洛必達(dá)法則的一些應(yīng)用

1、1 引言18世紀(jì)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，以及這個(gè)世紀(jì)后期數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的擴(kuò)張和數(shù)學(xué)教育的改革都為19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展準(zhǔn)備了條件微積分學(xué)的深人發(fā)展，才有了后面的洛比達(dá)法則，而且在英國(guó)和歐洲大陸是循著不同的路線進(jìn)行的在歐洲大陸，新分析正在萊布尼茨的繼承者們的推動(dòng)下蓬勃發(fā)展起來(lái)伯努利家族的數(shù)學(xué)家們首先繼承并推廣萊布尼茨的學(xué)說(shuō). 雅各布·伯努利運(yùn)用萊布尼茨引用的符號(hào)，并稱之為積分，萊布尼茨采用他的建議，并列使用微分學(xué)與積分學(xué)兩個(gè)術(shù)語(yǔ)雅各布·伯努利的弟弟約. 翰·伯努利在萊布尼茨的協(xié)助之下發(fā)展和完善了微積分學(xué). 他借助于常量和變量，用解析表達(dá)式來(lái)定義函數(shù)，這比在此之前對(duì)函數(shù)的幾何解釋有

2、明顯的進(jìn)步. 他在求“”型不定式的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)稱為洛必達(dá)法則的方法，即用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限. 約翰·伯努利的學(xué)生、法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的無(wú)限小分析(1696)一書是微積分學(xué)方面最早的教科書，在十八世紀(jì)時(shí)為一模范著作，他在書中規(guī)范了這一種算法即洛必達(dá)法則，之后洛必達(dá)法則的也得到了廣泛應(yīng)用，這對(duì)傳播微分學(xué)起到很大的作用. 從極限概念的產(chǎn)生到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年的發(fā)展，漫漫的歷史長(zhǎng)河，人類在尋求真理和科學(xué)的過(guò)程中不斷探索和總結(jié)，對(duì)于數(shù)學(xué)的探索給了人類科學(xué)發(fā)展以強(qiáng)大的動(dòng)力我們應(yīng)當(dāng)對(duì)任何知識(shí)都認(rèn)真的學(xué)習(xí)、研究及做出總結(jié)不僅踏尋前人的路跡，同時(shí)也要從中開創(chuàng)新的空間極限是數(shù)學(xué)

3、分析的基石，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)不定式極限是一種常見和重要的極限類型，其求法多種多樣，變化無(wú)窮本文先介紹了洛必達(dá)法則的定義，然后對(duì)洛必達(dá)法則使用條件及其常見誤區(qū)進(jìn)行了詳細(xì)分析，闡述了該法則適用于解決函數(shù)極限的類型并舉例說(shuō)明其應(yīng)用，總結(jié)了洛必達(dá)法則的各種形式及使用范圍，并介紹了洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用，以及在使用洛必達(dá)法則解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題文章還將法則的適用范圍推廣至求數(shù)列極限，然后分析法則的使用過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；最后通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明了可以將法則和其他求極限方法結(jié)合起來(lái)使用，使我們對(duì)法則有了更深入的理解，進(jìn)而提高了應(yīng)用洛必達(dá)法則解決問(wèn)題的能力2 洛必達(dá)法則及使用條件在計(jì)算一個(gè)分式函數(shù)的極限時(shí)，常常會(huì)

4、遇到分子分母同時(shí)趨向于零或無(wú)窮大的情況，由于這時(shí)無(wú)法使用“商的極限等于極限的商”的法則，運(yùn)算將遇到很大的困難，事實(shí)上，這時(shí)極限可能存在，也可能不存在，當(dāng)極限存在時(shí)，極限的值也會(huì)有各種各樣的可能，如當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那么極限可能存在也可能不存在. 通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為型和型. 未定式極限除了以上兩種外，還有型、型、型、型、型等五種，后面幾種都可以轉(zhuǎn)換成前面兩種類型來(lái)進(jìn)行計(jì)算，因此掌握型和型極限的計(jì)算方法是前提2.1 洛必達(dá)法則型定理2.1 設(shè)函數(shù)，滿足：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么

