含參數(shù)的不等式的成立問題

1、解含參數(shù)的不等式的成立問題 在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，常常出現(xiàn)含參數(shù)的不等式成立的問題，這類問題與函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程等知識綜合在一起，演繹出一道道設(shè)問新穎，五光十色的題目，這些試題的思辨性很強(qiáng)，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措，這些題目從解題目標(biāo)上看，基本上有三種，即求參數(shù)的取值范圍，使含參數(shù)的不等式 恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題的操作程序用函數(shù)思想作指導(dǎo),解不等式的恒成立、能成立、恰成立問題的操作程序是這樣的:（1）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.（2）能成立問

2、題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.（3）恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為,若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為,如果從解題模式看,好象問題很簡單,但是,由于試題的結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化,試題的設(shè)問方式各不相同,就使得題目變得十分靈活,如何對這類題目進(jìn)行思辨和模式識別,把問題化歸到常見的基本的題型,是高考復(fù)習(xí)的一個(gè)課題. 例題精析： （1）不等式的恒成立問題【例1】已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值()求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間()若對，不

3、等式恒成立，求的取值范圍。【分析及解】() ，由，得,.，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：（，）（，1）f（x）00f（x）增極大值減極小值增所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是() ，當(dāng)時(shí)，c為極大值，而，則為最大值。要使,恒成立，只需.解得或.【例2】已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求t的取值范圍.【分析及解】 依定義在區(qū)間上是增函數(shù)等價(jià)于在區(qū)間上恒成立;而在區(qū)間上恒成立又等價(jià)于在區(qū)間上恒成立;設(shè)進(jìn)而在區(qū)間上恒成立等價(jià)于考慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則.于是, t的取值范圍.是.【例3】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成

4、立的最小正整數(shù)m.【分析及解】（）依題意得，即.當(dāng)n2時(shí)，;當(dāng)n=1時(shí)，-21-1-61-5所以.（）由（）得，故=.因此，使得成立的必須滿足,即，即,故滿足要求的最小整數(shù)為10.需要注意的是，在求得參數(shù)的范圍時(shí)，什么時(shí)候有等號，什么時(shí)候沒有等號？如例1，要使,恒成立，只需，而.解可得的范圍， 而例2，要使在區(qū)間上恒成立等價(jià)于考慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),的最大值應(yīng)在處取得，但是，函數(shù)的定義域是一個(gè)開區(qū)間 ，沒有函數(shù)值，只是在開區(qū)間 上的上確界正因?yàn)樵谌〔坏街担詴r(shí)，仍然有成立，所以應(yīng)該為.如果本題改為在閉區(qū)間上恒成立,則只有,這就是例2的情形.再如例3,第（）問等價(jià)于使得恒成立,顯然,

5、 沒有最大值,但是有是的極限值,這里用極限值代替最大值,此時(shí)也需加上等號, 即,.【例4】已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【分析及解】 先看如下的解法:令,要使在區(qū)間上是減函數(shù),只要在區(qū)間上是減函數(shù),且在區(qū)間上.因此,需,的最小值應(yīng)在時(shí)取得,然而,題目給出的是開區(qū)間,為此應(yīng)有 解得.【例5】設(shè)函數(shù)若對所有的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！痉治黾敖狻窟@是一個(gè)恒成立問題,由于不等式的兩邊都含有變量,所以可以構(gòu)造函數(shù)于是問題轉(zhuǎn)化為對所有的恒成立對所有的成立.下面求的最小值.令得 減最小值 增由以上, 在上是減函數(shù),而在上是增函數(shù),(1) 若,即,由的單調(diào)性可知,在時(shí), ,若,即,由的單調(diào)

6、性可知, .此時(shí), 不恒成立.由以上, 實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例6】已知函數(shù),其中為參數(shù),且.() 當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)是否有極值;() 要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;() 若對()中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析及解】() 當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在上是增函數(shù),所以沒有極值.() ,令得.(1) 當(dāng)時(shí),極大值極小值因此,函數(shù)在處取得極小值.解得.因?yàn)?所以或.(2) 當(dāng)時(shí),極大值極小值因此,函數(shù)在處取得極小值但是, 與矛盾,此時(shí)無解.綜合以上, 參數(shù)的取值范圍是.() 由(), 函數(shù)的增區(qū)間是和,由題意. 應(yīng)是它們的子區(qū)間.于是有或在這里,出現(xiàn)了不等

7、式,這實(shí)際上是恒成立問題,即不等式在時(shí)恒成立,求的取值范圍.因此,當(dāng)時(shí),不等式恒成立.解得,由以上, 實(shí)數(shù)的取值范圍是【例7】已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（）對滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)【分析及解】只考慮（）.解法1.由題意，這一問表面上是一個(gè)給出參數(shù)的范圍，解不等式的問題，實(shí)際上，把以為變量的函數(shù)，改為以為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即 令，則對，恒有，即，從而轉(zhuǎn)化為對，恒成立，又由是的一次函數(shù)，因而是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此只需 即解得.故時(shí)，對滿足的一切的值，都有.解法2.考慮不

