大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、實(shí)驗(yàn)10 用扭擺法測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量【預(yù)習(xí)要求】1參見(jiàn)大學(xué)物理剛體一章，導(dǎo)出規(guī)則物體：圓柱、圓筒和圓球過(guò)幾何軸，圓柱、圓筒和細(xì)桿對(duì)過(guò)中心、垂直于幾何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式。2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，在預(yù)習(xí)報(bào)告上自行設(shè)計(jì)、準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)記錄表格?！緦?shí)驗(yàn)?zāi)康摹?了解扭擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理和方法。2用扭擺測(cè)定彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)及幾種不同形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3驗(yàn)證剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的平行軸定理?！緦?shí)驗(yàn)原理】1扭擺測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù) 圖10-1 扭擺扭擺的構(gòu)造如圖10-1所示。在垂直軸1上裝有一根薄片狀的螺旋彈簧2，用以產(chǎn)生恢復(fù)力矩。在軸的上方可以裝上各種待測(cè)物體。垂直軸與支座間裝有軸承，以降低摩擦力矩。3為水平儀，用

2、來(lái)調(diào)整儀器轉(zhuǎn)軸成鉛直。將物體在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角，在彈簧的恢復(fù)力矩作用下，物體就開(kāi)始繞垂直軸作往返扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)虎克定律，彈簧受扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M與所轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比，即M=-K （10-1）式中，K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=I式中，I為物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為角加速度，由上式得=令 2M （10-2） I=KI ，忽略軸承的摩擦阻力矩，由（10-1）、（10-2）得ddt22=-KI=- 2上述微分方程表示扭擺運(yùn)動(dòng)具有角諧振動(dòng)的特性，即角加速度與角位移成正比，并且方向相反。此微分方程的解為=Acos(t+)式中，A為諧振動(dòng)的角振幅，為角位移，為初相位角，為角頻率。此諧振動(dòng)的周期為2I

3、KT=2 （10-3）由式（10-3）可知，只要實(shí)驗(yàn)測(cè)得物體扭擺的擺動(dòng)周期T，并在I和K中任何一個(gè)量已知時(shí)，即可計(jì)算出另一個(gè)量。- 1 -本實(shí)驗(yàn)利用測(cè)量一個(gè)形狀規(guī)則物體（圓柱體）在扭擺上的擺動(dòng)周期來(lái)測(cè)量彈簧K值。圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1'可根據(jù)它的質(zhì)量和幾何尺寸用理論公式直接計(jì)算得到，從而可算出本儀器彈簧的K值。因圓柱是放在金屬載物盤上測(cè)量，須考慮載物盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I盤，所以有K=4I1T1-T盤'和 I盤=I1T盤T1-T盤'2（10-4）式中T盤和T1分別為只有金屬載物盤和載有圓柱體時(shí)測(cè)出的擺動(dòng)周期。若要測(cè)定其他形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，只需將待測(cè)物體安放在本儀器頂部的載物盤或

4、夾具上，測(cè)定其擺動(dòng)周期，利用式（10-3）即可算出該物體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但應(yīng)扣除載物盤或夾具的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。即I=KT422-I盤 或 I=KT422-I夾具 （10-5）2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理的驗(yàn)證若質(zhì)量為m的剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC，可以證明，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離x時(shí)，剛體對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將變?yōu)镮x=IC+mx這就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。本實(shí)驗(yàn)利用一金屬細(xì)桿，在其兩側(cè)對(duì)稱放置兩個(gè)尺寸和質(zhì)量相同的滑塊（帶同軸孔的金屬圓柱）。改變兩滑塊距金屬細(xì)桿中心的距離x，可測(cè)出相應(yīng)的、過(guò)金屬細(xì)桿中心、垂直于金屬細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的擺動(dòng)周期T 。由式（10-3）和平行軸定理，有T=4(2m)Kx+4K(I4+

