正項級數(shù)斂散性的判別方法

1、初等數(shù)學(xué)中，我們研究有限個實數(shù)相加，其結(jié)果是一個實數(shù)，如果延伸至無限個實數(shù)相加（無窮級數(shù)），其和是否存在？由于在實際應(yīng)用中，往往是在給定的誤差范圍內(nèi)，用部分和代替級數(shù)的和，因此判斷級數(shù)的斂散性是要著力解決的問題.但用級數(shù)收斂、發(fā)散的定義來判別級數(shù)斂散性是十分困難的，因此有必要尋找判別級數(shù)斂散性的簡單有效的方法.本文討論正項級數(shù)的斂散性問題，并在教材的基礎(chǔ)上加以進(jìn)一步的研究.判斷正項級數(shù)的斂散性的主要方法有：定義法、比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法以及積分判別法六種方法.本文給出了這六種方法的證明.定義法是正項級數(shù)斂散性的基本判別法則；比較判別法常用幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、P級數(shù)作為與

2、其它級數(shù)相比較的標(biāo)準(zhǔn)；比式判別法與根式判別法都是基于把正項級數(shù)與等比級數(shù)比較而得到的；拉貝判別法補(bǔ)充了比式與根式判別法的不足，但仍有其局限性；積分判別法有兩種證明方法，一種放入無窮級數(shù)里處理，另一種放入定積分中處理，同時給出這種判別法的一個推廣.另外，我們采用四種不同的方法討論了P級數(shù)的斂散性：一是利用P級數(shù)的部分和是否有界來判別的，此法較為簡單、直觀；二是利用比較判別法來判別的，需要參照物作為比較，從而根據(jù)參照物的斂散性來判定P級數(shù)的斂散性；三是利用積分判別法來判別的，需要微積分作為工具；四是利用積分判別法的推廣來判別的，該推廣比積分判別法有著更廣泛的應(yīng)用.正項級數(shù)斂散性的判別法設(shè)，則稱級數(shù)

3、單調(diào)遞增，而單調(diào)遞增數(shù)列收斂的充分必要條件是該數(shù)列有上界，這一點正是正項級數(shù)收斂判別法的基礎(chǔ).其常用的性質(zhì)是：（1）若級數(shù)收斂于，常數(shù)，則級數(shù)收斂于.（2）如果級數(shù)發(fā)散，常數(shù)，則級數(shù)發(fā)散.（3）添加或去掉有限項不改變級數(shù)的斂散性.（4）級數(shù)收斂的必要條件：.下面著重討論正項級數(shù)斂散性的判別法.一 定義法定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.證明 如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列有界，即存在正數(shù)，使，又單調(diào)增加，由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知，必有極限：，從而級數(shù)收斂且其和為. 反之，如果正項級數(shù)收斂于和，即有，由收斂數(shù)列必有界的性質(zhì)知，級數(shù)的部分和數(shù)列有界.例1.1 級數(shù)的部分和為

4、就三種情況分別加以討論.命題1 當(dāng)時，有界.證明 由實數(shù)的性質(zhì)，當(dāng) 時，一定存在兩個正整數(shù)、，且使得：，于是對于正整數(shù)，有因此，對任何正整數(shù)，有即有界.命題2 當(dāng)時，無界.證明 由實數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，一定存在兩個正整數(shù)、，且，使得，于是對于正整數(shù)，有因此，對于任何正整數(shù)，有這樣，當(dāng)時，即無界.命題3 當(dāng)時，無界.（此時級數(shù)為調(diào)和級數(shù)）.證明 對于任意正整數(shù)、，有由于上式對任意大的正整數(shù)都成立，所以于是，對任何正整數(shù)，有這樣，當(dāng)時，即無界.有了以上三個結(jié)論，再由正項級數(shù)收斂與發(fā)散的充要條件，立即得到：當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)收斂.二 比較判別法定理2 設(shè)和是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)，對一切都

