齒輪減速器系統(tǒng)可變固有特性動力學(xué)研究

1、收稿日期:1999209228;修訂日期:2000202225基金項目:航空科學(xué)基金資助項目文章網(wǎng)址:h ttp : www .hkxb .net .cn hkxb2001 01 0064 文章編號:100026893(20010120064205齒輪減速器系統(tǒng)可變固有特性動力學(xué)研究邵忍平,沈允文,孫進(jìn)才(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程系,陜西西安710072DY NAM I C ANALY SIS OF VAR I AB L E NATURAL CHARACTER IST I C FOR GEAR D ECEL ERAT ORSHAO R en 2p ing ,SH EN Yun 2w en ,SU

2、N J in 2cai(D epartm en t of M echan ical Engineering ,N o rthw estern Po lytechn ical U n iversity ,X i an 710072,Ch ina 摘要:考慮到齒輪傳動嚙合剛度的波動和傳動誤差的影響以及軸承支撐剛度的作用,對二級齒輪減速器傳動系統(tǒng)進(jìn)行了理論建模和動態(tài)響應(yīng)分析,并與實驗結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明,齒輪傳動在單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)之間嚙合剛度變化較大;減速器系統(tǒng)的動態(tài)特性(固有頻率、固有振型、阻尼等隨嚙合周期而發(fā)生變化,呈現(xiàn)出一種可變的動態(tài)固有特性。故對于系統(tǒng)進(jìn)行研究時,可分別按單齒區(qū)和雙

3、齒區(qū)平均嚙合剛度進(jìn)行分析,一般可以滿足實際工程要求。關(guān)鍵詞:齒輪減速器;時變嚙合剛度;傳動誤差;軸承剛度;動態(tài)固有特性;動力學(xué)分析中圖分類號:TH 11311文獻(xiàn)標(biāo)識碼:AAbstract :A gear decelerato r is a comp lex elastic system w ith m u lti p le tran s m issi on .Its dynam ic characteristic appears as non linear varying phenom ena becau se of the non linear influence of gear m es

4、h ing stiffness and tran s m issi on erro r as w ell as the non linear acti on of bearing suppo rting stiffness.T he system stiffness w as analyzed al w ays by a fixed 2con stan t m ethod ;in fact ,it did no t acco rd w ith the p ractice of engineering .In th is paper ,the fluctuati on of gear m esh

5、 ing stiffness ,the influence of tran s m issi on erro r ,and the acti on of bearing suppo rting stiffness are con sidered all together .A nd the theo retic modeling and dynam ic respon se analysis are done fo r the tran s m issi on system w ith b i 2grade taper cylinder gears.T he non linear term s

6、 of the tran s m issi on erro r are dealt w ith the m ethod of Fou rier series expan si on .Fu rthermo re ,the theo retic analysis is compared w ith the experi m en tal resu lts.It is show n that the m esh ing stiffness of gear tran s m issi on varies eviden tlybetw een the single 2too thed m esh in

7、g zone and doub le 2too thed m esh ing zone ,bu t it varies slow ly in the sam e m esh ing zone .T he dynam ic characteristics of the decelerato r ,i .e .the natu ral frequency ,the mode shape and so on ,vary w ith m esh ing peri od .It appears to be a variab le natu ral characteristic.T herefo re ,

8、the m u lti p le gear tran s m issi on system shall be analyzed acco rding to the m ean m esh ing stiffness of the single 2too thed m esh ing zone and doub le 2too thed m esh ing zone respectively ,and in do ing so ,it m ay m eet the requ irem en ts of engineering .Key words :gear decelerato r ;m es

9、h ing stiffness ;tran s m issi on erro r ;bearing stiffness ;dynam ic natu ral characteristic ;dynam ic analysis齒輪減速器是具有多級傳動的復(fù)雜彈性系統(tǒng),由于其傳動路線較長,組成的環(huán)節(jié)較多,加之齒輪嚙合時的時變剛度和加工誤差隨嚙合位置不同的非線性影響以及軸承隨載荷等不同的非線性支承剛度的作用,使系統(tǒng)的動態(tài)特性呈現(xiàn)非線性變化趨勢。因此用以往的定常分析方法來研究1,是不符合工程情況的。本文將齒輪嚙合剛度按時變情況來處理,將非線性傳動誤差,按照Fou rier級數(shù)展開,并考慮了軸承支承剛度的

