文科高等數(shù)學(xué)2微積分的直接基礎(chǔ)極限

1、§從阿基里斯追趕烏龜談起數(shù)列的極限一個(gè)實(shí)際問題:如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正8×2n-1邊形的面積記為An. 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積:A1,A2,A3,××××××,An,×××設(shè)想n無限增大（記為n®¥, 讀作n趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個(gè)過程中, 內(nèi)接正多

2、邊形無限接近于圓, 同時(shí)An也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1,A2,A3,×××,An,×××當(dāng)n®¥時(shí)的極限.數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn, 則得到一列有次序的數(shù)x1,x2,x3,×××,xn,×××這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).數(shù)列的例子: :,×××

3、;,× × × 2n: 2, 4, 8,×××, 2n,×××:,×××,×××(-1)n+1:1,-1,1,×××,(-1)n+1,×××:2,×××,×××.它們的一般項(xiàng)依次為, 2n,(-1)n+1,.數(shù)列的幾何意義:數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3,×××

4、;,xn,×××.數(shù)列與函數(shù):數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù):xn=f (n),它的定義域是全體正整數(shù).數(shù)列的極限:數(shù)列的極限的通俗定義:對于數(shù)列xn, 如果當(dāng)n無限增大時(shí), 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a. 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.例如,;而2n, (-1)n+1,是發(fā)散的.對無限接近的刻劃:xn無限接近于a等價(jià)于|xn-a|無限接近于0, 極限的精確定義:定義 如果數(shù)列xn與常a有下列關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小),總存在正整數(shù)N, 使得對于n >

5、;N時(shí)的一切xn, 不等式 |xn-a|<e都成立,則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為或xn®a (n®¥).如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.Û"e>0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|<e .數(shù)列極限的幾何解釋:例題:例1.證明.分析:|xn-1|=.對于"e >0,要使|xn-1|<e,只要,即.證明:因?yàn)?quot;e>0, $ÎN+, 當(dāng)n>N時(shí),有 |xn-1|=,所以.例2.證明.分析:|xn-0|.對于&quo

6、t;e>0,要使|xn-0|<e,只要,即.證明:因?yàn)?quot;e>0,$ÎN+,當(dāng)n>N時(shí),有|xn-0|=,所以.例3.設(shè)|q |<1, 證明等比數(shù)列 1,q,q2,×××,qn-1,×××的極限是0.分析:對于任意給定的e >0,要使 |xn-0|=| qn-1-0|=|q| n-1<e,只要n>log|q|e+1就可以了,故可取N=log|q|e+1。證明:因?yàn)閷τ谌我饨o定的e >0,存在N= log|q|e+1,當(dāng)n>N時(shí), 有| qn-1-0|=|q|

7、 n-1<e,所以.收斂數(shù)列的性質(zhì):定理1(極限的唯一性)數(shù)列xn不能收斂于兩個(gè)不同的極限.證明:假設(shè)同時(shí)有及,且a<b.按極限的定義,對于>0,存在充分大的正整數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí),同時(shí)有|xn-a|<及|xn-b|<,因此同時(shí)有及,這是不可能的.所以只能有a=b.數(shù)列的有界性:對于數(shù)列xn，如果存在著正數(shù)M，使得對一切xn都滿足不等式 |xn|£M,則稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列xn是無界的定理2(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂,那么數(shù)列xn一定有界.證明:設(shè)數(shù)列xn收斂,且收斂于a,根據(jù)數(shù)列極限的定義,對于e=1,

8、存在正整數(shù)N,使對于n>N時(shí)的一切xn,不等式|xn-a|<e=1都成立.于是當(dāng)n>N時(shí), |xn|=|(xn-a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|,×××, |xN |, 1+| a |,那么數(shù)列xn中的一切xn都滿足不等式|xn|£M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列極

9、限的定義, 對, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有,從而. 推論 如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有xn³0(或xn£0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a³0(或a£0).證明 就xn³0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項(xiàng)起, 即當(dāng)n>N 1時(shí)有xn³0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知,$N 2ÎN+, 當(dāng)n> N 2時(shí), 有xn<0. 取N=max N 1, N 2, 當(dāng)n>N時(shí), 按假定有xn³0, 按定理3有xn<0, 這引起矛盾. 所以必有a³0.