8、等式.由知,于是,不等式的解為 .但是,這個(gè)結(jié)果是不正確的,因?yàn)闆]有考慮的條件,還應(yīng)進(jìn)一步完善.為此,設(shè).不等式化為恒成立,即.由于在上是增函數(shù),則,在上是減函數(shù),則所以, .故時(shí)，對滿足的一切的值，都有.【例8】求與拋物線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)的最大圓的方程.【分析及解】因?yàn)閳A與拋物線相切于坐標(biāo)原點(diǎn),所以,可設(shè).由題意, 拋物線上的點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)之外,都在圓的外邊.設(shè)和圓心的距離為,則本題等價(jià)于 在的條件下,恒成立.整理式得 于是,本題又等價(jià)于式在的條件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合條件的最大圓的半徑是,最大圓的方程為【例9】三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的

9、解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 【分析及解】關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，這一思辨實(shí)際上是函數(shù)思想的反映.設(shè).甲的解題思路，實(shí)際上是針對兩個(gè)函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個(gè)函數(shù)，設(shè)其解法相當(dāng)于解下面的問題：對于,若恒成立,求的取值范圍.所以，甲的解題思路與題目,恒成立,求的取值范圍的要求不一致.因而, 甲的解題思路不能解決本題.按照丙的解題思路需作出函數(shù)的圖象和的圖象,然

10、而,函數(shù)的圖象并不容易作出.由乙的解題思路,本題化為在上恒成立,等價(jià)于時(shí), 成立.由在時(shí),有最小值,于是,.【例10】已知兩個(gè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).()若對任意的，都有成立，求的取值范圍； ()若對任意的，都有，求的取值范圍.()若對于任意,總存在使得成立，求的 取值范圍.【分析及解】 () 令,問題轉(zhuǎn)化為 在 上恒成立,為此只需在上的最小值 即可, 由, 得 或 . , 由, 解得 . ()由題意可知當(dāng)時(shí),都有. 由 得., , . 由得, , , ,.則, 解得. () 若對于任意,總存在使得成立，等價(jià)于的值域是的值域的子集，由()可知，在的值域?yàn)?，在的值域?yàn)椋谑?，即滿足解得?！揪毩?xí)題】1.

11、已知函數(shù).()若此函數(shù)在上有意義, ,試求的取值范圍.() 若此函數(shù)的定義域是,試求的值.2.已知 在區(qū)間上是增函數(shù).()求實(shí)數(shù)的值組成的集合;()設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為.試問:是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對任意及恒成立?若存在,求的取值范圍; 若不存在,請說明理由.3.若函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù), 在區(qū)間上為增函數(shù),試求的取值范圍.【練習(xí)題參考解答】1.要注意這兩問的區(qū)別,第()問是指在區(qū)間上恒成立,是一個(gè)恒成立問題,而第()問求定義域,則要求不等式只能在在區(qū)間上成立,而在區(qū)間之外都不成立,因此是一個(gè)恰成立的問題.() 函數(shù)在上有意義,等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,即 恒成立.記,在上是增函數(shù),因此

12、的最大值為.恒成立,等價(jià)于于是,的取值范圍為.()函數(shù)的定義域是,應(yīng)滿足,解這個(gè)不等式,得 由得 , ,令 ,解得.對于第()問也可以這樣思考:由于在區(qū)間上恰成立,則時(shí),必有,即 2.第()問相當(dāng)于在區(qū)間上是增函數(shù), 求實(shí)數(shù)的取值范圍.,由已知, 在區(qū)間上是增函數(shù),則等價(jià)于對恒成立.即 對恒成立.這是一個(gè)含參數(shù)的不等式的問題,如何處理這一問題呢?首先是函數(shù)思想起了作用.把看作函數(shù)！記.要使對恒成立,只要就可以了.所以問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.由于時(shí),為減函數(shù), 時(shí),為增函數(shù),因此,又要進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí),由的圖象可以看出,最大. 解不等式組得 當(dāng)時(shí),由的圖象可以看出,最大. 解不等式組得 綜合以上

13、得.即.可以知道,在上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)得到,因此只要解就可以得到.下面研究第()問.關(guān)于的方程可以化為.解得 和.由于,所以方程有兩個(gè)非零實(shí)根. 下面計(jì)算, 由得=. 本題等價(jià)于是否存在,使不等式 對,恒成立. 把看作關(guān)于的函數(shù), 則式等價(jià)于 由于,則,從而式轉(zhuǎn)化為3,即 對恒成立我們又可以把式的左邊看作的函數(shù).記=.若,式顯然不成立;若,是的一次函數(shù),這樣,要使對恒成立,只要及同時(shí)成立即可.解不等式組 得或.所以存在實(shí)數(shù),使不等式對任意,恒成立.,其取值范圍是. 3.首先對求導(dǎo)數(shù).若在區(qū)間上為減函數(shù),則在區(qū)間上恒成立,從而在區(qū)間上的最大值.即 或解得 .若在區(qū)間上為增函數(shù),則在區(qū)間上