10、影響,建立了減速器系統(tǒng)動力學(xué)模型并進(jìn)行了動力學(xué)分析,計算了系統(tǒng)的固有特性并與實驗進(jìn)行了對比。1理論建模和動態(tài)響應(yīng)分析齒輪減速器一般具有多級齒輪傳動,現(xiàn)以二級齒輪傳動系統(tǒng)為例進(jìn)行研究。圖1為二級圓錐圓柱齒輪減速器,輸入扭矩T 1,輸出扭矩T 2。設(shè)各質(zhì)量原件的位移分別為i (i =1,5,z 1,y i (i =1,6,x i (i =3,6,各齒輪對的傳動誤差為e i 1和e i 2,各齒輪的基圓半徑為r b i第22卷第1期2001年1月航空學(xué)報A CTA A ERONAU T I CA ET A STRONAU T I CA S I N I CA V o l .22N o.1Jan .20

11、01 圖1齒輪減速器簡圖F ig .1D ynam ic model of decelerato r(i =2,5。考慮到時變嚙合剛度K t1, K t2(隨時間和嚙合位置不同而變化和傳動誤差e i 1,e i 2(隨嚙合位置不同而發(fā)生變化影響后,根據(jù)力學(xué)原理,可建立起下列振動微分方程M x+Cx +K (t x =F (t (1其中:M 為質(zhì)量矩陣M =diag I 1,I 2,I 3,I 4,I 5,m 2,m 2,m 3,m 3,m 4,m 4,m 5,m 5x =12345z 1y 1y 3x 3y 4x 4y 6x 6TF (t =T 1,r b26ni =1K i 1e i 1,-

12、r b36ni =1K i 1e i 1,r b46Ni =1K i 2e i 2,-r b56Ni =1K i 2e i 2,-T 2,6ni =1K i 1e i 1,0,-6ni =1K i 1e i 1,0,6Ni =1K i 2e i 2,0,-6Ni =1K i 2e i 2,0TK i 1和K i 2(i =1,2分別為第1級和第2級齒輪副嚙合剛度離散值,i =1為雙齒嚙合剛度,i =2為單齒嚙合剛度;n 和N 分別為同時嚙合的齒對數(shù)(n =2,N =2;C 為阻尼矩陣,為13階帶狀矩陣;由于嚙合剛度K t 是時間的周期函數(shù)2,在一個嚙合周期內(nèi)隨嚙合位置不同而發(fā)生變化,故將其分成

13、為定常部分K 和波動部分K 來處理即K t1=K 1+K 1(t ,K t2=K 2+K 2(t ,K (t =K +K (t K (t =K 11K 12K 13K 14K 21K 22K 23K 24K 31K 32K 33K 34K 41K 42K 43K 4413×13其中:K 11=-K 1-K 10-K 1K 1+K t1r 2b2-K t1r b3r b2-K t1r b2r b3K 2+K t1r 2b3K 12=0000K t1r b2-K 20-K t1r b3K 13=000-K t1r b200K t1r b30;K 14=03×4K 21=0-K

14、20000K t1r b2-K t1r b3K 22=K 2+K t2r 2b4-K t2r b5r b40-K t2r b5r b4K 3+K t2r 2b50K z 1+K t1K 23=0000000-K t10K 24=K t2r b40-K t2r b40-K t2r b50K t2r b5000003×4K 31=000-K t1r b2K t1r b300K 32=00000-K t1000K 33=K y 100K y 3+K t10K x 3;K 34=03×4K 41=04×3K 42=K t2r b4-K t2r b5000-K t2r b4

15、-K t2r b5000;K 43=04×3K 44=K y 4+K t2-K t200K x 40-K t20K y 6+K t2K x 64×4相應(yīng)地:x =x +x ,F (t =F +F (t ,由于x =x ,x =x ,F =K x ,則:K (t x =K x +K x +K (t x +K (t x略去二階微量K (t x ,那么式(1可表示為M x +C x +K x =F (t -K (t K -1F(2式中:F =T 1000-T 200000000T ;F (t =0r b26ni =1K i 1e i 1-r b36ni =1K i 1e i 15

16、6第1期邵忍平等:齒輪減速器系統(tǒng)可變固有特性動力學(xué)研究r b46Ni =1K i 2e i 2-r b56Ni =1K i 2e i 26ni =1K i 1e i 10-6ni =1K i 1e i 106Ni =1K i 2e i 20-6Ni =1K i 2e i 20T那么:F (t 和K (t 是隨嚙合點位置不同而取不同的值,在該兩項作用下系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振動。在此K (t 可用K t1和K t2的微分來近似表示即K (t =5K (t 5K t1K t1+5K (t 5K t2K t2(3將一個嚙合周期T z 分成若干個嚙合時間段T z ,在每個T z 內(nèi)認(rèn)為K t1和K t2是定常值