10、 子數(shù)列:在數(shù)列xn中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序,這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列.例如,數(shù)列xn: 1,-1, 1,-1,×××, (-1)n+1×××的一子數(shù)列為x2n:-1,-1,-1,×××, (-1)2n+1×××.定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a.證明:設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列xn收斂于a,所以"e>0,$NÎN+,當(dāng)n>N

11、時(shí),有|xn-a|<e.取K=N,則當(dāng)k>K時(shí),nk³k>K=N.于是|-a|<e.這就證明了.討論: 1.對于某一正數(shù)e0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|<e 0. 是否有xn®a (n®¥). 2.如果數(shù)列xn收斂,那么數(shù)列xn一定有界.發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1,-1, 1,-1,×××

12、, (-1)N+1,×××是發(fā)散的？§2.2 函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義 函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢:x無限接近x0:x®x0,x從x0的左側(cè)(即小于x0)無限接近x0:x®x0-,x從x0的右側(cè)(即大于x0)無限接近x0:x®x0+,x的絕對值|x|無限增大:x®¥,x小于零且絕對值|x|無限增大:x®-¥,x大于零且絕對值|x|無限增大:x®+¥.1自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限通俗定義:如果當(dāng)x無限接近于x0,函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A, 則稱當(dāng)x

13、趨于x0時(shí),f(x)以A為極限.記作f(x)=A或f(x)®A(當(dāng)x®).分析:在x®x0的過程中,f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d,d為某一正數(shù))時(shí),|f(x)-A|可以小于任意給定的(小的)正數(shù)e , 即|f(x)-A|<e . 反之, 對于任意給定的正數(shù)e, 如果x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d,d為某一正數(shù))就有|f(x)-A|<e, 則能保證當(dāng)x®x0時(shí),f(x)無限接近于A.定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如

14、果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<d 時(shí), 對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0時(shí)的極限, 記為或f(x)®A(當(dāng)x®x0). 定義的簡單表述:Û"e>0,$d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), |f(x)-A|<e.函數(shù)極限的幾何意義:例1.證明.證明:這里|f(x)-A|=|c-c|=0, 因?yàn)?quot;e>0, 可任取d>0 ,當(dāng)0<|x-x

15、0|<d 時(shí),有|f(x)-A|=|c-c|=0<e ,所以.例2.證明.分析: |f(x)-A|=|x-x0|. 因此"e>0,要使|f(x)-A|<e , 只要|x-x0|<e .證明:因?yàn)?quot;e >0,$d =e, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|f(x)-A|=|x-x0|<e, 所以.例3.證明. 分析:|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|."e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 證明:因?yàn)?quot;e >0,$d=e/2, 當(dāng)0<|x-1|<

16、;d 時(shí), 有|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e , 所以.例4.證明.分析: 注意函數(shù)在x=1是沒有定義的,但這與函數(shù)在該點(diǎn)是否有極限并無關(guān)系.當(dāng)x¹1時(shí),|f(x)-A|=|x-1|."e>0, 要使|f(x)-A|<e,只要|x-1|<e.證明:因?yàn)?quot;e >0,$d=e , 當(dāng)0<|x-1|<d 時(shí), 有| f(x)-A|=|x-1|<e ,所以. 單側(cè)極限:若當(dāng)x®x0-時(shí),f(x)無限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0時(shí)的左極限,記為或f(-)=A;

17、yy=x-1-11y=x+1xO若當(dāng)x®x0+時(shí),f(x)無限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0時(shí)的右極限,記為或f(+)=A.討論:1.左右極限的e -d定義如何敘述? 2.當(dāng)x®x0時(shí)函數(shù)f(x)的左右極限與當(dāng)x®x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限之間的關(guān)系怎樣?提示:左極限的e-d定義：Û"e >0,$d >0,"x:x0-d<x<x0,有|f(x)-A|<e .Û"e >0,$d >0,"x:x0<x<x0+d,有|f(x)-A

18、|<e .Û且.例5 函數(shù)當(dāng)x®0時(shí)的極限不存在.這是因?yàn)?.2自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)X, 使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時(shí), 對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x®¥時(shí)的極限,記為或f(x)®A(x®¥).Û"e>0,$X>0, 當(dāng)|x|>X時(shí), 有|f(x)-A|<e. 類似地可定義和.結(jié)論:Û且.極

