第三版常微分方程答案[1]

1、1=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時 c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程為： dy

2、=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為：=-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0 解：原方程

3、為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10.=e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.=解：令x+y=u,則=-1-1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.=解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y

4、-x-x=c14:=解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15:=(x+1)+(4y+1)+8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有：=f(u)+1du=dx 所以原方程可化為變量分離方

5、程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y=dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標(biāo)成正比的曲線是

6、拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點，則y=kx 則：y=kx +c 即為所求。常微分方程習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為：12解1516解：，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)=若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=)兩邊積分得arctg x(

7、t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e)=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=-()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同

8、除以，令P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令= P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式=16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于<t<上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 當(dāng)時 即,) (2) 當(dāng)時 = = =于是 變量分離得 積分 由于，即

9、t=0時 1=c=1故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證明：（2.28） （2.3）（1） 設(shè)，是（2.28）的任意兩個解則 （1）（2）（1）-（2）得即是滿足方程（2.3）所以，命題成立。（2） 由題意得：（3）（4）1）先證是（2.28）的一個解。于是 得故是（2.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是(2.28)的一個解

10、則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是（2.3）的任意兩個解則 （5）（6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（2.3）（5）（6）得即 也就是滿足方程（2.3）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標(biāo)的平方；（6） 曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項；解：設(shè)為曲線上的任一點，則過點曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：（5） 方程變形為于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以，方程的

11、通解為。22求解下列方程。（1）解： = = = （2） P(x)= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = = =1、驗證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .則所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：2 解： ， .則 .所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 3 解： 則 .因此此方程是恰當(dāng)方程。 （1） （2）對（1）做的積分，則= （3）對（3）做的積分，則=則故此方程的通解為4、 解： ， . .則此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- c

12、os+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程因為sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解為sin-cos+x -=C求下列方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)

13、=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解為e( x-2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為： 即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：故方程的通解為 ： 即：13、解：這里 ， 方程有積分因子兩邊乘以得：方程是恰當(dāng)方程故方程的通解為：即：14、解：這里因為故方程的通解為： 即：15、解：這里 方程有積分因子： 兩邊乘以得：方程

14、為恰當(dāng)方程故通解為 ：即：16、解：兩邊同乘以得：故方程的通解為：17、試導(dǎo)出方程具有形為和的積分因子的充要條件。解：若方程具有為積分因子， （是連續(xù)可導(dǎo)）令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時，積分因子為 .令 ，此時的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當(dāng)方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),，試證方程yf(xy)d

15、x+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xyf(xy)-g(xy)證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0則=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一個積分因子21假設(shè)方程（2.43）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43）有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg

16、(y)由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設(shè)是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：若，則又即為的一個積分因子。24、設(shè)是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，求證（任意常數(shù)）是方程的通解。證明：因為是方程的積分因子所以 為恰當(dāng)方程即 ，下面只需證的全微分沿方程恒為零事實上：即當(dāng)時，是方程的解。證畢！求解下列方程1、解：令，則， 從而， 于是求得方程參數(shù)形式得通解為.2、解：令，則，即，從而，于是求得方程參數(shù)形式得通解為

17、.3、解：令，則，從而 =，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解.4、, 為常數(shù)解：令，則，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、1解：令，則，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、解：令，則，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因此方程的通解為.2解：兩邊同除以，得：即4解：兩邊同除以，得令則即得到，即另外也是方程的解。6解：得到即另外也是方程的解。8.解：令則：即得到故即另外也是方程的解。10解：令即而故兩邊積分得到因此原方程的解為，。 12.解：令則即故方程的解為14解：令則那么求得：故方程的解為或可寫為 16解：令則即方程的解為18解：將方程變形后得同除

18、以得：令則即原方程的解為19.X(解：方程可化為2y(令27. 解： 令，則， ， 兩邊積分得 即為方程的通解。另外，即也是方程的解。28. 解： 兩邊同除以，方程可化為：令，則即 ，兩邊積分得 即 為方程的解。29. 解： 令，則 ， ，那么 即 兩邊積分得 即為方程的解。30. 解： 方程可化為 兩邊積分得 即 為方程的解。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，則即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 （*）再由，可知 （*）將（*）/（*）得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。33. 求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等于切點