5、.這就是說(shuō)，當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于；當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，也是無(wú)窮大，這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.證明 因?yàn)楫?dāng)時(shí)的極限與及無(wú)關(guān)，所以可以假定，于是由條件（1）、（2）知道，及在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的，設(shè)是這一鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，那么在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有 （在與之間）.令，并對(duì)上式兩端求極限，注意到時(shí)，再根據(jù)條件（3）便得要證明的結(jié)論.如果當(dāng)時(shí)仍屬于型，且這時(shí)，都能滿足定理中，所要滿足的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，從而確定，即.且可以依次類推.定理2.2 設(shè)函數(shù)，滿足：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）當(dāng)時(shí)，及都存在

6、且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么 .2.2 洛必達(dá)法則型定理2.3 設(shè)函數(shù)，滿足：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么 .定理2.4 設(shè)函數(shù)，滿足：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于；（2）當(dāng)時(shí)，及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么 .2.3 其他類型未定式除了上述的型和型未定式外，還有等類型的未定式這幾種類型的未定式，都可轉(zhuǎn)化為型或型的未定式，即可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解如下圖所示： 型 型 型 型 型具體步驟如下：(1) 型未定式 可將乘積化為除的形式，即當(dāng)或時(shí)，若,，則 或，這樣，型未定式就變?yōu)樾突蛐臀炊ㄊ? (2)型未定式可通過(guò)通分

7、計(jì)算，即當(dāng)或時(shí)，若,，則，這樣，型未定式就變?yōu)樾臀炊ㄊ? (3) ，型未定式 可先化為以為底的指數(shù)函數(shù)的極限, 再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性, 轉(zhuǎn)為直接求指數(shù)的極限, 而指數(shù)的極限形式為“”型, 再轉(zhuǎn)化為“” 型或“”型計(jì)算. 當(dāng)或時(shí)，若(或，或)，（或）. 則或，這樣就可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解. 2.4 洛必達(dá)法則求極限的條件 從定理知道, 無(wú)論是“”型還是“”型,都必須具備一個(gè)重要條件, 即在自變量的同一變化過(guò)程中，存在（或?yàn)椋r(shí)，才有存在（或?yàn)椋?，但是此條件卻不便先驗(yàn)證后使用，所以連續(xù)多次使用法則時(shí)，每次都必須驗(yàn)證它是否為“”型或“”型，其使用程序如下：（“”），（“”），.，（“”），若

8、存在（或?yàn)椋?，那么才有式子成立。而上式成立是基于?，都是“”型未定式，而且從右到左依次相等，但為了書寫方便，在應(yīng)用此法則求極限時(shí)總是習(xí)慣于從左至右寫.這樣, 如果忽略了對(duì)條件的驗(yàn)證, 就有可能出錯(cuò).例題 問(wèn)取何值時(shí)，下式成立？，.解法（1） （“”）， （I）而，由此可以得到，于是，所以，即.根據(jù)以上從左至右的推導(dǎo)順序，問(wèn)題出在式（I），即的存在性并沒有論證，根據(jù)洛必達(dá)法則的條件，只有當(dāng)存在時(shí)，式（I）才能成立，這個(gè)問(wèn)題往往在求極限時(shí)被忽視， 因此后面的做法就是去了根基， 所以上述解法(1) 錯(cuò)誤.解法（2） （“”），如果，則上式等于0，與已知條件矛盾；如果，則是“”型未定式，可用洛必達(dá)法

9、則求解，即 .根據(jù)以上從右至左, 多次應(yīng)用法則得,.解法(2)求出后，討論了其存在性，排除了的情形后，得出；此時(shí)是“”型未定式，若繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，就避免了判定上述極限存在的錯(cuò)誤，該問(wèn)題的關(guān)鍵是討論的存在性，只有它存在，才能使用洛必達(dá)法則.3 洛必達(dá)法則的應(yīng)用3.1 基本類型: 型及型未定式在自變量的某變化過(guò)程中, 對(duì)上述兩種基本類型可直接應(yīng)用法則求極限.例1 求.解 這是“”型未定式，.例2 求.解 這是“”型未定式， 例3 求解 這是“”型未定式，例4 求（為正整數(shù)，）.解 這是“”型未定式，相繼用洛必達(dá)法則次，得 例5 求解 這是“”型未定式，例6 求極限.解 這是“”型未定式