17、,故可得到各段T z 內(nèi)的K (t 值。由于系統(tǒng)是兩級齒輪傳動,故把式(2右端激勵項分成為兩部分即:由e i 1的激勵項P 1和e i 2的激勵項P 2組成,將式(3代入得F (t -K (t K -1F =P 1+P 2=P (4式中:P 1=F 1(t -5K (t 5K t1K t1K -1F ;P 2=F 2(t -5K (t 5K t2K t2K -1F ;K i 1,K i 2,e i 1,e i 2都隨不同嚙合點而取不同的數(shù)值,故對于由傳動誤差引起的激勵項,屬于非線性的,在此采用傅立葉級數(shù)將其展開成各級嚙合頻率z 1和z 2的諧波形式3即P 1=6Lj =1A j co s (j

18、 z 1t +B j sin (j z 1t P 2=6Mj =1C j co s (j z 2t +D j sin (j z 2t (L =1,2,3;M =1,2,3,(5式中:A j =2T z 1T z 1P 1co s (j z 1t d t ;B j =2T z 1T z 1P 1sin (j z 1t d t ;C j =2T z 2T z 2P 2co s (j z 2t d t ;D j =2T z 2T z 2P 2sin (j z 2t d t .那么P =P 1+P 2=6Lj =1A j co s (j z 1t +B j sin (j z 1t +6Mj =1C j

19、 co s (j z 2t +D j sin (j z 2t (6對于任一階頻率j =j 的激勵,系統(tǒng)的響應(yīng)為x 1=E j co s (j 1t +F j sin (j 1t x 2=G j co s (j 2t +H j sin (j 2t x j =x 1+x 2(7其中:j 1=j z 1;j 2=j z 2。將x 1和x 2分別代入微分方程式(2即M x +C x +K x =P其方程兩端的正余弦系數(shù)相等后得K -2j 1M j 1C -j 1C K -2j 1ME jF j =A jB j (8K -2j 2M j 2C -j 2C K -2j 2MG j H j =C jD j

20、(9那么通過求解方程組(8和(9,可得到系數(shù)E j ,F j ,G j 和H j ,由此得到振動方程的通解(響應(yīng)為x =6x j(102系統(tǒng)固有特性計算輸入各參數(shù)為:轉(zhuǎn)動慣量(單位為kg m 2I 1=0116931,I 2=5167766×10-4,I 3=11086324×10-3,I 4=41846015×10-3,I 5=11564542×10-3;質(zhì)量(單位為kg m 2=2160874,m 3=1174783,m 4=3143439,m 5=4127211;扭轉(zhuǎn)剛度(單位為N m rad K 1=213487168×104,K 2=

21、10169318×104,K 3=9126741187×104;軸承支撐剛度與所受載荷等成非線性關(guān)系4,本系統(tǒng)的傳遞功率和轉(zhuǎn)速是定常的,故通過使用軟件計算得到其各軸承剛度為(單位:N m :K z 1=5110×107,K y 1=3146×107,K y 3=4195×107,K x 3=3163×107,K y 6=5124×107,K x 6=4168×107,為了縮短篇幅,本文沒有給出其它載荷下軸承剛度數(shù)值。系統(tǒng)傳遞的功率P =715k W ,輸入軸轉(zhuǎn)速為780r m in ,扭矩T 1=911827N m

22、 。齒輪傳動齒數(shù):第1級z 1=28,z 2=35,第2級z 3=60,z 4=40。模數(shù):第1級m =215,第2級m =210。首先按文獻(xiàn)5,根據(jù)W eber 公式來計算一對齒輪不同嚙合點公法線變形量,從而可得到齒輪副嚙合剛度的離散值,分為單齒和雙齒嚙合區(qū),可求得第1級和第2級傳動單齒嚙合剛度和雙齒嚙合剛度的變化規(guī)律,在各嚙合周期T z 1和T z 2內(nèi)按照單雙齒嚙合分配時間得到的剛度變化如圖2和3所示。從圖中可見,無論在單齒嚙合區(qū)還是雙齒嚙合區(qū),在同一嚙合區(qū)內(nèi)嚙合剛度變化不大,但在不同的嚙合區(qū)嚙合剛度有較大的變化。為了減少計算量,在此將每一級傳動分為單齒嚙合和雙齒嚙合兩種平均嚙合剛度來處