19、限的定義的幾何意義y=f (x)AA-e-XO XxyA+e例6.證明.分析:."e >0,要使|f(x)-A|<e,只要.證明:因?yàn)?quot;e >0,$,當(dāng)|x|>X時(shí),有,所以.直線y=0 是函數(shù)的水平漸近線.一般地,如果,則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線.二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1(函數(shù)極限的唯一性)如果極限存在,那么這極限唯一.定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)®A(x®x0),那么存在常數(shù)M>0和d,使得當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有|f(x)|£M.證明 因?yàn)閒(x)

20、74;A(x®x0), 所以對于e=1,$d>0,當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有|f(x)-A|<e=1,于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.這就證明了在x0的去心鄰域x| 0<|x-x0|<d內(nèi),f(x)是有界的.定理3(函數(shù)極限的局部保號性) 如果f(x)®A(x®x0),而且A>0(或A<0),那么存在常數(shù)d>0,使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有f(x)>0(或f(x)<0).證明: 就A>0的情形證明.因?yàn)? 所以對于

21、,$d >0,當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí),有ÞÞ>0.定理3¢如果f(x)®A(x®x0)(A¹0),那么存在點(diǎn)x0的某一去心鄰域,在該鄰域內(nèi),有.推論如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)³0(或f(x)£0),而且f(x)®A(x®x0),那么A³0(或A£0).證明:設(shè)f(x)³0.假設(shè)上述論斷不成立,即設(shè)A<0,那么由定理1就有x0的某一去心鄰域,在該鄰域內(nèi)f(x)<0,這與f(x)³0的假定矛盾.所以A³

22、0.定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)x®x0時(shí)f(x)的極限存在, xn為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列,且滿足xn¹x0(nÎN+),那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(xn)必收斂,且. 證明 設(shè)f(x)®A(x®x0), 則"e>0,$d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí),有|f(x)-A|<e.又因?yàn)閤n®x0(n®¥), 故對d>0,$NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-x0|<d.由假設(shè),xn¹x0(nÎN+)

23、. 故當(dāng)n>N時(shí),0<|xn-x 0|<d, 從而|f(xn)-A|<e. 即§無窮小與無窮大一、無窮小 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)的極限為零, 那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列xn稱為n®¥時(shí)的無窮小. 例如,因?yàn)? 所以函數(shù)為當(dāng)x®¥時(shí)的無窮小.因?yàn)? 所以函數(shù)為x-1當(dāng)x®1時(shí)的無窮小.因?yàn)?所以數(shù)列為當(dāng)n®¥時(shí)的無窮小.討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮??？0是否為

24、無窮??？提示: 無窮小是這樣的函數(shù), 在x®x0(或x®¥)的過程中, 極限為零. 很小很小的數(shù)只要它不是零, 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個(gè)常數(shù)本身, 不會(huì)為零.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1 在自變量的同一變化過程x®x0(或x®¥)中, 函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a, 其中a是無窮小. 證明: 設(shè),"e>0,$ d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|f(x)-A|<e.令a=f(x)-A, 則a是x®x0時(shí)的無窮小, 且f

25、(x)=A+a.這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小a之和. 反之, 設(shè)f(x)=A+a, 其中A 是常數(shù),a是x®x0時(shí)的無窮小, 于是|f(x)-A|=|a|.因a是x®x0時(shí)的無窮小,"e>0,$ d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有|a|<e或|f(x)-A|<e 這就證明了A是f(x) 當(dāng) x®x0時(shí)的極限. 簡要證明: 令a=f(x)-A, 則|f(x)-A|=|a|. 如果"e>0,$ d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有f(x)-A|<e ,

26、就有|a|<e;反之如果"e>0,$ d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有|a|<e , 就有f(x)-A|<e. 這就證明了如果A是f(x) 當(dāng) x®x0時(shí)的極限, 則a是x®x0時(shí)的無窮小; 如果a是x®x0時(shí)的無窮小, 則A是f(x) 當(dāng) x®x0時(shí)的極限. 類似地可證明x®¥時(shí)的情形.例如, 因?yàn)?而, 所以.二、無窮大如果當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值|f(x)|無限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x®x0(或x

