新課標(biāo)人教A版數(shù)學(xué)選修22全套教案

1、§1變化率問題教學(xué)目標(biāo)：1理解平均變化率的概念；2了解平均變化率的幾何意義；3會求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率；教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：一、已知物體運(yùn)動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般

2、、最有效的工具。導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度二新課講授（一）問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ，1 當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了hto 氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹

3、率是多少?問題2 高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-t2t+10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?思考計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，雖然運(yùn)動員在這段時間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動員仍然運(yùn)動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)（二）平均變化率

4、概念:1上述問題中的變化率可用式子 表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2若設(shè), (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直線AB的斜率x= x2-x1x2x1xO三典例分析例1已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則解：，例2 求在附近的平均變化率。解：，所以所以在附近的平均變化率為四課堂練習(xí)1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為，則在時間中相應(yīng)的平均速度為s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3

5、上兩點(diǎn)P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當(dāng)x=0.1時割線的斜率.五回顧總結(jié)1平均變化率的概念2函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率六布置作業(yè)§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；3會求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景（一）平均變化率（二）探究：計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t

6、2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，hto 所以，雖然運(yùn)動員在這段時間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動員仍然運(yùn)動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)二新課講授1瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運(yùn)動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運(yùn)動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況：思考：當(dāng)趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？結(jié)論：當(dāng)趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運(yùn)動員在時的瞬時速度是為了表

7、述方便，我們用表示“當(dāng)，趨近于0時，平均速度趨近于定值”小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2 導(dǎo)數(shù)的概念從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即說明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當(dāng)時，所以三典例分析例1（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求解：法一 定義法（略） 法二：（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解：例2（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種

8、不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，所以同理可得:在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況四課堂練習(xí)1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時速度為2求曲線y=f(x)=x3在時的導(dǎo)數(shù)3例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義五回顧總結(jié)1瞬時速度、瞬時變化率的概念2導(dǎo)數(shù)的概念六布置作業(yè)§1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何

9、意義教學(xué)目標(biāo)：1了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；2理解曲線的切線的概念；3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景（一）平均變化率、割線的斜率（二）瞬時速度、導(dǎo)數(shù)我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？二新課講授（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位

10、置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多個.（二）導(dǎo)數(shù)的

11、幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線方程.（二）導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時, 是一個確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即:注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)（三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。(2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意

12、點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因?yàn)樗?，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解：例2（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、附近的變化情況解：我們用曲線在、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的

13、變化情況（1） 當(dāng)時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降（2） 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減（3） 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢例3（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變化的圖象根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率如圖3.1-

14、4，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如，則它的斜率為：所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：藥物濃度瞬時變化率0-四課堂練習(xí)1求曲線y=f(x)=x3在點(diǎn)處的切線；2求曲線在點(diǎn)處的切線五回顧總結(jié)1曲線的切線及切線的斜率；2導(dǎo)數(shù)的幾何意義六布置作業(yè)§1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式；2掌握并能運(yùn)用這四個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：四種常見函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：四種常見函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景我們知道，

15、導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度那么，對于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二新課講授1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖3.2-2

16、）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運(yùn)動3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點(diǎn)處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時變化率來看，表明：當(dāng)時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當(dāng)時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動，它在時刻的瞬時速度為4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)5函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)導(dǎo)數(shù)（2）推廣：若，則三課堂練習(xí)1課本P13探究12課本P13探究2四回顧總結(jié)函數(shù)導(dǎo)數(shù)五布置作業(yè)§1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

17、及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則教學(xué)目標(biāo)：1熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；2掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景五種常見函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)二新課講授（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)（二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則123（2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）三典例分析例1假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價假定某種

18、商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）解：（1），。（2）（3）（4），。（5）（6），。（7）?！军c(diǎn)評】 求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實(shí)行的 求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細(xì)心、耐心例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費(fèi)用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化

19、費(fèi)用的瞬時變化率：（1） （2）解：凈化費(fèi)用的瞬時變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） 因?yàn)?，所以，純凈度為時，費(fèi)用的瞬時變化率是52.84元/噸（2） 因?yàn)?，所以，純凈度為時，費(fèi)用的瞬時變化率是1321元/噸 函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢由上述計算可知，它表示純凈度為左右時凈化費(fèi)用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費(fèi)用的瞬時變化率的25倍這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快四課堂練習(xí)1課本P92練習(xí)2已知曲線C：y3 x42 x39 x24，求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程；（y12 x8）五回顧總結(jié)（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

20、表（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則六布置作業(yè)§1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo) 理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積教學(xué)難點(diǎn)正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確一創(chuàng)設(shè)情景（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)（二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則123（2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）二新課講授復(fù)合函數(shù)的概念 一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即

21、對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積若，則三典例分析例1（課本例4）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）（其中均為常數(shù)） 解：（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=。（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=。（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=。例2求的導(dǎo)數(shù)解：【點(diǎn)評】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果例3求的導(dǎo)數(shù)解：，【點(diǎn)評】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理例4求ysin4xcos4x的導(dǎo)

22、數(shù)【解法一】ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4x【解法二】y(sin4x)(cos4x)4 sin3x(sin x)4 cos3x (cos x)4 sin3x cos x4 cos3x (sin x)4 sin x cosx(sin2xcos2x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【點(diǎn)評】解法一是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步例5曲線yx（x1）（2x）有兩條平行于直線yx的切線，求此二切線之間的距離【解】yx3 x2 2 xy3