14、恒成立,從而在區(qū)間上的最小值.即或解得 ,綜合以上,.3. 不等式的能成立,恰成立和部分成立問題【例1】若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【分析及解】第一個(gè)填空是不等式恒成立的問題,設(shè).則關(guān)于的不等式的解集為在上恒成立,即解得第二個(gè)填空是不等式能成立的問題. 設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例2】設(shè)，二次函數(shù)若的解集為， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析及解】這是一個(gè)題目在不等式成立的前提下，求參數(shù)的范圍的問題， 這個(gè)題目的常規(guī)解法是：由題設(shè),. 的兩個(gè)根為顯然,. (1) 當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), , .于是,實(shí)數(shù)

15、的取值范圍是.因?yàn)?題目的條件是只要集合的交集不是空集就可以,即只要不等式在區(qū)間有解就可以,這等價(jià)于成立.解法就簡單些.解法如下:(1) 當(dāng)時(shí),因?yàn)榈膱D象的對稱軸，則對，最大， (2) 當(dāng)時(shí), 在或?qū)崿F(xiàn),由,則于是,實(shí)數(shù)的取值范圍是.把函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合起來，還可獲得更簡單的解法，即在有解.【例3】已知函數(shù)，. 若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 【分析及解】只研究第（I）問.，則因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.由題設(shè)可知,的定義域是 ,而在上有解,就等價(jià)于在區(qū)間能成立,即, 成立, 進(jìn)而等價(jià)于成立,其中.由得,.于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是【例4】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).

16、（）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，,若存在使得成立，求的取值范圍.【分析及解】（），由，得，則.于是令，得，由于是極值點(diǎn)，所以有,則.當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)。（）由（）知，當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上的值域是，而,那么在區(qū)間上的值域是如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集非空，則一定存在使得成立，如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集是空集，只要這兩個(gè)值域的距離的最小值小于1即可.由（）可得,函數(shù)在的值域?yàn)?又在的值域?yàn)?存在使得成立，等價(jià)于或，容

17、易證明,.于是, .【例5】()已知對任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;()已知當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實(shí)數(shù)的值.【分析及解】 這兩問給出的函數(shù)的表達(dá)式相同,的范圍相同,的取值區(qū)間也相同,但是,由于設(shè)問的含義不相同,所以解題的目標(biāo)也不相同.本題的第()問是一個(gè)恒成立問題, 對任意恒成立等價(jià)于對任意恒成立,又等價(jià)于時(shí),的最小值成立.由于在上為增函數(shù),則,所以 .第(問是一個(gè)恰成立問題,這相當(dāng)于的解集是.當(dāng)時(shí),由于時(shí), ,與其值域是矛盾,當(dāng)時(shí), 是上的增函數(shù),所以,的最小值為,令,即【例6】已知適合不等式的的最大值為，求實(shí)數(shù)的值，并解不等式.【分析及解】 這是一個(gè)不等式恰成立問題.因?yàn)榈淖畲笾禐?所以,已知

18、不等式化為即 由不等式有解可知,(1)當(dāng)時(shí),不等式化為 由題設(shè), 有解為,于是有 解得 不等式的解為 .(2)當(dāng)時(shí), 不等式化為 由題設(shè), 有解為或,于是有 解得 與矛盾,此時(shí)無解.由(1),(2),.【例7】已知?jiǎng)又本€與橢圓交于兩點(diǎn), 軸上有一動(dòng)點(diǎn).令向量,其中a為一個(gè)給定的常數(shù)(a,且有b|+與共線=.求出a的值.【分析及解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,線段AB中點(diǎn)為M(, ), =與共線等價(jià)于與共線, ,由與共線得,即 ,由, 消去y得 , 兩根為, . =, , , =.與共線=, 或0,或,于是，且構(gòu)造函數(shù)，則其定義域滿足即,或且.因而,這相當(dāng)于含參數(shù)的不等式在定義域內(nèi)恰成立.即在且

19、,或x時(shí),最小值為. 圖象的對稱軸是,于是由圖象可知:(1) 當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí)最小,最小值為 .+1=3,解得;(2) 當(dāng)0,即a時(shí), ,此時(shí), 無最小值.由(1)(,(2)得常數(shù). 【例8】()若函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為,求的值;()若函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù),求的取值范圍.【分析及解】（）是指恰為函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，因此，在區(qū)間上恰成立,即恰為方程的一個(gè)根，解得.（）是指只要是增區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間就可以.即在上恒成立,即在上恒成立.【例9】已知，設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減；的解集為.如果和有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.【分析及解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，.的解集為在上恒成立如果正確,且不正確,則,如果正確,且不正確,則.由以上, 的取值范