27、74;¥)時(shí)的無窮大. 記為 (或).應(yīng)注意的問題:當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)為無窮大的函數(shù)f(x),按函數(shù)極限定義來說,極限是不存在的.但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài),我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”,并記作 (或).討論:無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數(shù)是否是無窮大?提示:Û"M>0,$d >0,當(dāng)0<|x-|<d 時(shí), 有|f(x)|>M.正無窮大與負(fù)無窮大:,.例2 證明. 證 因?yàn)?quot;M>0,$, 當(dāng)0<|x-1|<d時(shí), 有,所以. 提示: 要使, 只要.鉛直漸近線:

28、如果,則稱直線是函數(shù)y=f(x)的圖形的鉛直漸近線.例如,直線x=1是函數(shù)的圖形的鉛直漸近線.定理2 (無窮大與無窮小之間的關(guān)系)在自變量的同一變化過程中,如果f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,如果f(x)為無窮小,且f(x)¹0,則為無窮大.三、無窮小的比較觀察兩個(gè)無窮小比值的極限:,.兩個(gè)無窮小比值的極限的各種不同情況,反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度.在x®0的過程中,x2®0比3x®0“快些”,反過來3x®0比x2®0“慢些”,而sin x®0與x®0“快慢相仿”.下面,我們就無窮小之比的極限存在或

29、為無窮大時(shí),來說明兩個(gè)無窮小之間的比較.定義:設(shè)a及b都是在同一個(gè)自變量的變化過程中的無窮小.如果,就說b是比a高階的無窮小,記為b=o(a).如果,就說b 是比a 低階的無窮小.如果,就說b 與a 是同階無窮小.如果,k>0,就說b是關(guān)于a的k階無窮小.如果,就說b與a是等價(jià)無窮小,記為ab .下面舉一些例子:例1.因?yàn)?所以當(dāng)x®0時(shí), 3x2是比x高階的無窮小,即3x2=o(x)( x®0).例2.因?yàn)?所以當(dāng)n®¥時(shí),是比低階的無窮小.例3.因?yàn)?所以當(dāng)x®3時(shí),x2-9與x-3是同階無窮小.例4.因?yàn)?所以當(dāng)x®0時(shí),

30、 1-cos x是關(guān)于x的二階無窮小.例5.因?yàn)?所以當(dāng)x®0時(shí), sin x與x是等價(jià)無窮小,即sin x x (x®0).關(guān)于等價(jià)無窮小的有關(guān)定理:定理1b與a是等價(jià)無窮小的充分必要條件為b=a+o(a).證明必要性設(shè)a b,則,因此b-a=o(a),即b=a+o(a).充分性設(shè)b=a+o(a),則,因此ab.簡要證明:這是因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),b-a=o(a)當(dāng)且僅當(dāng)ab,b=a+o(a)當(dāng)且僅當(dāng)ab.例6.因?yàn)楫?dāng)x®0時(shí)sin xx, tan xx, 1-cos x,所以當(dāng)x®0時(shí),有sin x=x+o(x), tan x=x+o(x), 1-cos

31、x=.定理2設(shè)aa¢,bb¢,且存在,則.證明:.定理2表明,求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí),分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替.因此,如果用來代替的無窮小選取得適當(dāng),則可使計(jì)算簡化.例7.求.解:當(dāng)x®0時(shí), tan 2x 2x, sin 5x 5x,所以.例8.求.解:當(dāng)x®0時(shí)sin xx,無窮小x3+3x與它本身顯然是等價(jià)的,所以.§極限運(yùn)算法則定理1有限個(gè)無窮小的和也是無窮小.例如,當(dāng)x®0時(shí),x與sin x都是無窮小,x+sin x也是無窮小.簡要證明:設(shè)a及b是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無窮小,則"e>0,$d

32、1>0及d2>0,使當(dāng)0<|x-x0|<d1 時(shí),有|a|<e;當(dāng)0<|x-x0|<d2 時(shí),有|b|<e.取d=mind1,d2,則當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí),有|a+b|£|a|+|b|<2e.這說明a+b 也是無窮小.證明:考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)a及b是當(dāng)x®x0時(shí)的兩個(gè)無窮小,而g=a +b.任意給定的e>0.因?yàn)閍是當(dāng)x®x0時(shí)的無窮小,對于>0存在著d1>0,當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí),不等式|a|<成立.因?yàn)閎 是當(dāng)x®x0時(shí)的無窮小,對于&