23、理,那么整個系統(tǒng)可按下列5種情況來計算其固有特性:(1兩級齒輪傳動均按單齒嚙合計算;(2兩級傳動均按雙齒嚙合計算;(3第1級按單齒、第2級按雙齒嚙合計算;(4第1級按雙齒、第2級66航空學(xué)報第22卷按單齒嚙合計算;(5兩級按各自的平均嚙合剛度計算。即考慮單齒和雙齒區(qū)嚙合剛度,按1T z iT z iK ti d t 來平均計算。這樣求得的系統(tǒng)固有頻率如表1所示。另外求得系統(tǒng)的高階固有頻率與嚙合周期(時間的關(guān)系如圖4和圖5所示。可見系統(tǒng)的固有頻率隨時間而發(fā)生變化,表現(xiàn)出一種動態(tài)現(xiàn)象。5種情況下前11階固有頻率有較小的變化范圍,基本上穩(wěn)定在某一數(shù)值附近,唯有高階頻率12和13階有較大的變化范圍,呈

24、現(xiàn)出一種可變的動態(tài)固有頻率現(xiàn)象。由于固有頻率變化,系統(tǒng)的振型也在變化 ,圖2第1級單齒嚙合剛度F ig .2F irst grade m esh ing stiffness w ith m esh ingperi od圖3第1級雙齒嚙合剛度F ig .3Second grade m esh ing stiffness w ith m esh ingperi od表1系統(tǒng)固有頻率理論值Table 1Na tura l frequency of syste m (Theory 單位:Hz階次1234567137.43627353.14894415.45941493.95776508.0768151

25、6.46127583.09326237.63849353.25376415.89941494.78517508.08542516.65381583.68754337.51087353.02531415.89303494.19928508.07824516.49254583.34271437.56461353.18245415.46752494.55196508.08113516.52464583.45717537.49113353.17162415.83041494.22485508.07962516.54124583.56723階次89101112131712.20257877.011139

26、48.127811503.044145486.627727823.957512712.47088879.34319 951.394651505.825607498.5156210662.59803712.34875878.26147951.384331503.544737496.339117825.870844712. 36439878.21831948.142671505.331305486.9635510662.550055712.35497878.11254950.692431504.592817047.943189939.20469圖4固有頻率(第12階與嚙合周期關(guān)系F ig .4N

27、atu ral frequency (122th o rder w ithm esh ing peri od圖5固有頻率(第13階與嚙合周期關(guān)系F ig .5N atu ral frequency (13o rder w ithm esh ing peri od76第1期邵忍平等:齒輪減速器系統(tǒng)可變固有特性動力學(xué)研究圖6圖7給出了系統(tǒng)按第1種情況計算的部分振型圖。另外通過對系統(tǒng)扭振建模理論分析3可預(yù)測出:在考慮到各種剛度以及阻尼下的第2階、7階、9階、12階和13階頻率應(yīng)為此時系統(tǒng)扭振固有頻率,那么其余各階應(yīng)為橫向振動固有頻率 。圖6第10階振型 (n 10=948.13H z F ig .6

28、V ib rati on mode 102th o rder ,n 10=948.13H z圖7第13階振型(n 13=7823.95H z F ig .7V ib rati on mode 132th o rder ,n 13=7823.95H z由此可見,按齒輪副的單雙齒平均嚙合剛度計算,對系統(tǒng)低階固有頻率影響不大,而對高階頻率影響較大。所以對于齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行分析時,分別按單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)平均嚙合剛度計算,可以滿足工程要求。3減速器的實驗測定在圖1的減速器輸入軸上裝上圓盤,用于激勵系統(tǒng)。首先來測定輸入端與輸出端之間的轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)剛度。其后對系統(tǒng)進(jìn)行激勵來拾取其扭振響應(yīng)信號,通過CRA S 專用分析軟件來分析處理,通過導(dǎo)納圓擬合法可識別出減速器的前三階固有頻率、阻尼比和殘數(shù)(可求振型,如表2所示,用于與前節(jié)的理論分析結(jié)果進(jìn)行對比。其具體過程可參考文獻(xiàn)6。可見前節(jié)理論結(jié)果的前3階扭振固有頻率即第2階、第7階和第9階數(shù)值與表2的實驗值是一致的,說明理論分析是合理的,所得的結(jié)果是正確的,可以用