數(shù)學(xué)建模作業(yè)8

1、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上 機(jī)報(bào) 告課程名稱 數(shù)學(xué)建模 上機(jī)項(xiàng)目 牙膏的銷售量專業(yè)班級(jí) 一、 問(wèn)題提出某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷售部門(mén)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過(guò)去30個(gè)銷售周期（每個(gè)銷售周期為4周）公司生產(chǎn)的牙膏的銷售量、銷售價(jià)格、投入的廣告費(fèi)用，以及同期其它廠家生產(chǎn)的同類牙膏的市場(chǎng)平均銷售價(jià)格，見(jiàn)表1-1（其中價(jià)格差指其它廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差）。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙膏銷售量與其它因素的關(guān)系，為制訂價(jià)格策略和廣

2、告投入策略提供數(shù)量依據(jù)。表1 牙膏銷售量與銷售價(jià)格，廣告費(fèi)用等數(shù)據(jù)（其中價(jià)格差指其他廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差）銷售周期公司銷售價(jià)格/元其他廠家平均價(jià)格/元廣告費(fèi)用/百萬(wàn)元價(jià)格差/元銷售量/百萬(wàn)支12345678910111213141516171819202122232425262728293000根據(jù)牙膏銷售量與價(jià)格、廣告費(fèi)等表格1中的數(shù)據(jù)，建立三個(gè)模型，要求：1）畫(huà)出散點(diǎn)圖：y對(duì)x1的散點(diǎn)圖1；y對(duì)x2的散點(diǎn)圖2；2）確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）；3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）；4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）。二、問(wèn)題分析 由

3、于牙膏是生活必需品，對(duì)大多數(shù)顧客來(lái)說(shuō)，在購(gòu)買(mǎi)同類產(chǎn)品的牙膏時(shí)更多地會(huì)在意不同品牌之間的價(jià)格差異，而不是它們的價(jià)格本身，因此，在研究各個(gè)因素對(duì)銷售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷售價(jià)格和其他廠家平均價(jià)格更合適。三、模型假設(shè)記牙膏銷售量為y，其他廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差（價(jià)格差）為，公司投入的廣告費(fèi)用為，其他廠家平均價(jià)格和公司銷售價(jià)格分別為和，基于上面的分析，我們僅利用和來(lái)建立y的預(yù)測(cè)模型。四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程）（1）為了大致地分析y與和的關(guān)系，首先利用表一的數(shù)據(jù)分別作出y對(duì)和的散點(diǎn)圖y與x1的關(guān)系程序代碼：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15

4、 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;A=polyfit(x1,y,1)y1=polyval(A,

5、x1);plot(x1,y1,x1,y,'go')y 與x2的關(guān)系x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65

6、 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;A=polyfit(x2,y,2)x3=5.25:0.05:7.25;y2=polyval(A,x3);plot(x2,y,'go',x3,y2)圖1 y對(duì)x1的散點(diǎn)圖 圖2 y與x2的散點(diǎn)圖從圖1 可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，y的值有比較明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，圖中的直線是用線性模型 （1）擬合的（其中是隨機(jī)誤差），而在圖2中，當(dāng)增大時(shí)，y有向上彎曲增長(zhǎng)的趨勢(shì)，圖中的曲線是用二次函數(shù)模型 （2）擬合的。綜合上面的分析，結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型 (3)(3)式右端的和稱為回歸變量（

7、自變量），是給定價(jià)格差，廣告費(fèi)用時(shí)，牙膏銷售量y的平均值，其中的參數(shù)稱為回歸系數(shù)，由表1的數(shù)據(jù)估計(jì)，影響y的其他因素作用都包含在隨機(jī)誤差中，如果，模型選擇的合適，應(yīng)大致服從均值為0的正態(tài)分布。五、模型求解（2）確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）；程序代碼：x4=ones(30,1),x1,x2,x2.2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x4) b =bint =stats =得到模型（3）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信區(qū)間=0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果見(jiàn)表2參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間5.7282, 28.92060.6829, 1.9311 -7.4989

8、, 0.10770.0379, 0.6594 表2 模型（3）的計(jì)算結(jié)果結(jié)果分析：表2顯示，指因變量y（銷售量）的90.54%可由模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于，因而模型（3）從整體來(lái)看是可用的表2的回歸系數(shù)給出了模型（3）的，的估計(jì)值，即。檢查他們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，只有的置信區(qū)間包含零點(diǎn)（但區(qū)間右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近），表明回歸變量（對(duì)因變量y的影響）不是太顯著的，但由于是顯著的，我們?nèi)詫⒆兞勘Ａ粼谀Ｐ椭?。銷售量預(yù)測(cè)經(jīng)回歸系數(shù)的估計(jì)值代入模型（3），即可預(yù)測(cè)公司未來(lái)某個(gè)銷售周期牙膏的銷售量，將預(yù)測(cè)值記為，得到模型（3）的預(yù)測(cè)方程：= （4）只需知道該銷售周期的價(jià)格差和投入的廣告費(fèi)用，