33、gt;0存在著d2>0,當(dāng)0<|x-x0|<d2時(shí),不等式|b|<成立.取d=mind1,d2,則當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), |a|<及|b|<同時(shí)成立,從而|g|=|a+b|£|a|+|b|<+=e.這就證時(shí)了g也是當(dāng)x®x0時(shí)的無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.簡要證明:設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域x|0<|x-x0|<d1內(nèi)有界,即$M>0,使當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí),有|u|£M.又設(shè)a是當(dāng)x®x0時(shí)的無窮小,即"e>0.存在d2&

34、gt;0,使當(dāng)0<|x-x0|<d 2時(shí),有|a|<e.取d=mind1,d2,則當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|u×a|<Me.這說明u×a 也是無窮小.例如,當(dāng)x®¥時(shí),是無窮小, arctan x是有界函數(shù),所以arctan x也是無窮小.推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.定理3 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B,那么 (1) lim f (x)±g(x) = lim f (x) ±lim g (x) =A±B; (2) l

35、im f (x)×g(x) = lim f (x) × lim g (x) =A×B;(3)(B¹0).證明(1):因?yàn)閘im f (x)=A, lim g (x)=B,根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系,有f (x)=A+a,g (x)=B+b,其中a及b為無窮小.于是f (x) ±g (x)=(A + a) ± (B + b) = (A±B) + (a ±b),即f (x) ±g (x)可表示為常數(shù)(A±B)與無窮小(a ±b)之和.因此lim f (x) ±g (x) = lim

36、f (x) ± lim g (x) = A±B .推論1 如果lim f (x)存在,而c為常數(shù),則lim cf (x)=c lim f (x).推論2如果lim f (x)存在,而n是正整數(shù),則lim f (x)n=lim f (x)n.定理4 設(shè)有數(shù)列xn和yn.如果,那么(1);(2);(3)當(dāng)(n=1, 2,×××)且B¹0時(shí),.定理5 如果j(x)³f(x),而lim j(x)=a, lim y(x)=b,那么a³b.例1.求.解:.討論:若,則提示:=a0x0n+a1x0n-1+××

37、×+an=P(x0).若,則.例2.求.解:.提問:如下寫法是否正確？.例3.求.解:.例4.求.解:,根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得=¥.提問:如下寫法是否正確？.討論:有理函數(shù)的極限提示:當(dāng)時(shí),.當(dāng)且時(shí),.當(dāng)Q(x0)=P(x0)=0時(shí),先將分子分母的公因式(x-x0)約去.例5.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例6.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例7.求.解:因?yàn)?所以.討論:有理函數(shù)的極限提示:.例8.求.解:當(dāng)x®¥時(shí),分子及分母的極限都不存在,故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用.因?yàn)?是無窮小與有界函數(shù)的乘積,所以.定

38、理8(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成,fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,若,且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)¹u 0,則.定理8(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成,fg(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義.若g(x)®u0(x®x0),f(u)®A(u®u0),且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)¹u0,則.簡要證明 設(shè)在x|0<|x-x0|<d0內(nèi)g(x)¹u0.要證"e>0,$d&

39、gt;0, 當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有|fg(x)-A|<e. 因?yàn)閒(u)®A(u®u0), 所以"e>0,$h>0, 當(dāng)0<|u-u0|<h時(shí), 有|f(u)-A|<e. 又g(x)®u0(x®x0), 所以對上述h>0,$d1>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí), 有|g(x)-u0|<h.取d=mind0,d1, 則當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 0<|g(x)-u0|<h, 從而|fg(x)-A|=|f(u)-A|<e.注:把定理

40、中換成或, 而把換成可類似結(jié)果.把定理中g(shù)(x)®u0(x®x0)換成g(x)®¥(x®x0)或g(x)®¥(x®¥), 而把f(u)®A(u®u0)換成f(u)®A(u®¥)可類似結(jié)果.例如例9 求.解 是由與復(fù)合而成的.因?yàn)? 所以.§1.7極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限準(zhǔn)則I 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件: (1)yn£xn£zn(n=1,2,3,×××),(2),那么數(shù)列xn的極限存在