5、有：，那么（1） 若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（2） 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.證明 （1）由于級數(shù)前加上或去掉有限項不改變其斂散性，因此不妨設(shè)對一切自然數(shù)都有成立。令，則有.若收斂，其和為，則。即有界，由定理1，收斂。（1）成立；（2）為（1）的逆否命題，自然成立.推論2.1 設(shè)和是兩個正項級數(shù)，（1）若存在一個與無關(guān)的正常數(shù)，使當(dāng)（固定），有，則從級數(shù)收斂可以斷定收斂.（2）若當(dāng)（固定）時，都有，是一個與無關(guān)的常數(shù)，則從級數(shù)發(fā)散，可以斷定級數(shù)發(fā)散.（3）若，使當(dāng)時，有，則（）由收斂收斂； （）由發(fā)散發(fā)散.證明 （1）由收斂，可知（為正常數(shù)）也收斂.當(dāng)（固定）時，有，由比較判別法知也收斂.（2

6、）由級數(shù)發(fā)散，可知（為正常數(shù)）也發(fā)散，當(dāng)（固定）時，由比較判別法知也發(fā)散.（3）當(dāng)時，從而對，有,故 （）.由于是常數(shù)，故當(dāng)收斂時收斂，當(dāng)發(fā)散時也發(fā)散.推論2.2（比較判別法的極限形式） 設(shè)和是兩個正項級數(shù)，若，則（1）當(dāng)時，級數(shù)和同時收斂或發(fā)散；（2）當(dāng)且級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂；（3）當(dāng)且級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散.證明 （1）當(dāng)時，由，對，存在某正數(shù)，當(dāng)時，恒有 或 ， 由推論2.1中（1）（2）可知，當(dāng)時，級數(shù)和同時收斂或發(fā)散。（1）得證. （2） 當(dāng)時，由可知，當(dāng)時,有，即.于是若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂.（3）若，由可知對給定的正數(shù)，存在相應(yīng)的正整數(shù)，當(dāng)時，有或，于是由比較判別法知，若級數(shù)

7、發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散. 討論級數(shù) 的斂散性. 解 設(shè)，這時級數(shù)的各項不小于調(diào)和級數(shù)的對應(yīng)項：，但調(diào)和級數(shù)發(fā)散，因此，根據(jù)定理2知，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.設(shè)，因為當(dāng)時，有，所以考慮級數(shù)，其部分和因 ,故級數(shù)收斂，從而，由定理2知級數(shù):當(dāng)時收斂.綜合上述結(jié)果，我們得到：級數(shù):當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散.例2.2 判斷 的斂散性.解 設(shè) , 則.與具有相同的斂散性，因為收斂，所以收斂.三 比式判別法 定理3 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某自然數(shù)及常數(shù)，（1）若對一切，不等式成立，則級數(shù)收斂；（2）若對一切，不等式成立，則級數(shù)發(fā)散.證明 （1）由已知，當(dāng)時，而，由于當(dāng)時，幾何級數(shù)收斂，根據(jù)定理2可推得級數(shù)收斂.（2）由已知，

8、當(dāng)時，。于是當(dāng)時，的極限不可能為零，所以級數(shù)發(fā)散.推論3.1（比式判別法的極限形式） 若為正項級數(shù)，且，則（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)或時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明 由，對適當(dāng)小的，當(dāng)時，有.（1）當(dāng)時，取使，于是由及定理3的(1)，推得級數(shù)收斂.（2）若，則取使，由及定理3的（2）推得級數(shù)發(fā)散。若，則，當(dāng)時，有，此時級數(shù)也是發(fā)散的.（3）例如級數(shù)和，它們的比式極限都是，但是收斂的，而卻是發(fā)散的. 討論的斂散性.解 設(shè)，則由比式判別法知級數(shù)收斂.四 根式判別法定理4 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，（1）若對一切，不等式成立，則級數(shù)收斂；（2）若對一切，不等式