19、的橫坐標(biāo)。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點，則在點的切線在軸上的截距為：由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。34. 摩托艇以5米/秒的速度在靜水運動，全速時停止了發(fā)動機(jī)，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運動速度成正比例。解：，又，由此即 其中，解之得又時，；時，。故得 ，從而方程可化為 當(dāng)時，有 米/秒即為所求的確定發(fā)動機(jī)停止2分鐘后艇的速度。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點

20、的速度與時間的關(guān)系。解：由物理知識得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時，V=0，故c=因此，此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系為：36. 解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可轉(zhuǎn)化為：觀察得到它的一個特解為：，設(shè)它的任意一個解為，代入（*）式得到：由（*）-（*）得：變量分離得：兩邊同時積分：即：故原方程的解為 （2）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，設(shè)它的任意一個解為，故變量分離再兩邊同時積分得：即故原方程的解為（3）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，故，該式是一個的伯努利方程兩邊同除以得到：即：，令，則：，根據(jù)一階非齊線

21、性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解為：（4）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：即：故：原方程的解為：（5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：故：原方程的解為：，即.（6）解：原方程可化為：由觀察得到它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：從而：故原方程的解為：即：（7）解：由觀察得到它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為： 1 求方程

22、=x+y通過點(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通過點(1,0)的第三次近似解； 解： 令 則 =3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解： 因為 M=max=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為= 令 =0 ;=y+dx=x+;=y+dx=x-+ 又 =L則：誤差估計為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解；解：因為=在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=（x+c）又 因為y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或

23、 y=0;6題 證明格朗瓦耳不等式： 設(shè)K為非負(fù)整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式： f(t)k+, 則有：f(t)kexp(),證明：令R（t）=,則(T)=f(t)g(t)(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 兩邊同乘以exp(-) 則有：(T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-)kg(t) exp(-)兩邊從到t積分：R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t)1k+R(t)k+kexp(-)dsk(1-1+ exp(-)=k exp()

24、即 f(t)k;7題 假設(shè)函數(shù)f(x,y)于（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 不增函數(shù)，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；證明：假設(shè)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)有兩個(x),(x) 則滿足：(x)= y+dx(x)= y+dx不妨假設(shè)(x)(x)，則(x)-(x)0而(x)-(x)=dx-dx =dx又因為 f(x,y)在（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 增函數(shù)，則： f(x,(x)-f(x,(x)0則(x)-(x)=dx0則(x)-(x)0所以 (x)-(x)=0， 即 (x)=(x)則原命題方程滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；習(xí)題

25、 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：1、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得從得 時，；從得 ，為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗得，（）是方程奇解.2、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.4、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .5、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.6、解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.7、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.8、解：可知此方程沒有

26、奇解.9、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲線族的包絡(luò).1、解:對c求導(dǎo)，得 x+2c=0, ,代入原方程得， 經(jīng)檢驗得，是原方程的包絡(luò).2、解：對c求導(dǎo)，得 ，代入原方程得 ，即，經(jīng)檢驗得是原方程的包絡(luò).3、解：對c求導(dǎo)，得 2(x-c)-2(y-c)=0, ,代入原方程得.經(jīng)檢驗,得是原方程的包絡(luò).4、解：對c求導(dǎo)，得-2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得，,經(jīng)檢驗，得是原方程的包絡(luò).(三) 求一曲線，使它上面的每一點的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于

27、常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標(biāo)系，則曲線上任一點（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡(luò)是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方程通解的c-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p-判別曲線就是用p-消去法，從 中消去p后而得的曲線；c-判別曲線就是用c-消去法，從通解及它對求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p-判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解.1. 設(shè)和是區(qū)

28、間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形無關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)則存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無關(guān)2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)，分別是非齊線形方程 （1） （2） 的解，則+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 試驗證0的基本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無關(guān)，故是0的基本解組。 由題可設(shè)所求通解為：，則有：解之得：

29、故所求通解為：4. 試驗證0有基本解組t，并求方程t-1的通解。解：由題將t代入方程0得：，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關(guān)， 故t，是方程0的基本解組由題可設(shè)所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標(biāo)準(zhǔn)基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。 解：時間方程0的基本解組，故存在常數(shù)使得：于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解。6. 設(shè)是齊線

