橢圓的定義及幾何性質(zhì)

1、橢 圓【教學(xué)目標(biāo)】（1）掌握橢圓的定義 （2）掌握橢圓的幾何性質(zhì) （3）掌握求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)重難點(diǎn)】（1）橢圓的離心率有關(guān)的問(wèn)題 （2）橢圓焦點(diǎn)三角形面積的求法【教學(xué)過(guò)程】一、知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形。知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的

2、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。講練結(jié)合：（2）范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b。（3）頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓

3、的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；知識(shí)

4、點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。二、考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：橢圓的定義【例1】方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是 ?！纠?】已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn)P的軌跡為（ ）A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線【變式訓(xùn)練】已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為 ?？键c(diǎn)二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【

5、例3】若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2)則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。【例4】的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡【例5】求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【變式訓(xùn)練】1、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2、焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。3、已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程考點(diǎn)三：利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)【例6】若方程+=1（1）表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值是 .（2）表示焦點(diǎn)在x軸上

6、的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .【例7】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 ，短軸長(zhǎng)等于 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,焦距是 ，離心率等于 。【變式訓(xùn)練】1、橢圓的焦距為，則= 。2、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么 ?？键c(diǎn)四：離心率的有關(guān)問(wèn)題一、求離心率1、用定義（求出a,c或找到c/a）求離心率（1）已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).則橢圓的離心率 。（2）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） （3）橢圓（ab0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若

7、|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi).（4）在給定的橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為1，則該橢圓的離心率為 。2、根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造a、c的齊次式方程，解出e。（1）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. （2）在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為_(kāi).（3）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1.F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 。二）、求離

8、心率的范圍（關(guān)鍵是建立離心率相關(guān)不等式）1、直接根據(jù)題意建立不等關(guān)系求解. （1）橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是 。（2）已知為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓短軸上的端點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍 。2、借助平面幾何關(guān)系（或圓錐曲線之間的數(shù)形結(jié)合）建立不等關(guān)系求解設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是 。3、利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.（焦半徑或橫縱坐標(biāo)范圍建立不等式）（1）橢圓（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則橢圓離心率的取值范圍為 。（2）已知橢圓右頂

9、為A,點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP垂直于PA，求橢圓的離心率e的取值范圍 。（3）橢圓和圓（其中為橢圓半焦距）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍 ?？键c(diǎn)五：橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用【例14】已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積【變式訓(xùn)練】1、若P是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.2、已知P是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A. B. C. D. 課后作業(yè)：一、選擇題1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=25，則點(diǎn)P

10、的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-117、橢圓=1與橢圓=l(l>0)有（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準(zhǔn)線 (D)以上都不對(duì)18、橢圓與（0<k<9）的關(guān)系為（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的的焦點(diǎn) (C)相同的準(zhǔn)線 (D)有相等的長(zhǎng)軸、短軸二、填空題2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1、F2，CD為過(guò)F1的弦，則CDF1的周長(zhǎng)為_(kāi)4、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6 (2)長(zhǎng)軸是短軸

11、的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，1) (3) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長(zhǎng)之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_(kāi)6.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_(kāi) _7、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為_(kāi) _橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 11已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦AB過(guò)點(diǎn)，則的周長(zhǎng) 。13、中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,一條準(zhǔn)線方程為,那么這個(gè)橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩準(zhǔn)線間的距離,則橢圓