首師大附屬麗澤中學(xué)考前數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：1函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：。2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k=(x0) ；導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)速度=位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3【必背】八大常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6)； （7）；（8）4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：； 的導(dǎo)數(shù)=（其中）.5.導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：（1）若對(duì)一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（2）若對(duì)一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。反之未必.6.極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則反之未必.7定積分求曲邊梯形面積：求積分區(qū)間（a,b）；找被積函數(shù)；求原函數(shù)F（x）；求差

2、;8定積分的性質(zhì)：（k為常數(shù)）；（其中acb。； 9微積分基本定理：若是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，則10（1）定積分在幾何中的應(yīng)用：上圖中的曲邊梯的面積：當(dāng)f(x)>0時(shí)，；當(dāng)f(x)< 0)時(shí)，。下圖中圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。（2）勻變速運(yùn)動(dòng)的路程等于速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間 上的定積分。二、試題集錦：1、（2011西城一模理18）.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大2、（2011東城一模理）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）證明：對(duì)任意，都有成立3、（2011石景山一模理18）已知

3、函數(shù)，.（）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍4、(2011海淀一模文18). 已知函數(shù)（）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II) 若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5、(石景山一模文18)已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6、(2011朝陽(yáng)二模理18)設(shè)函數(shù)，.（）若，求函數(shù)在上的最小值； （）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍； （）求函數(shù)的極值點(diǎn).7、（2011昌平二模理19）已知函數(shù)（）.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(）函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為若函數(shù)，在區(qū)

4、間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍。8、（2011豐臺(tái)二模理18）知函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）求函數(shù)在上的最大值9、（2011海淀二模文18）已知函數(shù)（I）若，求函數(shù)的解析式； （II）若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 例題集錦答案1、（2011西城一模理18）.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（），（）， 3分在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是. 4分（）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則 7分（1個(gè)方程1分） 解得，. 不知道切點(diǎn)時(shí)通過設(shè)切

5、點(diǎn)列方程求解 8分（），則， 9分解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù). 10分依據(jù)根與區(qū)間大小關(guān)系分類當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為. 11分當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為. 12分當(dāng)，即時(shí)，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時(shí)，最大值為， 13分時(shí)，最大值為. 14分綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為.2、（2011東城一模理18）已知函數(shù)（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（）證明：對(duì)任意，都有成立（）解：由，可得當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為對(duì)任意，都有成立立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的最小

6、值>g(x)最大值問題（注意：m，n不同的變量）（）證明：由（）可知在時(shí)取得最小值，又，可知由，可得所以當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減.所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，又，可知，所以對(duì)任意，都有成立3、（2011石景山一模理18）已知函數(shù)，.（）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍解：（）當(dāng)時(shí)， 2分對(duì)于，有， 在區(qū)間上為增函數(shù) ， 5分（）令，則的定義域?yàn)?. 6分在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立. 即g(x)的最大值<0 ， 8分依據(jù)開口方向及兩根大小關(guān)系分類 若，令，解得：， 當(dāng)，即時(shí)，在上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在

7、該區(qū)間上有，不合題意； 當(dāng)，即，同理可知，在區(qū)間上，有，也不合題意； 10分 若時(shí)，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)； 要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得的范圍是. 12分綜合可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方. 13分4、(2011海淀一模文18). 已知函數(shù)（）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II) 若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（I）因?yàn)?， 2分當(dāng)， ，令，得 ，3分又的定義域?yàn)?，隨的變化情況如下表：0極小值 所以時(shí)，的極小值為1 . 5分的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 6分（II）解法一：因?yàn)?，且， 令，得到 ，若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得

8、成立， 其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可. 7分 （1）當(dāng)，即時(shí)，對(duì)成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的最小值為，由，得，即 9分 （2）當(dāng)，即時(shí)， 若，則對(duì)成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以，在區(qū)間上的最小值為，顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立 11分 若，即時(shí)，則有極小值 所以在區(qū)間上的最小值為，由，得 ，解得，即13分綜上，由(1)（2）可知：符合題意. 14分 解法二：若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立， 即，因?yàn)? 所以，只需 7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因?yàn)?，令，?分（1）當(dāng)時(shí)：按參數(shù)自身的符號(hào)分類（因其影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)）極大值 因?yàn)闀r(shí)，而， 只要，得，即 11分

9、 （2）當(dāng)時(shí)：極小值 所以，當(dāng) 時(shí)，極小值即最小值為，由， 得 ，即. 13分 綜上，由(1)（2）可知，有 . 14分5、(2011石景山一模文18)已知函數(shù).（）若，求函數(shù)的解析式；（）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（） ， 2分 由，得. 函數(shù)4分 （）函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù) 5分要使函數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需函數(shù)在區(qū)間恒成立.即在區(qū)間恒成立. 注意別丟掉等號(hào)即在區(qū)間恒成立. 9分令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， . 13分6、(2011朝陽(yáng)二模理18)設(shè)函數(shù)，.（）若，求函數(shù)在上的最小值；（）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求函數(shù)的極值點(diǎn).解：（）

10、的定義域?yàn)?1分因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以在上的最小值為1. 3分（）解法一：設(shè)， 依題意， 4分在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立5分注意與上一題區(qū)分注意到拋物線開口向上，所以只要，或即可6分由，即，得，由，即，得，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.8分解法二：，4分依題意得，在區(qū)間上存在子區(qū)間使不等式成立.又因?yàn)?，所?參數(shù)與變量分離5分設(shè)，所以小于函數(shù)在區(qū)間的最大值.又因?yàn)?，由解得；由解?所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.所以函數(shù)在，或處取得最大值.又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.8分（）因?yàn)?，令顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；9分當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)，即時(shí)，

11、在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；10分（）當(dāng)，即時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，這時(shí)；當(dāng)或時(shí)，這時(shí)；所以，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).12分綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).注意“綜上”必須寫 13分7、（2011昌平二模理19）已知函數(shù)（）.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(）函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為若函數(shù)，在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍。解：（I）2分當(dāng) 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）,單調(diào)遞減區(qū)間為（,4分當(dāng)， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（,單調(diào)遞減區(qū)間為（0，） 6分（II）得 8分+3 9分10分11分即導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間有正有負(fù)。12分 即：8、（2011豐臺(tái)二模理18）知函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）求函數(shù)在上的最大值解：（1），函數(shù)的定義域?yàn)?1分 3分在處取得極值，即，5分當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，在內(nèi)，是函數(shù)的極小值點(diǎn) 6分（2）7分隱含參數(shù)范圍的挖掘x， ，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，9分當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，；10分當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，；11分當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，12分綜上所述，略9、（2011海淀二模文18）已知函數(shù)（I）若，求函數(shù)的解析式； （II）若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（）因?yàn)?， 2分由即得， 4分所以的解析式為.