10、，.例7 求極限.解 這是“”型未定式，.注：在求極限時(shí), 如果還是型未定式,且 , 仍滿足洛必達(dá)法則條件，則可繼續(xù)使用該法則求極限.例8 求.解 （“”）（“”）.注：計(jì)算時(shí)要注意已知極限的分離, 如，否則會(huì)越算越復(fù)雜.3.2 可轉(zhuǎn)化為基本類型的未定式極限洛必達(dá)法則只能解決型及型未定式函數(shù)極限, 而對(duì)于某一極限過(guò)程中“”，“”，“”，“”，“”等5 種類型的極限也可經(jīng)過(guò)一定變形, 轉(zhuǎn)化為基本類型再用法則求之.例9 求.解 此題為“” 型未定式, 將原式中的寫在分母上, 使其變?yōu)椤啊毙秃髴?yīng)用洛必達(dá)法則, 即（“”）.例10 求.解 此題為“” 型未定式，（“”）（“”）.例11 求極限.解 這

11、是型未定式，設(shè)，取對(duì)數(shù)得，當(dāng)時(shí)，上式右端是未定式，即可得到，因?yàn)?，而（當(dāng)），所以 .例12 求極限.解 此極限是型未定式，故有.例13 求極限.解 當(dāng)，因此這是型未定式，由于有，故.3.3 數(shù)列極限的洛必達(dá)法則求解例14 求.解 此問(wèn)題可歸類到“”型未定式極限. 但由于題目中變量為正整數(shù), 對(duì)這些孤立點(diǎn)無(wú)法求導(dǎo), 故不能直接利用洛必達(dá)法則求解. 應(yīng)先將極限式中的換成連續(xù)變量 , 求函數(shù) 極限, 再由歸結(jié)原則知原數(shù)列極限值，故由歸結(jié)原則得.該法則盡管求極限很方便, 但也并不是萬(wàn)能的,而且使用時(shí)也要謹(jǐn)慎, 否則容易出錯(cuò).3.4 使用洛必達(dá)法則時(shí)不要忽視別的求極限方法洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效

12、方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用.例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替代或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以運(yùn)算簡(jiǎn)便.例15 求.解 如果直接用洛必達(dá)法則，那么分母的導(dǎo)數(shù)（尤其是高階導(dǎo)數(shù)）較復(fù)雜，如果作一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小替代，那么運(yùn)算就方便得多，其運(yùn)算如下：.例16 求.解 顯然當(dāng)時(shí)，故.該法則是通過(guò)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)的極限求出原函數(shù)的極限, 故只適用于函數(shù)極限的求解.然而在應(yīng)用時(shí), 對(duì)“”型及“”型數(shù)列極限也可間接應(yīng)用.4 使用洛必達(dá)法則時(shí)常見錯(cuò)誤4.1不符合條件的使用有時(shí)極限式并不滿足法則條件, 如用法則求解會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)果, 主要有兩種情形.（1）極限式非未定式例1

13、7 求.解 .由于本題不是未定式“”型, 而上面錯(cuò)誤地應(yīng)用了洛必達(dá)法則, 從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論. 事實(shí)上, 此題可以直接利用函數(shù)連續(xù)性得到結(jié)果.（2）使用法則求導(dǎo)后出現(xiàn)極限不存在現(xiàn)象 特別當(dāng) 時(shí), 函數(shù)式中含有或或當(dāng)時(shí)函數(shù)式中含有或 時(shí), 用法則求極限時(shí)出現(xiàn)極限振蕩, 此時(shí)法則失效.例18 求極限. 分析 這問(wèn)題是“”型未定式, 但分子、分母分別求導(dǎo)后變成，而與當(dāng)時(shí)極限均不存在，即此時(shí)法則失效，但原極限存在，可用如下方法求得.例19 求 .解 （“”）（振蕩），法則失效，但原函數(shù)極限存在，可用如下方法求得.4.2 多次使用法則后極限式出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象例20 求.解 （“”）（“”），求導(dǎo)兩次后極限式