5、I5) （10-6）式中2為兩滑塊質(zhì)量，I4為金屬細(xì)桿（包括夾具）繞過(guò)其中心的垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I5為兩滑塊繞過(guò)其中心的垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由式可見(jiàn)，擺動(dòng)周期的平方T2與兩滑塊質(zhì)心距金屬細(xì)桿中心的距離的平方x2成正比。令y = T2 ，w = x2 ，a = 42（2m）/K ，b = 42（I 4+ I5）/K ，有y = a w + b 。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作最小二乘法函數(shù)擬合，若線性關(guān)系成立，則可驗(yàn)證平行軸定理?！緦?shí)驗(yàn)儀器】扭擺、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀、待測(cè)物體、物理天平、游標(biāo)卡尺等。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀由主機(jī)和光電傳感器兩部分組成。主機(jī)采用新型的單片機(jī)作控制系統(tǒng)，用于測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)或擺動(dòng)的周期。能自動(dòng)記錄、

6、存貯多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并能計(jì)算多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值。光電傳感器主要由紅外發(fā)射管和接收管組成，將光信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖電信號(hào)，送入主機(jī)工作。因人眼無(wú)法直接觀察儀器工作是否正常，但可用遮光物體往返遮擋光電探頭發(fā)射光束通路，檢查計(jì)時(shí)器是否開(kāi)始計(jì)數(shù)和到預(yù)定周期數(shù)時(shí)是否停止計(jì)數(shù)。為防止過(guò)強(qiáng)光線對(duì)光探頭的影響，光電探頭不能置放在強(qiáng)光下，實(shí)驗(yàn)時(shí)可采用窗簾遮光，確保計(jì)時(shí)的準(zhǔn)確。TH2型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀面板見(jiàn)圖10-2所示，使用方法為：1. 開(kāi)機(jī)：打開(kāi)電源開(kāi)關(guān)，擺動(dòng)指示燈亮。顯示“P1-”，（參量指示為P1、數(shù)據(jù)顯示為-）。若情況異常（死機(jī)），可按復(fù)位鍵，即可恢復(fù)正常。2. 功能選擇：按“功能”鍵，可以選擇擺動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)兩種功能

7、（開(kāi)機(jī)默認(rèn)狀態(tài)為“擺動(dòng)”）。 3. 置數(shù)：按“置數(shù)”鍵，顯示“n = 10” （默認(rèn)周期數(shù)）。按“上調(diào)/下調(diào)”鍵，周期數(shù)依次增加/減少1（周期數(shù)設(shè)置范圍120），再按“置數(shù)”鍵確認(rèn)，顯示“F1 end”或“F2 end”。周期數(shù)一旦預(yù)置完畢，除復(fù)位和再次置數(shù)外，其它操作均不改變預(yù)置的周期數(shù)。- 2 -4. 執(zhí)行（以扭擺為例）：將剛體水平旋轉(zhuǎn)約90°后，讓其自由擺動(dòng)。按“執(zhí)行”鍵，儀器顯示“P1 000.0”。當(dāng)被測(cè)物體上的擋光桿第一次通過(guò)光電門時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，同時(shí)狀態(tài)指示的計(jì)時(shí)燈點(diǎn)亮。隨著剛體的擺動(dòng)，儀器開(kāi)始連續(xù)計(jì)時(shí)，直到周期數(shù)等于設(shè)定值時(shí)，停止計(jì)時(shí)，計(jì)時(shí)燈熄滅，此時(shí)儀器顯示第一次測(cè)量的

8、總時(shí)間。重復(fù)上述步驟，可進(jìn)行多次測(cè)量。本機(jī)設(shè)定重復(fù)測(cè)量的最多次數(shù)為5次，即（P1，P2，P5）。執(zhí)行鍵還具有修改功能。例如要修改第三組數(shù)據(jù)，可連續(xù)按執(zhí)行鍵直到出現(xiàn)“P3 000.0”后，重新測(cè)量第三組數(shù)據(jù)。5. 查詢：按“查詢”鍵，可知各次測(cè)量的周期值C1，C2，C5及它們的平均值CA。以及當(dāng)前的周期數(shù)n 。若顯示“NO”，表示沒(méi)有數(shù)據(jù)。6. 自檢：按“自檢”鍵，儀器應(yīng)依次顯示“n = N-1”，“2n = N-1”，“SC GOOD”，并自動(dòng)復(fù)位到“P1-”，表示儀器工作正常。7. 返回：按“返回”鍵，系統(tǒng)將無(wú)條件的回到最初狀態(tài)，清除當(dāng)前狀態(tài)的所有執(zhí)行數(shù)據(jù)，但預(yù)置周期數(shù)不改變。8. 復(fù)位：按