23、 x22 x2令y1即3 x22 x10，解得 x或x1于是切點(diǎn)為P（1，2），Q（，），過點(diǎn)P的切線方程為，y2x1即 xy10顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)Q 到此切線的距離，故所求距離為四課堂練習(xí)1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) y=sinx3+sin33x；（2）;(3)的導(dǎo)數(shù)五回顧總結(jié)六布置作業(yè)§1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時）教學(xué)目標(biāo)：1了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單

24、調(diào)區(qū)間教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用二新課講授 1問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運(yùn)動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1） 運(yùn)動員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)

25、相應(yīng)地，（2） 從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)相應(yīng)地，2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間

26、；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間三典例分析例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)時，；當(dāng)，或時，；當(dāng)，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀解：當(dāng)時，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，或時，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因?yàn)椋?，因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示（2）因?yàn)?，所以?當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示（3）因?yàn)?，所以，因此，函?shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所

27、示（4）因?yàn)椋援?dāng)，即時，函數(shù)；當(dāng)，即時，函數(shù)；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生練例3如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上，（A）符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況 解：思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那

28、么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”例4求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)證明：因?yàn)楫?dāng)即時，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)例5已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實(shí)數(shù)的取值范圍為說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解

29、，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解例6已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：y=(x+)=11·x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(1，0)和(0，1)四課堂練習(xí)1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx,x4.y=xlnx2課本 練習(xí)五回顧總結(jié)（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性六布置作業(yè)§1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（2課時）教學(xué)目標(biāo)：1.理解極大值、極小值的概念；2

30、.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟；教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.教學(xué)難點(diǎn)：對極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時，高臺跳水運(yùn)動員距水面高度最大那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9可以看出；在，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有對于一般的函數(shù)，是否也

31、有這樣的性質(zhì)呢？附：對極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號二新課講授 1問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運(yùn)動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（3） 運(yùn)動員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)相應(yīng)地，（4） 從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函

32、數(shù)相應(yīng)地，2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間三典例分析例1（課本例4）求的極

33、值解：因?yàn)椋?。下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)>0,即，或時；（2）當(dāng)<0,即時.當(dāng)x變化時， ，的變化情況如下表：-2(-2,2)2+00+極大值極小值因此，當(dāng)時，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時，有極小值，并且極小值為。函數(shù)的圖像如圖所示。例2求y=(x21)3+1的極值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+無極值極小值0無極值當(dāng)x=0時，y有極小值且y極小值=01.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)

34、f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小（）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值

35、，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>（）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)(2)求方程f(x)=0的根f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根

36、處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個根處無極值如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 四、鞏固練習(xí)：1求下列函數(shù)的極值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表.0+極小值當(dāng)x=時，y有極小值，且y極小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表.-3(-3,3)3+00+極大值54極小值-54當(dāng)x=3時，y有極大值，且y極大值=54.當(dāng)x=3時，y有極小

37、值，且y極小值=54五、教學(xué)反思 ：f(x六、課后作業(yè)：書本P 34 3 . 4 . 5§1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時）教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點(diǎn)（包括端點(diǎn)）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn)，那么在點(diǎn)附近找不到比更大（?。?/p>

38、的值但是，在解決實(shí)際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小如果是函數(shù)的最大（小）值，那么不小（大）于函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值二新課講授觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象圖中與是極小值，是極大值函數(shù)在上的最大值是，最小值是1結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值說明：如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)（可以不給學(xué)生講）給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間

39、斷，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件（可以不給學(xué)生講）2“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對性從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只

40、要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值三典例分析例1（課本例5）求在的最大值與最小值解：由例4可知，在上，當(dāng)時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗(yàn)證例2求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值解：先求導(dǎo)數(shù)，得令0即解得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以及，如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/000y1345413從上表知，當(dāng)時，函

41、數(shù)有最大值13，當(dāng)時，函數(shù)有最小值4例3已知,(0,+).是否存在實(shí)數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.解：設(shè)g(x)=f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù). 解得經(jīng)檢驗(yàn)，a=1,b=1時，f(x)滿足題設(shè)的兩個條件.四課堂練習(xí)1下列說法正確的是( )A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M，最小值

42、是m,若M=m,則f(x)( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3函數(shù)y=，在1，1上的最小值為( )A.0B.2 C.1D.4求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值5課本 練習(xí)五回顧總結(jié)1函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)；2函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法六布置作業(yè)§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時）教學(xué)目標(biāo)：1 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體

43、會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用2 提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變

44、量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三典例分析例1海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。?解：設(shè)版心的高為xdm

45、，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為。 求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當(dāng)時，<0；當(dāng)時，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大

46、半徑為 6cm問題：（）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是令 解得 （舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值（2）半徑為cm時，利潤最大換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時，利潤才為正值當(dāng)時，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑

47、小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小例3磁盤的最大存儲量問題計算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域（1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？（

48、2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲量× （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大（2）為求的最大值，計算令，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例4汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單

49、位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖

50、所示的函數(shù)關(guān)系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題 解：因?yàn)?這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值從圖象上看，表示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為L_x_x_60_60xx例5在邊長為60 cm的正方形鐵

51、片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。拷猓涸O(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，從而h=2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，