30、形方程（4.2）的任意n個解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即則：即 則有：即：7. 假設(shè)是二階齊線形方程（*）的解，這里在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證：（）（）因為為方程的解，則由劉維爾公式 兩邊都乘以則有：，于是：從而方程的通解可表示為：,其中為常數(shù),。8. 試證n階非齊線形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1個線形無關(guān)解。 證：設(shè)為（4.1）對應(yīng)的齊線形方程的一個基本解組，是（4.1）的一個解，則： （1），均為（4.1）的解。同時（1）是線形無關(guān)的。 事實上：假設(shè)存在常數(shù)，使

31、得：（*）的左端為非齊線形方程的解，而右端為齊線形方程的解，矛盾！從而有又為（4.1）對應(yīng)的齊線形方程的一個基本解組，故有： 即（1）是線形無關(guān)的。1. 解下列方程（1） 解：特征方程故通解為x=(2)解：特征方程有三重根故通解為x=（3）解：特征方程有三重根，2，-2故通解為（4）解：特征方程有復(fù)數(shù)根-1+3i,-1-3i 故通解為(5)解：特征方程有復(fù)數(shù)根故通解為(6) 解：特征方程有根a,-a當(dāng)時，齊線性方程的通解為s=代入原方程解得故通解為s=-當(dāng)a=0時,代入原方程解得故通解為s=-(7)解：特征方程有根2,兩重根1齊線性方程的通解為x=又因為0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程

32、解得A=-4，B=-1故通解為x=-4-t(8)解：特征方程故齊線性方程的通解為x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解為x=+(9)解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為取特解行如代入原方程解得A=故通解為(10) 解：特征方程有根-2,1故齊線性方程的通解為x=因為+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解為x=（11）解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為+（12）解：特征方程有2重根-a當(dāng)a=-1時，齊線性方程的通解為s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解為s=,當(dāng)a-1時，齊線性方程的通解為s=

33、,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+（13）解：特征方程有根-1,-5故齊線性方程的通解為x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為x=+（14）解：特征方程有根-1+i,-1-i故齊線性方程的通解為不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解為+(15)解：特征方程有根i,- i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故代入原方程解得A= B=0 故故通解為x=x x= （*） a)試驗證u(t)=,v(t)=分別是方程組（*）的滿足初始條件u(0)=, v(0)=的解. b)試驗證w(t)cu(t)+cv(t)是方程組（*）

34、的滿足初始條件w(0)=的解，其中是任意常數(shù). 解：a) u(0)= u(t)=u(t) 又 v(0)= v(t)=v(t)因此 u(t),v(t)分別是給定初值問題的解.b) w(0)=u(0)+u(0)=+= w(t)= u(t)+ v(t) =+ = = =w(t)因此 w(t)是給定方程初值問題的解.2. 將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=-2b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0c) x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令 xx, x= x, 得

35、 即 又 xx(1)=7 x(1)= x(1)=-2于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：x x(1)其中 x. b) 令x 則得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)=(0)=2,(0)=(0)=0于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：= x(0)=, 其中 x=.c) 令wx， w，wy，wy，則原初值問題可化為： 且 即 w w(0)= 其中 w3. 試用逐步逼近法求方程組x x 滿足初始條件 x(0)= 的第三次近似解. 解：習(xí)題5.20241202 02412031.試驗證=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。解：

36、令的第一列為(t)=,這時(t)=(t)故(t)是一個解。同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)= (t)這樣(t)也是一個解。因此是解矩陣。又因為det=-t故是基解矩陣。2.考慮方程組x=A(t)x (5.15)其中A(t)是區(qū)間a上的連續(xù)nn矩陣，它的元素為a(t),i ,j=1,2,na) 如果x(t),x(t),x(t)是(5.15)的任意n個解，那么它們的伏朗斯基行列式Wx(t),x(t),x(t)W(t)滿足下面的一階線性微分方程W=a(t)+a(t)+a(t)Wb) 解上面的一階線性微分方程，證明下面公式：W(t)=W(t)e t,ta,b解：w(t)=+=+=+整理后原式變