9、“復(fù)位”鍵，實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)全部清除，所有參量恢復(fù)初始時(shí)的默認(rèn)值。本儀器顯示的時(shí)間單位為s ，計(jì)時(shí)精度（儀器誤差限）為0.001s ?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟】1測(cè)量彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K和金屬載物盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I盤 。（1）用游標(biāo)卡尺測(cè)量圓柱體的外徑D1（測(cè)6次：在圓柱兩頭不同位置各測(cè)3次）；用物理天平測(cè)量其質(zhì)量m1（1次測(cè)量）。（2）調(diào)整扭擺基座底腳螺釘，使水平儀氣泡居中。（3）裝上金屬載物盤，并調(diào)整光電探頭的位置使載物盤上的擋光桿處于其缺口中央且能遮住發(fā)射、接收紅外光線的小孔。用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀測(cè)定擺動(dòng)周期T盤。（設(shè)定周期數(shù)n = 20，測(cè)5次）（4）將塑料圓柱體垂直放在載物盤上，測(cè)定擺動(dòng)周期T1。（設(shè)定周期

10、數(shù)n = 10，測(cè)5次）2測(cè)量金屬圓筒、塑料圓球和金屬細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2、I3、I4。（1）測(cè)量金屬圓筒的外、內(nèi)徑D外、D內(nèi)（測(cè)6次）和質(zhì)量m2（1次）。塑料圓球、金屬細(xì)桿的幾何尺寸和質(zhì)量及支架、夾具的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由實(shí)驗(yàn)室給出。（2）用金屬圓筒替換塑料圓柱體，測(cè)定擺動(dòng)周期T2 。（n = 10，測(cè)3次）（3）卸下金屬載物盤，裝上塑料圓球，測(cè)定擺動(dòng)周期T3 。（n = 10，測(cè)3次）（4）卸下塑料圓球，裝上金屬細(xì)桿（金屬細(xì)桿中心必須與轉(zhuǎn)軸重合）。測(cè)定擺動(dòng)周期T4 。（n = 10，測(cè)3次）3驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理。將金屬滑塊對(duì)稱放置在金屬細(xì)桿兩側(cè)（滑塊上的固定螺釘應(yīng)落入細(xì)桿兩邊的凹槽內(nèi)），依次改變滑

11、塊質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸的距離分別為5.00，10.00，15.00，20.00和25.00cm ，測(cè)定相應(yīng)的擺動(dòng)周期T （n = 10，1次測(cè)量）。稱量金屬滑塊的質(zhì)量2m（1次測(cè)量）。【數(shù)據(jù)處理】1由圓柱體的外徑D1和質(zhì)量m1計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1' ，并由式（10-4）計(jì)算彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K和載物盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I盤。計(jì)算I1'、K和I盤的不確定度，并表達(dá)測(cè)量結(jié)果。2由式（10-5）計(jì)算金屬圓筒、塑料圓球和金屬細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2、I3 、I4，并與由幾何尺寸和質(zhì)量計(jì)算出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2'、I3'、I4' 作比較，計(jì)算相對(duì)誤差。3對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容3的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作最小二乘法線性擬合。由相關(guān)系數(shù)r判斷是否驗(yàn)證了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。由系數(shù)a計(jì)算彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K，并與實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，計(jì)算相對(duì)誤差?！咀⒁馐马?xiàng)】- 3 -1扭擺機(jī)座應(yīng)保持水平。2在安裝金屬載物盤或待測(cè)物體時(shí)，其支架必須全部套入扭擺主軸，并將止動(dòng)螺母（在垂直軸上）旋緊，否則扭擺不能正常工作。3光電探頭宜放置在擋光桿