41、, 且.證明:因?yàn)?以根據(jù)數(shù)列極限的定義,"e>0,$N 1>0, 當(dāng)n>N1時(shí), 有|yn-a|<e;又$N 2>0, 當(dāng)n>N2時(shí), 有|zn-a|<e. 現(xiàn)取N=maxN 1,N 2, 則當(dāng)n>N時(shí), 有|yn-a|<e,|zn-a|<e 同時(shí)成立, 即a-e<yn<a+e,a-e<zn<a+e,同時(shí)成立.又因yn£xn£zn, 所以當(dāng)n>N時(shí), 有a-e<yn£xn£zn<a+e,即 |xn-a|<e.這就證明了. 簡要證明:由條

42、件(2),"e>0,$N>0, 當(dāng)n>N時(shí), 有 |yn-a|<e及|zn-a|<e,即有a-e<yn<a+e,a-e<zn<a+e,由條件(1), 有a-e<yn£xn£zn<a+e,即 |xn-a|<e.這就證明了.準(zhǔn)則I¢如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件:OCADB1x (1) g(x)£f(x)£h(x); (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A;那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A. 注 如果上述極限過程是x&#

43、174;x0, 要求函數(shù)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義, 上述極限過程是x®¥, 要求函數(shù)當(dāng)|x|>M時(shí)有定義,準(zhǔn)則I 及準(zhǔn)則I¢ 稱為夾逼準(zhǔn)則.下面根據(jù)準(zhǔn)則I¢證明第一個(gè)重要極限:.證明 首先注意到, 函數(shù)對于一切x¹0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓,BCOA,DAOA. 圓心角ÐAOB=x (0<x<). 顯然 sin x=CB,x=,tan x=AD. 因?yàn)?SDAOB<S扇形AOB<SDAOD,所以sin x<x<tan x,即 sin x<x<tan x.不等號各

44、邊都除以sin x, 就有,或.注意此不等式當(dāng)-<x<0時(shí)也成立. 而, 根據(jù)準(zhǔn)則I¢,.簡要證明:參看附圖, 設(shè)圓心角ÐAOB=x (). 顯然BC<AB<AD, 因此 sin x<x<tan x,從而 (此不等式當(dāng)x<0時(shí)也成立).因?yàn)? 根據(jù)準(zhǔn)則I¢,. 應(yīng)注意的問題: 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有.這是因?yàn)? 令u=a(x), 則u®0, 于是.,(a(x)®0).例1.求.解:.例2. 求.解:=.準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列xn滿足條件x 1£x 2

45、3;x 3£×××£xn£xn+1£×××,就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的; 如果數(shù)列xn滿足條件x 1³x 2³x 3³××׳xn³xn+1³×××,就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列xn滿足條件xn£xn+1,nÎN+,在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時(shí)也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表

46、明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂.準(zhǔn)則II的幾何解釋:單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng), 或者無限向右移動(dòng), 或者無限趨近于某一定點(diǎn)A, 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生.根據(jù)準(zhǔn)則II,可以證明極限存在.設(shè),現(xiàn)證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 按牛頓二項(xiàng)公式, 有,.比較xn,xn+1的展開式, 可以看出除前兩項(xiàng)外,xn的每一項(xiàng)都小于xn+1的對應(yīng)項(xiàng), 并且xn+1還多了最后一項(xiàng), 其值大于0, 因此xn<xn+1,這就是說數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的. 因?yàn)閤n的展開式中各項(xiàng)括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替, 得.根據(jù)

47、準(zhǔn)則II,數(shù)列xn必有極限.這個(gè)極限我們用e來表示.即.我們還可以證明.e是個(gè)無理數(shù),它的值是e=2.×××.指數(shù)函數(shù)y=ex以及對數(shù)函數(shù)y=ln x中的底e就是這個(gè)常數(shù).在極限中,只要a(x)是無窮小, 就有.這是因?yàn)?令,則u®¥,于是.,(a(x)®0).例3.求.解:令t=-x,則x®¥時(shí),t®¥.于是.或 .§1. 8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性變量的增量:設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2,終值與初值的差u2-u1就叫做變量u的增量,記作Du,即Du=u2-u1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的.當(dāng)自變量x在這鄰域內(nèi)從x0變到x0