洛必達(dá)法則解決問題

1、洛必達(dá)法則解決問題洛必達(dá)法則簡介：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1) lim f x 0 及 lim g x 一x ax a *(2) 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且 g'(x)半0;(3)f xl o g x法則2 若函數(shù)f(x)(1) ximf x(2)且 g'(x)(3)那么limx a g xx= limx a和g(x)滿足下 列條件:0 及 xim g xAf 0，f(x)工0;lim - l ,x g x若函數(shù)f(x)及 xmagx(2) 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)半0;(3)法則3lim f xx

2、ax ag(x)在那么，A與A，上可導(dǎo)，limx =limx g x x和g(x)滿足下列條件：那么limx a g xlim l ,那 P么 lim x = lim xagXxagxxag利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：CD將上面公式中的xf axfx換成xfx f - oo,型。x a , x a洛必達(dá)法則也成立。洛必達(dá)法則可處理0，-, 0 , 1 ,0, 00 ,C在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足 舟，0 0，0，當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑型定式，否則濫用洛必達(dá)法則0 ，1，會出錯。達(dá)法則，求極限。C若

3、條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到 求出極限為止。二.高考題處理f (x) ex 1 x ax2 o1.(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)(1) 若a 0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若當(dāng)x 0時f(x) 0，求a的取值范圍 原解：(1) a 0 時，f(x) ex 1 x，當(dāng) x ( ,0)時，f'(x) 0 ；單調(diào)減少，在(0,(II ) f'(x) ex 1由(I)知ex 1xe-；當(dāng) x(o,)單調(diào)增加f'(x) ex 1 .)時，f'(x) 0 故 f(x)在(,0)f '(x) x 2ax2 axx，當(dāng)且僅當(dāng)(1 2a) x ,x 0時

4、等號成立故于是當(dāng)x 0時，f(x) 0. 由 ex 1 x(x 0) 彳得 e1 x（x 0）.從而當(dāng)a 1時，xxf '(x) e 1 2a (e 1) 故當(dāng) x (0,ln 2a)時，f'(x)0 時,f (x)0時，f(x) 0等價于a0，對任意實(shí)數(shù)a,均在f(x)xe x 12x則 g (x)xe x 12x(x>0),ex(ex 1)(ex 2a)，0，而 f(0) 0，于是當(dāng) x (0,ln2a)時， f(x) 0.綜合得a的取值范圍為f原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法貝 處理如下：另解：（II）當(dāng)x當(dāng)xxxxe 2e x 23 ，xx 2 x

5、0，貝卩 h x Xe* e* 上為增函數(shù)，h xxxxe 2e x在0, 為增函數(shù)， 數(shù)。x由洛必達(dá)法則知，limx 0 xh x h 00 ； g xx1, h x xe 0,h 00 ； 知 h x 在 0,0 , g(x)在0,上為增xxe e 1lim lim 22，x 0 2xx 022綜上，知a的取值范圍為 冷o2. (2011年全國新課標(biāo)理)已知函數(shù)，曲線 y點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3 0 o (I)求 a、(H)如果當(dāng)b的值；0，且x 1時，f(x)k的取值范圍。原解：(I) f '(x)(口 ln x) bx _b_(x 1)2x2由于直線x2y0的

6、斜率為2，且過點(diǎn)(1,1),故f (1) 1,1即2，f'(1)1,b解得a(H)由f(x)In xx 1f(x)竺-)Fx 1-(2ln x x(k 1)(x2 1)ox慮函數(shù)h(x) 2lnx(k 1)(x2 1) (x 0)xh'(x) Ix1) 2xo22x2(i)設(shè) k 0，由 h'(x) k(x 叮"知，當(dāng) x 1 時，h'(x) 0, h(X)遞減。而 h(1) 0故當(dāng) x (0,1)時,h(x) 0，可得宀 h(x) 0 ；I x、/當(dāng) x (1, + )時，h (x) <0,可得1r x2 h (x) >0從而當(dāng) x>

7、;0,且 x 1 時，f (x) - ( -ln+-) >0,x 1 xf (x) >斗+廠x 1 x(ii)設(shè) 0<k<1.由于 (k 1)( x2 1) 2x = (k 1)x2 像開口向下，且4 4(k 1)2 0 '對稱軸X=±1 k2x k 1 的1當(dāng)x (圖1,)時，(k-1) (x2 +1) +2x>0,故h'(x) >0,h (1) =0,故當(dāng) x (1,)時，h (x) >0,可得Fphx(x) <0,與題設(shè)矛盾。(iii)設(shè)k 1.此時 而h (1) =0,故當(dāng)x1得r?21 2x , (k 1)(x

8、1)(1, + )時,h (x) <0,與題設(shè)矛盾。x2'(x) >0, 可2x 0 hh (x) >0,綜合得，k的取值范圍為(-原解在處理第(II )時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法 則處理如下：另解：(II )由題設(shè)可得，當(dāng)x 0,x 1時，k嚴(yán)1恒成1 x立。令 g (x)= 12xlnx 1 (x 0,x 1),則 g xx22x21再令h xx21 l nx x21 (0,x1x2xln x xx12ln x 12x1 0 ；故當(dāng) x (0,1)時，,易知h x2ln x1 2 在 0,x0，當(dāng)x上為增函數(shù)，(1, + )時，h x在0,1上為減函數(shù)，在1,上為增函數(shù);x >h 1 =0hx在0,上為增函數(shù)Q h 1 =0當(dāng) x (0,1)時，h x 0，當(dāng) x(1，+)時，h x 0當(dāng) x (0,1)時，g x 0，當(dāng) x(1，+)時，g x 0h0 ；1，上為增函數(shù)達(dá) 法 則2 1 1 02-,0g x在0,1上為減函數(shù)，在由 洛 必小xln