考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類—級(jí)數(shù)(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。第九章 級(jí)數(shù)（數(shù)一、數(shù)三）綜述：級(jí)數(shù)本質(zhì)上是極限，級(jí)數(shù)的收斂性也就是極限的收斂性，關(guān)于級(jí)數(shù)的題目往往需要結(jié)合微分和積分的知識(shí)，因此也可以看做是對(duì)它們的綜合運(yùn)用。本章一直是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，平均每年所占分值在15分左右。本章的主要知識(shí)點(diǎn)有：級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，條件收斂與絕對(duì)收斂，冪級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)

2、，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域，冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)定理與逐項(xiàng)積分定理，傅里葉級(jí)數(shù)。從總體上講，本章主要可以分為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)兩部分。其中考查的重點(diǎn)在冪級(jí)數(shù)上，但冪級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，考生需要重點(diǎn)把握它的收斂性的定義以及各種常見的判別法。考試在級(jí)數(shù)中的大題一般出在冪級(jí)數(shù)上，這一部分的內(nèi)容可以概括為三個(gè)問題:冪級(jí)數(shù)的收斂域的計(jì)算，冪級(jí)數(shù)求和，冪級(jí)數(shù)展開。其中，計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域最關(guān)鍵的是掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法與相關(guān)的性質(zhì)。而冪級(jí)數(shù)求和與展開，則主要是結(jié)合常見函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，再運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分定理即可。最后，關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)，考生主要需要掌握傅里葉系數(shù)的求法，再了解

3、狄利克雷定理的內(nèi)容即可。本章?？嫉念}型有：1.對(duì)常數(shù)項(xiàng)收斂性的考查，2.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，3.冪級(jí)數(shù)展開，4.冪級(jí)數(shù)求和，5.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和，6.傅里葉級(jí)數(shù)。常考題型一：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性1.【19963 3分】下述各選項(xiàng)正確的是（ ）若和都收斂，則收斂.若收斂，則與都收斂.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則.若級(jí)數(shù)收斂，且，則級(jí)數(shù)也收斂.【小結(jié)】：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法最基本的思想是比較判別法，它有很多種具體的表現(xiàn)形式，其中之一是極限審斂法，其內(nèi)容是設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)：如果，則級(jí)數(shù)發(fā)散；如果，則級(jí)數(shù)收斂。其中我們用得最多的形式是，假設(shè)與為同階無窮小，則當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。2.【20033 4分】設(shè)，則下列命題正

4、確的是（ ）若條件收斂，則與都收斂.若絕對(duì)收斂，則與都收斂.若條件收斂，則與斂散性都不定.若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. 3.【20043 4分】設(shè)有下列命題：（ ）(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是 (1) (2).(2) (3). (3) (4).(1) (4).4.【20053 4分】設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（ ）收斂，發(fā)散 . 收斂，發(fā)散.收斂. 收斂. 5.【20063 4分】若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（ ）收斂 . 收斂.收斂. 收斂. 6.【2011-3 4分】設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是( )(

5、A) 若收斂，則收斂. (B) 若收斂，則收斂.(C) 若收斂，則收斂. (D) 若收斂，則收斂.7【1995-1 3分】設(shè)，則級(jí)數(shù)（ ）和都收斂 和都發(fā)散收斂而發(fā)散 發(fā)散而收斂8【1992-1 3分】級(jí)數(shù)（常數(shù)）（ ）發(fā)散 條件收斂 絕對(duì)收斂 收斂性與有關(guān)9【1996-1 3分】設(shè)，且收斂，常數(shù)，則級(jí)數(shù)（ ）絕對(duì)收斂 條件收斂發(fā)散 斂散性與有關(guān)10【1994-1 3分】設(shè)常數(shù)，且收斂，則級(jí)數(shù)（ ）發(fā)散 條件收斂 絕對(duì)收斂 收斂性與有關(guān)11【2009-1 4分】設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則（ ）當(dāng)收斂時(shí)，收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. 當(dāng)收斂時(shí)，收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.12【2004-1 4分】設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下