14、出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象, 故洛必達(dá)法則失效, 不能使用.但原式極限存在, 可用下面方法求得:.4.3 對(duì)離散點(diǎn)列求導(dǎo)例21 求.錯(cuò)解 屬于型，先進(jìn)行變形，.錯(cuò)誤原因：是離散的點(diǎn)列，是一系列孤立的點(diǎn)，連續(xù)都談不上，更不用說(shuō)可導(dǎo).正解 .因?yàn)?所以 （這是“一般”到“特殊”的過(guò)程）.4.4 濫用導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性例22 設(shè)在某存在，且求.錯(cuò)解 .錯(cuò)誤原因：在x=0處未必連續(xù).（選擇題可以用此解法，這是一種策略.）正解 （導(dǎo)數(shù)定義）.例23 在x處二階可導(dǎo)，求.錯(cuò)解1 .錯(cuò)誤原因：沒有分清在極限過(guò)程中h和x誰(shuí)是變量，誰(shuí)是常量.錯(cuò)解2 .錯(cuò)誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即：不一定成立.注：由存在，但不一定連續(xù)，所以第

15、2個(gè)等號(hào)后面不符合洛必達(dá)法則的條件.正解 （這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的）.5 用洛必達(dá)法則解題應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題洛必達(dá)法則是求不定式函數(shù)極限的一種普遍且有效的方法但在運(yùn)用洛必達(dá)法則解題時(shí)發(fā)現(xiàn)，解題過(guò)程有時(shí)仍然較復(fù)雜，有時(shí)出現(xiàn)循環(huán)，甚至無(wú)法求解為充分發(fā)揮洛必達(dá)法則的作用，提高解題效率，解題時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題.（1）及時(shí)化簡(jiǎn)使用洛必達(dá)法則前，有時(shí)需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以視函數(shù)式的特征進(jìn)行分子、分母有理化，或進(jìn)行簡(jiǎn)單的分離例24 求.分析：本題分子有2個(gè)根式，若直接運(yùn)用洛必達(dá)法則，解題過(guò)程則較復(fù)雜，如果進(jìn)行分子有理化并及時(shí)分離，則可以簡(jiǎn)化，解題過(guò)程如下：解 .（2）及時(shí)替換在使用洛必達(dá)法則前，可以應(yīng)用等價(jià)

16、無(wú)窮小替換時(shí)，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行替換，以減少中間計(jì)算量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程例25 求.分析：注意到當(dāng)時(shí)， 解 .（3）及時(shí)變換有時(shí)使用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時(shí)，發(fā)現(xiàn)會(huì)反復(fù)循環(huán)這時(shí)需要觀察題目的特征，及時(shí)變換例26 求 .分析：直接使用洛必達(dá)法則，無(wú)法求解，分子分母同時(shí)除以，則問(wèn)題迎刃而解解 .（4）及時(shí)整理在使用洛必達(dá)法則后，及時(shí)整理，有時(shí)可以避免再次使用洛必達(dá)法則，或優(yōu)化解題過(guò)程例27 求.分析：本題使用洛必達(dá)法則后，仍然為“”型不定式，如果通分后分子有理化，則可以直接得出結(jié)論，避免繁瑣的計(jì)算解 . 運(yùn)用洛必達(dá)法則求一類函數(shù)極限時(shí)，在使用前觀察函數(shù)式的特點(diǎn)，及時(shí)化簡(jiǎn)、替換和變換；在使用后及時(shí)整理，則有利于問(wèn)題的解決6 結(jié)論綜上所述，洛必達(dá)法則在求極限的過(guò)程中是個(gè)常用的有效方法，但在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)注意一下三個(gè)方面： （1）在用洛必達(dá)法則之前，要解決“是不是”與“能不能”的問(wèn)題，即在用該法則之前，要先判斷所求的極限是不是未定式，是那類未定式，能不能直接用洛必達(dá)法則來(lái)求解，例如，極限，這本不是未定式，如不用洛必達(dá)法則，便導(dǎo)致如下錯(cuò)誤：判斷有三個(gè)方面，按照需要判斷有限級(jí)別：（I） 是不是； （II） 是不是可導(dǎo)；（III） 是不是一個(gè)確定的常數(shù)或者.對(duì)于側(cè)重于計(jì)算的填空題和選擇題，我們主要驗(yàn)證（I），一般可以不必去驗(yàn)證（II） ， （III）的驗(yàn)證