37、為（a+a）=（a+a）w(t)=（a(t)+a(t)）w(t)b)由于w(t)= a(t)+a(t) w(t),即= a(t)+a(t)dt兩邊從t到t積分ln-ln=即w(t)=w(t)e,ta,b3.設(shè)A(t)為區(qū)間a上的連續(xù)nn實矩陣，為方程x=A(t)x的基解矩陣，而x=(t)為其一解，試證：a) 對于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)；b)(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣C，使(t) (t)=C.解a) (t) (t)= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)又因為=-A(t) (t)，所以=-(t) A(t)

38、 (t) (t)=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以對于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)b) “”假設(shè)為方程y=-A(t)y的基解矩陣，則 (t) (t)=(t)+(t) (t)=- A(t) (t)+ (t) A(t) )+ (t) A(t) (t)=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C“”若存在非奇異常數(shù)矩陣C，detc0,使(t) (t)=C，則 (t) (t)=(t)+ (t)=0，故(t)(t)=-(t) (t)A(t)(t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t),(t)=-

39、 (t) A(t)即(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣4.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明:(t)=(t- t)其中t為某一值. 證明：（1）,(t- t)是基解矩陣。 （2）由于為方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，而當(dāng)t= t時，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)5.設(shè)A(t),f(t)分別為在區(qū)間a上連續(xù)的nn矩陣和n維列向量，證明方程組x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個線性無關(guān)解。證明：設(shè)x,x,x是x=A(t)x的n個線性無關(guān)解，是x=A(t)x+f(

40、t)的一個解，則x+, x+, x+,都是非齊線性方程的解，下面來證明它們線性無關(guān)，假設(shè)存在不全為零的常數(shù)C,(I=1,2,n)使得+c=0,從而x+, x+, x+,在a上線性相關(guān)，此與已知矛盾，因此x+, x+, x+,線性無關(guān)，所以方程組x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個線性無關(guān)解。6、試證非齊線性微分方程組的疊加原理：的解，則是方程組的解。證明： （1） （2）分別將代入（1）和（2）則則令即證 7考慮方程組，其中a)試驗證 是的基解矩陣；b)試求的滿足初始條件的解。證明：a)首先驗證它是基解矩陣以表示的第一列 則故是方程的解如果以表示的第二列 我們有故也是方程的解從而是方

41、程的解矩陣又故是的基解矩陣；b)由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解而8、試求，其中滿足初始條件的解。解：由第7題可知的基解矩陣 則若方程滿足初始條件則有若則有9、試求下列方程的通解：a)解：易知對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為這時由公式得通解為b)解：易知對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：易知對應(yīng)的齊線性方程對應(yīng)的特征方程為故方程的一個基本解組為因為是對應(yīng)的齊線性方程的解故也是原方程的一個解故方程的通解為10、給定方程其中f(t)在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：a)如果f(t)在上有界，則上面方程的每一個解在上有界；b)如果當(dāng)時，則上面方

42、程的每一個解（當(dāng)時）。證明：a)上有界存在M>0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個解在上有界b)時，當(dāng)t>N時由a)的結(jié)論故時，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（5.15）的一個基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對

43、t求導(dǎo)：即（*）的解是（*）的解1、 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expA·expAb) 對任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA(當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時，規(guī)定(expA)(expA)證明：a) （A）·（A）（A）·（A） exp(A+A)= expA·expAb) k>0時，(expA)expA·expAexpA exp（A+A+A） expkAk<0時，-k>0 (expA)(expA)=exp(-A)= exp(-A)·exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) exp

44、kA故k，都有(expA)=expkA2、 試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0)(t)又因為(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因為矩陣 （At）·（- At0）=（- At0）·（At）所以 expA(t-t)3、 試計算下面矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量a） b）c） d）解：a）det（EA）=(5)(+1)=0=5, =1對應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對應(yīng)于=1的特征向量v=, ()b) det（EA）=(+1)(+2)(2)01，2，2對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ）對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ）對應(yīng)于2的特征向量u3， （ ）c）det（EA）=(+1)2(3)01（二重），3對應(yīng)于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對應(yīng)于3的特征向量v, （ ）d) det（EA）=(+3)(+1)(+2)=01，2，3 對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ） 對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ） 對應(yīng)于3的特征向量u3， （