數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的幾個(gè)命題方向

1、在近幾年各省市的高考試卷中都有幾個(gè)創(chuàng)新題，無論是試題形式的設(shè)計(jì)，考試內(nèi)容的選擇，考查思維的深度，問題情景的創(chuàng)設(shè)等，都給人耳目一新之感，呈現(xiàn)了“重點(diǎn)突出，焦點(diǎn)集中，亮點(diǎn)璀璨”的特色，準(zhǔn)確闡釋了高考命題的思想和原則，具體來說，創(chuàng)新題有哪些命題方向呢？下面我們通過高考題或模擬題做個(gè)歸類分析創(chuàng)新題命題方向之一：定義“新概念”或“新運(yùn)算”型新信息題成為高考試題改革的一個(gè)新的亮點(diǎn)，通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新的模型等創(chuàng)設(shè)一種全新的問題情境，主要考查學(xué)生獨(dú)立提取信息、加工信息的能力，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，緊扣條件，抓住關(guān)鍵的信息，實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，達(dá)到靈活解題的目的，【例1】為提高

2、信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)定原信息為傳輸信息為其中運(yùn)算規(guī)則為：例如原信息為111，則傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是( )A11010 B01100 C10111 D00011【解析】按題中新定義的新運(yùn)算法則將給出數(shù)據(jù)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化我們知道，傳輸信息之間的三個(gè)數(shù)是原信息，C選項(xiàng)原信息為011，則所以應(yīng)該接收信息10110故選C【點(diǎn)評(píng)】在給出新定義或新運(yùn)算問題中要摒棄原有的運(yùn)算法則，以避免造成運(yùn)算的紊亂面對(duì)這類問題只需按給定的法則進(jìn)行運(yùn)算即可，此類問題雖然給出的條件信息比較多，而其實(shí)質(zhì)

3、卻很簡單，只需用簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)即可解決【例2】已知函數(shù)設(shè)表示中的較大者，表示中的較小值），記得最小值為得最大值為則( ) A B C D【解析】頂點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)并且每個(gè)函數(shù)頂點(diǎn)都在另一個(gè)函數(shù)的圖像上，如下圖所示，分別為兩個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以選C【點(diǎn)評(píng)】深刻理解新概念是解題的關(guān)鍵，畫出圖像為我們的理解起到了舉足輕重的作用，另外找到頂點(diǎn)的特征為解題找到了突破口，還要注意A，B并非在同一個(gè)自變量取得.針對(duì)性練習(xí)：設(shè)S，T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)滿足：；對(duì)任意當(dāng)時(shí)，恒有那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是( )ABC D【解析】根據(jù)題意可知，令則A

4、選項(xiàng)正確；令則B選項(xiàng)正確；令則C選項(xiàng)正確故答案為D創(chuàng)新題命題方向之二：類比型給出幾個(gè)在結(jié)構(gòu)上類似的等式或不等式，通過應(yīng)用其相似性把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一個(gè)對(duì)象獲得對(duì)有關(guān)問題的結(jié)論或在其性質(zhì)上有相同或相似的一種推理形式，實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解的目的，類比是創(chuàng)造性的“模仿”，聯(lián)想是“由此及彼”的思維跳躍，編制題目引導(dǎo)考生將所求的問題與熟知的信息相類比，進(jìn)行多方位的聯(lián)想，將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法，問題的結(jié)論等引申推廣或遷移，可由已知探索未知，由舊知探索新知，這既有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維，又有利于提高同學(xué)們舉一反三、觸類旁通的應(yīng)變能力.【例3】先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：已知

5、求證證明：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)閷?duì)一切恒所以從而得(1)若請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣式； (2)參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明【解析】這是類比問題的推廣，所以只需依照條件中給出的結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及證明方法即可得到推廣結(jié)論及其證明(1)若求證：.(2)證明：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)閷?duì)一切都有所以從而證得：【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于某些不等式證明題，我們?nèi)裟芨鶕?jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：由得就可以使一些用一般方法處理較繁的問題，獲得簡捷、明快的證明，構(gòu)造法解題的最大特點(diǎn)是調(diào)整思維視角，在更廣闊的背景下考察問題中所涉及的代數(shù)、幾何元素及其相互關(guān)系所以應(yīng)用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵有：(1)要有明確的方向，即為何構(gòu)