9、成立，則級數(shù)發(fā)散.證明 （1）由已知，當(dāng)時，有，因為幾何級數(shù)，當(dāng)時收斂，故由比較判別法，這時級數(shù)也收斂.（2）由已知可推得，當(dāng)時，顯然的極限不可能為零。因而由級數(shù)收斂的必要條件知，級數(shù)是發(fā)散的.推論4.1（根式判別法的極限形式） 設(shè)為正項級數(shù)，且，則（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明 （1）由，對適當(dāng)小的，存在某正數(shù)，對一切，有，即，而等比級數(shù)收斂（公比），所以收斂. （2）當(dāng)時，取適當(dāng)小的，則存在，當(dāng)時，即 ，不趨于零，級數(shù)發(fā)散. （3）當(dāng)時，根式判別法無法對級數(shù)的斂散性作出判斷，對此，也可考察級數(shù)和，它們都有，但是收斂的，而卻是發(fā)散的.例4

10、.1 判別的斂散性.解 設(shè) ，則根據(jù)推論4.1知原級數(shù)收斂.五 拉貝判別法定理5 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，（1）若對一切，不等式成立，則級數(shù)收斂；（2）若對一切，不等式成立，則級數(shù)發(fā)散.證明 （1） 若對一切，有或，現(xiàn)在我們?nèi)∪我庖粩?shù)，使.因為，令 ，則和是等價的.即 ，于是對于充分大的有 或 ，所以 ，這個不等式也可寫成 ，右邊我們有收斂級數(shù)的兩個相鄰項之比，應(yīng)用比較判別法，級數(shù)收斂. （2）若對一切，成立，則由此立即可得,右邊我們有發(fā)散級數(shù)的兩個相鄰項之比，應(yīng)用比較判別法，級數(shù)發(fā)散. 推論5.1（拉貝判別法的極限形式） 設(shè)為正項級數(shù)，且存在，則 （1） 當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）

11、當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（3） 當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 討論級數(shù)，當(dāng)時的斂散性.解 設(shè)，無論哪一個值，的比式極限都有，所以用比式判別法無法判別的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來討論.當(dāng)時，由于，所以級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時，由于，這時拉貝判別法也無法對級數(shù)作出判斷.當(dāng)時，由于，所以級數(shù)收斂.六 積分判別法定理6 若遞減函數(shù)在上非負(fù)，則級數(shù)與數(shù)列在時，同時收斂或同時發(fā)散. 積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以非正常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性.下面我們給出這個判別法的兩種證明，同時給出其推廣.為此，我們需要以下幾個引理：引理6.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，若函數(shù)在上有上界，則積分收斂. 已

12、知數(shù)列、，且數(shù)列收斂，若數(shù)列與與其中有一個發(fā)散，則另一個必發(fā)散. 證明 （反證法） 假設(shè)數(shù)列收斂，數(shù)列發(fā)散，則數(shù)列發(fā)散，這與已知數(shù)列與其中有一個收斂，則另一個必收斂.同理，若數(shù)列與其中有一個發(fā)散，則另一個必發(fā)散.引理6.3 若在遞減，則. 證明 若 ， ，則有，因此，若在遞減，則.定理6的證明方法1 利用無窮級數(shù)證明定理6.證明 由假設(shè)為上非負(fù)遞減函數(shù)，對任何正數(shù)，在上可積，從而由引理6.3，依次相加可得，.若非正常積分收斂，則由上式左端可知，對任何自然數(shù)，正項級數(shù)的前項部分和為.根據(jù)定理1，級數(shù)收斂. 反之，若級數(shù)為收斂級數(shù)，設(shè)其和為，則對任一自然數(shù)，有，因為為非負(fù)遞減函數(shù)，所以單調(diào)遞增且有

13、上界，由引理6.1，收斂.因此，與同時收斂或同時發(fā)散.方法2 利用定積分證明定理6.證明 作數(shù)列 ，若能證明 收斂（），則由引理6.2知，積分判別法成立.為此，（1）首先證明（遞減）.由故成立.（2）次證（有下界）.由于，知，從而，又，于是，（據(jù)遞減與引理6.3），故成立.綜合（1）與（2）可知單調(diào)遞減有下界，所以收斂.例6.1 討論級數(shù)的斂散性.解 函數(shù)，當(dāng)時在上為非負(fù)遞減函數(shù)，首先討論非正常積分故知非正常積分，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.因此由積分判別法得：級數(shù)，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.附注 級數(shù)常用來作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，來判別級數(shù)的斂散性。下面的級數(shù)也是重要的，可通過與它比較來判別某些級數(shù)的斂散性. 證