9、就可以計(jì)算預(yù)測(cè)值。公司無(wú)法直接確定價(jià)格差，只能制定公司的牙膏銷售價(jià)格，但是其它廠家的平均價(jià)格一般可以通過(guò)根據(jù)市場(chǎng)情況及原材料的價(jià)格變化等估計(jì)。模型中用價(jià)格差做為回歸變量的好處在于公司可以更靈活地來(lái)預(yù)測(cè)產(chǎn)品的銷售量或市場(chǎng)需求量，因?yàn)槠渌鼜S家的平均價(jià)格不是公司所能控制的。預(yù)測(cè)時(shí)只要調(diào)整公司的牙膏銷售價(jià)格達(dá)到設(shè)定的回歸變量?jī)r(jià)格差的值。回歸模型的一個(gè)重要應(yīng)用是，對(duì)于給定的回歸變量的取值，可以以一定的置信度預(yù)測(cè)因變量的取值范圍，即預(yù)測(cè)區(qū)間。模型改進(jìn)模型（3）中回歸變量，對(duì)因變量的影響是相互獨(dú)立的，即牙膏銷售量的均值和廣告費(fèi)用的二次關(guān)系由回歸系數(shù)，確定，而不依賴與價(jià)格差，同樣，的均值與的線性關(guān)系由回歸系數(shù)

10、確定，不依賴于。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可參想，和之間的交互作用會(huì)對(duì)有影響，簡(jiǎn)單的用，的乘積代表他們的交互作用，將模型（3）增加一項(xiàng)，得到： （5）在這個(gè)模型中，的均值與的二次關(guān)系為，由系數(shù)，確定，并依賴與價(jià)格差。（3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）；程序代碼：x5=ones(30,1),x1,x2,x2.2,x1.*x2; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x5)b =bint =stats =下面讓我們用表1的數(shù)據(jù)估計(jì)模型（5）的系數(shù)。利用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱得到的結(jié)果見(jiàn)表3.驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，S2的結(jié)果見(jiàn)下表參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間13.7013,44.

11、52521.9778,20.2906-12.6932,-2.52280.2538,1.0887-2.8518.-0.1037 表 3表3與表2的結(jié)果相比，R2有所提高，說(shuō)明模型（5）比模型（3）有所改進(jìn)，相信模型（5）更符合實(shí)際。用模型（5）對(duì)公司的牙膏銷售量做預(yù)測(cè)，仍設(shè)在某個(gè)銷售周期中，維持產(chǎn)品的價(jià)格差X1=0.2元，并投入X2=6.5百萬(wàn)元的廣告費(fèi)用，則該周期牙膏銷售量y的估計(jì)值為0 +1x1 +2x2+3x22 +4x1x2 =29.1133 + 11.134 ×0.2 ×6.5 + 0.6712 ×2 -1.4777 ×0.2 ×6.5

12、 =8.3253百萬(wàn)支，置信度為95%的預(yù)測(cè)空間為7.8953,8.7592，與模型（3）的結(jié)果相比，略有增加，而預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度短些?？梢钥闯?，交互作用項(xiàng)加入模型，對(duì)與的關(guān)系稍有影響，而與 的關(guān)系有較大變化，當(dāng)< 6時(shí)出現(xiàn)下降， > 6以后上升則快得多。進(jìn)一步討論： 為了解和之間的相互作用，考察模型（5）的預(yù)測(cè)方程2 （6）如果取價(jià)格差 =0.1元，代入（6）可得2 （7）再取 =0.3元，代入（6）可得2 （8）它們均為的二次函數(shù)，其圖形見(jiàn)圖7，且=0.3 -=（9）由（9）式可得，當(dāng)< 7.5360時(shí)，總有=0.3 > ，也就是說(shuō)，這時(shí)的價(jià)格優(yōu)勢(shì)會(huì)使銷售量增加。完全二

13、次多項(xiàng)式模型 y =0 +1 +2 +3 +42 +5 2+ (10)（4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）。程序代碼：x1=-0.05;0.25;0.60;0;0.25;0.20;0.15;0.05;-0.15;0.15;0.20;0.10;0.40;0.45;0.35;0.30;0.50;0.50;0.40;-0.05;-0.05;-0.10;0.20;0.10;0.50;0.60;-0.05;0;0.05;0.55;x2=5.50;6.75;7.25;5.50;7.00;6.50;6.75;5.25;5.25;6.00;6.50;6.25;7.00;6.90;6.80;6.80;7.10;7.00;6.80;6.50;6.25;6.00;6.50;7.00;6.80;6.80;6.50;5.75;5.80;6.80; xtu8=x1,x2;y=7.38;8.51;9.52;7.50;9.33;8.28;8.75;7.87;7.10;8.00;7.89;8.15;9.10;8.86;8.90;8.87;9.26;9.00;8.75;7.95;7.65;7.27;8.00;8.50;8.75;9.21;8.27;7.67