數(shù)，即，可將虎克定律推廣：一、三向主應(yīng)力單元體的廣義虎克定律，即 廣義虎克定律|棱邊1 伸長棱邊2縮短棱邊3縮短+棱邊1縮短棱邊2伸長棱邊3縮短棱邊1縮短棱邊2縮短棱邊3伸長2、三向應(yīng)力狀態(tài)時的廣義虎克定律在式中，若三個主應(yīng)力中有一個主應(yīng)力為零，例如：，則式子可寫為二向應(yīng)力狀態(tài)虎克定律已知主應(yīng)力求主應(yīng)變利用式的前二式可將式改寫成用主應(yīng)變、表示、的形式：已知主應(yīng)變求主應(yīng)力3、三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的廣義虎克定律可以證明

13、：在小變形、各向同性的情況下，于線彈性范圍內(nèi)：只與有關(guān)（伸長或縮短）只與有關(guān)（角度變化）故，可方便地按三向主應(yīng)力單元體推導(dǎo)虎克定律的方法進行三向一般應(yīng)力單元體的廣義虎克定律的推導(dǎo)：(15，A)(15，B)剪切虎克定律4、平面應(yīng)力狀態(tài)時的廣義虎克定律在(15，A)式中，若，即平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式，則相應(yīng)的廣義虎克定律就為：已知應(yīng)力求應(yīng)變利用式中的前二式，可改寫上式，即寫成用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式:已知應(yīng)變求應(yīng)力5、彈性常數(shù)E、G、間的關(guān)系在廣義虎克定律中，已涉及到E、G、三個彈性常數(shù)。對于各向同性材料，這三個彈性常數(shù)間存在著如下關(guān)系：討論：廣義虎克定律的應(yīng)用范圍：小變形、材料各向同性，線彈性范圍內(nèi)

14、。求應(yīng)力的兩條路：其一，從外力內(nèi)力應(yīng)力其二，從應(yīng)變應(yīng)力內(nèi)力外力(六)平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一、應(yīng)變分析數(shù)解法為使大家能對應(yīng)力分析、應(yīng)變分析進行比較，現(xiàn)將這兩方面的結(jié)論摘錄如下：1、任意斜截面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力：主應(yīng)力及主方向：主剪應(yīng)力： 2、任意方向的線應(yīng)變、剪應(yīng)變：主應(yīng)變及主方向：(21)主剪應(yīng)變：(22)根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法應(yīng)力圓方程的分析可知：第組的曲線方程是個應(yīng)力圓；與第組的方程對照可知，第組的曲線方程是個應(yīng)變圓。二、應(yīng)變分析圖解法比較第1、2組方程，可以發(fā)現(xiàn)：與在數(shù)值上差 ，因此，在畫應(yīng)變圓時，只須將縱坐標(biāo)值減半，然后作應(yīng)變圖。即選取如下的坐標(biāo)系（見圖28，a）已知x、y、x

15、y(設(shè)試?yán)L應(yīng)變圓：1、量取，2、連D1、D2兩點，交軸于C點。3、以CD1或CD2為半徑作應(yīng)變圓。 圖9-28應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的比較： A1、A2-1、2（=0） A1、A2-1、2（=0）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向一致 A1（1）與A2（2）差1800A1（1）與A2（2）差1800最大最小主應(yīng)變、主應(yīng)力間的夾角差900 A1G與A1G差9001與1差450對應(yīng)三、應(yīng)變花由一點處三個方向的線應(yīng)變求主應(yīng)變由公式可知，欲求一點處的主應(yīng)變，只要測得、和，但目前測尚有困難。為此，應(yīng)變量測中常貼成應(yīng)變花，即在所研究的點處量測兩正交方向的線應(yīng)變和，并量測與X軸間夾角為450的U方向的線應(yīng)變（見圖29）。與之間的

16、關(guān)系，可由式來求得：圖9-29即（23）這樣，就可通過一點處三個方向的線應(yīng)變來求得主應(yīng)變。例題：已知，,求主應(yīng)變？解： =1、數(shù)解法：（即逆時針轉(zhuǎn)過2、圖解法比例：1厘米=圖9-30由圖示得：(七)三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能一、體積應(yīng)變1、體積應(yīng)變的定義：單元體在單位體積上的體積改變稱為體積應(yīng)變。2、體積應(yīng)變的計算式：三向主應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變：圖9-31原來的體積：受力后邊長的改變：變形后的體積：略去高階微量（即兩個或三個線應(yīng)變的乘積項）則變形后的體積：設(shè)體積改變的增量為V，則按體積應(yīng)變的定義得：體積應(yīng)變：(24)將三個主應(yīng)變與三個應(yīng)力間的關(guān)系式代入上式，經(jīng)簡化后得：(25)純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體

17、的體積應(yīng)變純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變,即純剪應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變等于零。 圖9-32三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積改變根據(jù)上述兩種應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變的推證，可得三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變?yōu)椋?26)由此可見：與無關(guān)，只與三個互相垂直面上的正應(yīng)力之和成正比。圖9-33二、彈性變形能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能1、比能的定義單元體在單位體積內(nèi)所儲存的彈性變形能為比能。2、比能的計算式推導(dǎo)比能公式的基本原理功能互換。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能回顧：單向應(yīng)力狀態(tài)下比能公式的推導(dǎo)圖9-34變形能U=W外力所做的功比能：(a)圖9-35據(jù)此，對于三向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體其比能可以直接寫為(b)將(b)式中的

18、三個主應(yīng)變也用主應(yīng)力來表示，經(jīng)簡化即得：(27)體積改變比能和形狀改變比能定義：體積改變比能單元體因體積改變所儲存的變形比能，稱為體積改變比能；形狀改變比能單元體因形狀改變所儲存的變形比能，稱為形狀改變比能。體積改變比能的計算因為在一般情況下，所以物體發(fā)生變形又有形狀改變。因此在(28)式中的比能應(yīng)包括兩個部分，即(c)如何將分別計算呢？因為兩個體積應(yīng)變相等的單元體，其體積改變比能也相等，所以將下圖A所示的單元體上三個主應(yīng)力均代之以三主應(yīng)力的平均值，如圖B所示。圖9-36(a) (b)圖a、b所示的兩單元體體積應(yīng)變相等，體積改變比能顯然也相等。而圖b所示的單元體其三個主應(yīng)力相等，即只有體積改變而無形狀改變，于是由它的比能來計算圖 a所示單元體的體積改變比能，即(28)形狀改變比能的計算：將式(27)、(28)代如(c)式，