14、明級數(shù)，當(dāng)時收斂，當(dāng)?shù)臄可⑿?解 類似于級數(shù)收斂性的討論方法，取，則單調(diào)遞減，且 所以，當(dāng)時，存在，級數(shù)時，級數(shù)發(fā)散.由于 ，所以級數(shù)發(fā)散. 仔細(xì)觀察定理6的證明過程，我們可以得到一個新的結(jié)論，它是積分判別法的推廣.定理6(推廣的積分判別法) 設(shè)在上遞減，且，則數(shù)列收斂.證明 重復(fù)定理6中方法2的證明過程即可獲證.在定理6的條件下，我們有下列推論：推論6.1 ，且.證明 由定理6中方法2的證明可知單調(diào)遞減，且對一切，故，由極限不等式性質(zhì)，有.推論6.2 若記，則，于是有（1） ；（2） .推論6.3：（正項級數(shù)的積分判別法）存在的充要條件是存在，即 收斂收斂.證明 先證收斂收斂.由推論6.2中

15、（2）和收斂知收斂.同理可證得：收斂收斂.推論6.4 其中.推論6.5（正項級數(shù)的積分判別法）收斂收斂.附注 （1）積分判別法是定理6的特殊情況.（2）定理6有明顯的幾何意義：假設(shè)在其面積存在的前提下，那么可以認(rèn)為分別以高寬為1的諸矩形面積之和在時與曲邊梯形面積在時兩者之差位于區(qū)間之中，當(dāng)時，曲邊梯形面積與矩形面積之和兩者趨于相等.（3）如果將定理6中的所滿足的條件改為：在上嚴(yán)格遞減，且，則上述的結(jié)論依舊成立，但其中的范圍為； 存在了自然數(shù)，使得（4）若在（，且為自然數(shù)）上嚴(yán)格遞減，且，充分大時，則；.例6.1 證明在時發(fā)散，在時收斂.證明 設(shè)， ，由定理6得，數(shù)列，所以當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)時， 收

16、斂.因為數(shù)列收斂，所以，當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)時，收斂,其中.故結(jié)論成立.例6.2 證明級數(shù)，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.證明 設(shè)在上嚴(yán)格遞減，且，（），由定理6得數(shù)列所以，當(dāng)時，存在，即 收斂； 當(dāng)時，即發(fā)散；又?jǐn)?shù)列收斂，所以結(jié)論成立.除了級數(shù)方面的應(yīng)用，定理6還有其它方面的應(yīng)用.例6.3 試證存在.證明 取，則在上非負(fù)遞減，滿足定理6的條件，且，即，由定理6知數(shù)列收斂，即存在.例6.4 ，其中當(dāng)時，為歐拉常數(shù)，即.證明 取例6.3中的則，.故由推論6.2中(2)和附注(3)中知：，的范圍為，且，于是由例6.3知，由此本題得證.例6.5.證明 由例6.4知本例成立.例6.6 設(shè)，則，其中：.證明 取例6.1

17、中的，根據(jù)定理6知本例成立.正項級數(shù)斂散性的六種判別法各有優(yōu)缺點，利用定理1判定正項級數(shù)的斂散性，會遇到與利用定義判定級數(shù)的斂散性同樣的困難，即都要先求出部分和，故應(yīng)用仍然不方便.使用比較判別法時，需要尋找一個已知斂散性的級數(shù)來進(jìn)行不等式比較，在一般項比較復(fù)雜時，使用起來就不大方便，因此，實用上常采用它的極限形式.比式、根式判別法最大的優(yōu)點是無須找其它的級數(shù)來比較，但當(dāng)或時，這兩種方法都失效.比式判別法與根式判別法是基于把所要判別的級數(shù)與某一幾何級數(shù)相比較的想法而得到的，也就是說，只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一幾何級數(shù)通項的收斂速度快的級數(shù)，這兩種方法才能鑒定出它的斂散性.如果級數(shù)的通項收斂于零的速度較慢，它們就無能為力了.拉貝判別法解決了這一問題，但當(dāng)中的例題中不難發(fā)現(xiàn)凡是利用級數(shù)的積