6、造；(2)要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便進(jìn)行邏輯組合.【例4】當(dāng)時(shí)，有如下表達(dá)式：兩邊同時(shí)積分得：從而得到如下等式：請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：_.【解析】材料中是從一個(gè)原有的等式，對(duì)其等號(hào)兩邊同時(shí)積分得到一個(gè)新的等式，因此，要解決題中所給的問題，要先找到一個(gè)等式，使其等號(hào)兩邊積分后與題中所給的式子盡可能的相關(guān)，在這個(gè)過程中，觀察和聯(lián)想很重要從題中觀察到，_和等號(hào)左邊的式子相比，只多了個(gè)系數(shù)再從式子的整體結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)中，聯(lián)想到二項(xiàng)展開式對(duì)其等號(hào)兩邊同時(shí)積分，即得：由兩邊同時(shí)積分得：從而得到如下等式：【點(diǎn)評(píng)】問題的材料本身就很有創(chuàng)新，我們要根據(jù)材料提供的方法應(yīng)用到新問題中，這對(duì)我們是個(gè)考

7、驗(yàn)，怎么運(yùn)用呢？聯(lián)想到我們熟知的等式：是解題的關(guān)鍵針對(duì)性練習(xí)：在數(shù)學(xué)解題中，常會(huì)碰到形如“”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類比正切的和角公式，如：設(shè)是非零實(shí)數(shù)，且滿足則( ) A B C D【解析】首先條件等式化成形如“”的結(jié)構(gòu)，然后利用兩角和的正切公式來解題，將條件左式變形，得聯(lián)想兩角和的正切公式，設(shè)則有則解得于是答案選D創(chuàng)新題命題方向之三：高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接型將高等數(shù)學(xué)問題下放，用初等方法來解決高等與初等數(shù)學(xué)的銜接問題，這是近年高考中的一個(gè)特點(diǎn).【例5】定義如下運(yùn)算：=,其中現(xiàn)有個(gè)正數(shù)的數(shù)表A排成行列如下：（這里用表示位于第i行第j列的一個(gè)正數(shù)，,.，其中每橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每豎列的數(shù)成等比數(shù)列，

8、且各個(gè)等比數(shù)列的公比相同，若求的表達(dá)式（用表示）【解析】本題數(shù)列中的每一項(xiàng)都有兩個(gè)下標(biāo)，在中每橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每豎列的數(shù)成等比數(shù)列，要明確這一信息與下標(biāo)間的關(guān)系，并利用這一信息源得出的表達(dá)式每一行的數(shù)成等差數(shù)列，成等差數(shù)列又每一列的數(shù)成等比數(shù)列，故且【點(diǎn)評(píng)】新背景等比數(shù)列題型往往利用新定義或新概念將等比數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)交匯于其中，該題型是高考命題的新動(dòng)向本題是等比數(shù)列與“行列式”相交匯的新背景題型，由于新型的定義式的出現(xiàn)，導(dǎo)致該題型又多了幾分神秘的色彩，為我們接受新型問題開闊了眼界針對(duì)性練習(xí)：定義表示實(shí)數(shù)中的最大者設(shè)記,設(shè)若則x的取值范圍為( ) A B C D【解析】由定義知：若則解得選B創(chuàng)

9、新題命題方向之四：信息遷移型信息遷移題是指以考生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上設(shè)置一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境，或把已有的知識(shí)進(jìn)一步引申，設(shè)置一個(gè)簡單而又熟悉的物理情境或生活情境或定義新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，要求考生讀懂題目，并根據(jù)題目引入的新內(nèi)容解題【例6】已知數(shù)列中.(1)若求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的都有成立，求a的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時(shí)，令則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，畫出圖像知的最大項(xiàng)為最小項(xiàng)為(2)對(duì)任意的都有成立，即的最大項(xiàng)是第6項(xiàng)，因?yàn)?，所以要保證的最大項(xiàng)是第6項(xiàng)，只需滿足解得【點(diǎn)評(píng)】一個(gè)是數(shù)列，一個(gè)是函數(shù)，他們有聯(lián)系，也有區(qū)別，適時(shí)轉(zhuǎn)換（信息遷移）轉(zhuǎn)化為一次分式函數(shù)，并利用一次分式函數(shù)