6、列結(jié)論中正確的是（ ）若，則級(jí)數(shù)收斂. 若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散. 若級(jí)數(shù)收斂，則. 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得.13【2002-1 3分】設(shè)，且，則級(jí)數(shù)( ) 發(fā)散 絕對(duì)收斂 條件收斂 收斂性根據(jù)所給的條件不能確定14【2000-1 3分】設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為（ ）15【2013-3 4分】設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是（ ）（A）若收斂（B）收斂，則（C）收斂，則存在常數(shù),使存在（D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂16.【2015-3 4分】下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（ ）17.【2012-3 4分】已知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂，則范圍為（ ）（A）（B）（C） （D）18【199

7、8-1 5分】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級(jí)數(shù)是否收斂？并說明理由.19【1994-1 8分】設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.20【2004-1 11分】設(shè)有方程，其中為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.21【1999-1 7分】設(shè).（1）求的值；（2）試證：對(duì)任意的常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂.22【1997-1 8分】設(shè)，證明：（1）存在；（2）級(jí)數(shù)收斂.23【2014-1 10分】設(shè)數(shù)列，滿足，且級(jí)數(shù)收斂（1）證明；（2）證明級(jí)數(shù)收斂常考題型二：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域24【2008-1 4分】已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開.

8、25【1997-1 3分】設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_.26【2000-1 6分】求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性.27【1995-1 3分】?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑_.28【20023 4分】設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（）29.【2011-1 4分】設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? )30.【2011-1 4分】若級(jí)數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級(jí)數(shù)的 ( )收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)31【20093 4分】?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑為【小結(jié)】：1. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；，級(jí)數(shù)可

9、能收斂也可能發(fā)散。2. 計(jì)算冪級(jí)數(shù)收斂半徑的方法：如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足或，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：。3. 確定了收斂半徑，只需再確定端點(diǎn)處的收斂性就可以知道收斂域了。此時(shí)，只需將端點(diǎn)處的函數(shù)值代入，再判斷相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性即可。4. 對(duì)于缺項(xiàng)的級(jí)數(shù)的收斂半徑，不能用比值計(jì)算，只能用根值計(jì)算。也可以利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值和根值判別法直接對(duì)整個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)進(jìn)行分析，計(jì)算極限或，求出的范圍即可得到收斂區(qū)間。?？碱}型三：冪級(jí)數(shù)展開32【2006-1 12分】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).33【1994-1 5分】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).34【2001-1 8分】設(shè)試將展開成的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.35【2003-

10、1 12分】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.36【19953 6分】將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.37【20073 10分】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【小結(jié)】：計(jì)算函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的基礎(chǔ)是如下這6個(gè)常見函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)：，常考題型四：冪級(jí)數(shù)求和38【2010-1 10分】求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).39.【2003-3 9分】求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其極值.40.【2005-3 9分】求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù).41【2005-1 12分】求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).42【2007-1 10分】設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足：.（1）證明；（2）求的表達(dá)式.43【200

11、13 8分】已知滿足（為正整數(shù)）且，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.44【20063 10分】求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).45.【20121 10分】求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)46.【20131 10分】設(shè)數(shù)列滿足條件：是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，（1） 證明：,（2） 求的表達(dá)式.47.【20143 10分】求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)?！拘〗Y(jié)】：1.冪級(jí)數(shù)求和的一般思路是利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或是逐項(xiàng)積分定理將需要求和的級(jí)數(shù)化簡(jiǎn)，利用常見函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)求出化簡(jiǎn)之后級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最后再將求導(dǎo)或求積分的過程逆過來就可以得到所求級(jí)數(shù)的和函數(shù)了。2.冪級(jí)數(shù)求和時(shí)用得最多的是幾何級(jí)數(shù)，該公式可以擴(kuò)展到所有通項(xiàng)為等比數(shù)列的級(jí)數(shù)，其和可以統(tǒng)一記

12、為。例如，對(duì)級(jí)數(shù)利用該公式就可以得到。48【1993-1 7分】求級(jí)數(shù)的和.49【1996-1 7分】求級(jí)數(shù)的和.50【2009-1 9分】設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值.51【19993 3分】_.52.【2000-3 6分】設(shè)求?？碱}型五：傅里葉級(jí)數(shù)*（數(shù)一）53【1993-1 3分】設(shè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為，則其中系數(shù)的值為_.54【2003-1 4分】設(shè)，則_.55【1995-1 6分】將函數(shù)展開成周期為的余弦級(jí)數(shù).56【1992-1 3分】設(shè)，則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于_.57【1999-1 3分】設(shè)，其中，則等于（ ）58【2008-1 9分】將函數(shù)展開成余弦

13、級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.59.【2013-1 4分】設(shè)，令，則（ ）（A） （B） （C） （D）【小結(jié)】：1.計(jì)算傅里葉系數(shù)是傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)考生最基本也是最重要的要求，考生記住公式即可：如果，則有，。2.當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，的傅里葉級(jí)數(shù)為，其中。當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，的傅里葉級(jí)數(shù)為，其中。即便本身并不既有奇偶性，我們也可以先對(duì)該函數(shù)進(jìn)行奇延拓（）或偶延拓（）后再將其展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。系數(shù)的計(jì)算公式仍為或。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性，考生需要記住如下的狄利克雷定理如果在上滿足如下的狄利克雷條件：）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；）只有有限個(gè)極值點(diǎn)。則的傅里葉級(jí)數(shù)在上收斂，且?？碱}型六：綜合應(yīng)用60【20023

14、9分】（1）驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程；（2）利用（1）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)61【20043 9分】設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為. 求：(I) 所滿足的一階微分方程；(II) 的表達(dá)式.62.【1997-3 7分】從點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)；再從作這條拋物線的切線與軸交于,然后又從作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),依次重復(fù)上述過程得到一系列的點(diǎn).(1) 求；(2) 求級(jí)數(shù)的和.其中為自然數(shù),而表示點(diǎn)與之間的距離.63.【1998-3 6分】設(shè)有兩條拋物線和,記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為(1) 求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；(2) 求級(jí)數(shù)的和.64.【2008-3 10分】設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計(jì)算. 某基

15、金會(huì)希望通過存款萬元實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，第年取出(10+9)萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問至少應(yīng)為多少萬元？參考答案1.【19963 3分】【答案】2.【20033 4分】【答案】3.【20043 4分】【答案】4.【20053 4分】【答案】5.【20063 4分】【答案】6.【2011-3 4分】【答案】7【1995-1 3分】【答案】8【1992-1 3分】【答案】9【1996-1 3分】【答案】10【1994-1 3分】【答案】11【2009-1 4分】【答案】12【2004-1 4分】【答案】13【2002-1 3分】【答案】14【2000-1 3分】【答

16、案】15【2013-3 4分】【答案】16.【2015-3 4分】【答案】17.【2012-3 4分】【答案】：18【1998-1 5分】【答案】根據(jù)比較審斂法可知級(jí)數(shù)收斂19【1994-1 8分】【答案】略20【2004-1 11分】【答案】略21【1999-1 7分】【答案】 （1）22【1997-1 8分】【答案】略23【2014-1 10分】【答案】略24【2008-1 4分】【答案】25【1997 -1 3分】【答案】26【2000-1 6分】【答案】收斂區(qū)間為；級(jí)數(shù)在點(diǎn)處發(fā)散;在點(diǎn)處收斂.27【1995-1 3分】【答案】28【20023 4分】【答案】29.【2011-1 4分】

17、【答案】30.【2011-1 4分】【答案】31【20093 4分】【答案】32【2006-1 12分】【答案】.33【1994-1 5分】【答案】.34【2001-1 8分】【答案】，35【2003-1 12分】【答案】，.36【19953 6分】【答案】.37【20073 10分】【答案】，收斂區(qū)間為 .38【2010-1 10分】【答案】和函數(shù)為，收斂域?yàn)?9.【2003-3 9分】【答案】，處取極大值，40.【2005-3 9分】【答案】41【2005-1 12分】【答案】收斂區(qū)間為，42【2007-1 10分】【答案】 （2）43【20013 8分】【答案】44【20053 9分】【答案】45.【20121 10分】【答案】：.和函數(shù)：46.【20131 10分】【答案】：（I）略；（II）.47.【20143 10分】【答案】：收斂域?yàn)椋秃瘮?shù)為.48【20063 10分】【答案】49【1993-1 7分】【答案】50【1996-1 7分】【答案】51【2009-1 9分】【答案】52.【2000-3 6分】【答案】53【19993 3分】【答案】54【1993-1 3分】【答案】55【20