10、的圖像和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵針對(duì)性練習(xí)：規(guī)定密碼把英文的明文（真實(shí)文）按分母分解，其中英文的26個(gè)字母（不論大小寫）依次對(duì)應(yīng)1，2，3，26，這26個(gè)正整數(shù)，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526并給你一個(gè)變換公式：將明文轉(zhuǎn)換成密文，若則h變?yōu)閯ty變成m，按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是你能否得出原來的明文？【解析】字母s在密碼表中對(duì)應(yīng)的數(shù)字是19或則但原明文中只對(duì)應(yīng)26個(gè)整數(shù)，從而所以因此s的明文是l同理可求因此shxc的明文是love.創(chuàng)新題命題方向之五：探索探究型探索性問題是開放

11、性問題的一種，高考中的探索性問題主要考查考生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)融合，并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的要求考生自己觀察分析，創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問題，【例7】已知射線OP，作出點(diǎn)M使得且若射線OP上一點(diǎn)N能使得MN與ON的長度均為整數(shù)，則稱N是“同心圓夢(mèng)點(diǎn)”.請(qǐng)問射線OP上的同心圓夢(mèng)點(diǎn)共有_個(gè)【解析】如圖，過點(diǎn)M作因?yàn)榍宜栽O(shè)是正整數(shù))顯然，在中，有即因?yàn)榕c同奇偶，所以48的分解只能取下列三種：得時(shí)就對(duì)應(yīng)有三個(gè)同心圓夢(mèng)點(diǎn)另外，易知點(diǎn)關(guān)于直線MH對(duì)稱的點(diǎn)也是符合題意，故射線OP上的同心圓夢(mèng)點(diǎn)共有4個(gè)【點(diǎn)評(píng)】本題以三角形邊長為整數(shù)為背景來命

12、題，考查考生對(duì)有關(guān)數(shù)論綜合分析能力，以MN與ON的長度均為整數(shù)為突破口來尋找點(diǎn)N，將本題轉(zhuǎn)化為列方程求整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題針對(duì)性練習(xí)：已知定理：“若為常數(shù)，滿足則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱”，設(shè)函數(shù)定義域?yàn)锳(1)試證明的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)對(duì)于給定的設(shè)計(jì)構(gòu)造過程：如果構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果構(gòu)造過程將停止若對(duì)任意構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，求a的值.【解析】(1)由已知定理得，的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；(2)首先證明在上是增函數(shù)，為此只要證明在上是增函數(shù)設(shè)則在上是增函數(shù)再由在上是增函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，即(3)構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，又的定義域?yàn)榍覍?duì)任意恒成立，方程無解，即方程無

13、解或有唯一解或由此得到另外，知識(shí)遷移型也是創(chuàng)新的一個(gè)方向總之，數(shù)學(xué)創(chuàng)新題以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，是訓(xùn)練和考查考生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問題和解決問題能力的好題型它與新課標(biāo)要求考生“對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，才是解決問題的思路，創(chuàng)造性解決問題”的思想相吻合，體現(xiàn)出高考支持課改并服務(wù)于課改的指導(dǎo)思想要求考生面對(duì)陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘創(chuàng)新試題的內(nèi)涵與本質(zhì)，并合理遷移運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)加以解決.【練練手】1定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在滿足則稱是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)均值

14、點(diǎn)，已知函數(shù)在區(qū)間上存在均值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.2設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)和由此得到N個(gè)點(diǎn)在數(shù)出其中滿足的點(diǎn)數(shù)那么由隨機(jī)模擬方法可得積分的近似值為_.3已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足有以下結(jié)論：；為偶函數(shù)；數(shù)列為等比數(shù)列；數(shù)列為等差數(shù)列其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.4已知集合其中表示和中所有不同值的個(gè)數(shù)(1)設(shè)集合分別求和(2)若集合求證：；(3)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由？參考答案1解析：本題等價(jià)于在有解，所以.2解析：由題意知本題是求而它的幾何意義是函數(shù)（其中）的圖像與x軸、直線和直線1所圍成圖形的面積，均勻隨機(jī)數(shù)所產(chǎn)生的點(diǎn)有N個(gè)，也就是落在正方形區(qū)域上的點(diǎn)有N個(gè)，而滿足的點(diǎn)數(shù)有個(gè)，相當(dāng)于正