等價無窮小量的替換法求極限

1、等價無窮小量的替換法求極限樊寶恒（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070）摘 要： 討論了等價無窮小量以及等價無窮小量替換法求極限以及在運算中互相替換時要注意的一些問題.Abstract: Some problems are discussed as well as the Equivalent Infinitesimal Substitution of Equivalence Infinitesimal Method for limit and replace each other in operation should pay attention to.關(guān)鍵詞： 無窮小量；

2、無窮大量；等價無窮小量；極限Keywords: infinitesimal; infinity; l; infinite product; limit 一 等價無窮小量的定義 設(shè)f在某內(nèi)有定義，若 則稱f為當(dāng)時的無窮小量設(shè)當(dāng)時，f于g均為無窮小量若 則稱f于g是當(dāng)時的等價無窮小量。記作二 等價無窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 求函數(shù)的極限技巧很強，可利用無窮小等價的關(guān)系，簡化了求某些 型的極限的計算 引理 設(shè)函數(shù)（x），（x）滿足下列條件： 在a的某個去心鄰域內(nèi)均有非零導(dǎo)數(shù)（1）lim f（x）=0，；（2）則 ， （3）當(dāng)f（x），>0時, =1 證明 由洛比達法則; ; =,證畢定理1 設(shè)

3、函數(shù)f(x),g(x)及,滿足下列條件: （1）在a的某去心鄰域內(nèi)均有導(dǎo)數(shù) （2）在xa時,均為無窮小量, ,于是;(1) 若(2) 若f(x), >0，且,則證明 由引理(1) 故(2) 故 如果我們能熟記一些符合定理條件的一些無窮小量,則在求某些型的極限時將很方便. 如時, 等,均為無窮小量,且 所謂等價無窮小，是指在同種變化趨勢下，和 都是無窮小，且0，如果，那么和是等價無窮小，記。這意味著在這一極限過程中，和趨近于零的速度基本相同。例如因為，所以當(dāng)時，都是等價無窮小，即。常見的等價形式有：時，,例1 因為當(dāng)時解 原式=例2解 使用等價無窮小，當(dāng)時上式=例3 求解 它是型，按以前的

4、求極限方法，它是不能用等價無窮小來代替，用洛必達法則計算 原式= 很顯然，這個題目直接用洛比達法則求解太繁，我們考慮函數(shù)中使用等價無窮小進行化簡。注意到：當(dāng)時，有原極限= 可見，對一些無法直接使用等價無窮小的極限式直接使用洛比達法則，會造成計算量大而且通過對函數(shù)式的構(gòu)造變換，再使用等價無窮小，就很容易求得答案了。數(shù)列極限的常見求法（1）極限的四則運算法則若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，其有例4 求解 由得 （2） 利用重要極限求數(shù)列的極限兩個重極限分別為例5 求解 （3）單調(diào)有界數(shù)列法這一方法是利用極限理論基本定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，其方法為:(1)判定數(shù)列是單調(diào)有界的，從而可設(shè)其極限

5、為A。（2）建立數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系式。（3）在關(guān)系式兩端取極限，得以關(guān)于A的方程，若能解出A，問題得解。例8求數(shù)列其中（a>0）極限解: 設(shè)，則是單調(diào)有界數(shù)列，它必有極限，設(shè)其極限為A在兩邊取極限得即所以，因為A>0所以即（4）利用定積分計算計算項數(shù)無限增多的無窮小量之和，有時可設(shè)法把問題化為某一函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限問題，從而利用定積分求解。有時問題呈現(xiàn)乘積的形式，也可試用本方法，只式要先取對數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為和的形式。例6 計算解 、先考慮，從而有因此（5）變上限積分的極限常用的變上限積分的等價無窮小有： 其中上述等式可以用洛比塔法則直接證明，證明中我們可以看到被積函數(shù)之間是等價無窮小，由此可得將被積函數(shù)用等價無窮小代換后的變上限積分仍是等價無窮小，即是:定理3 若當(dāng)存在，則。證明：由此定理還可以得出如下結(jié)論，例如：例7 求解 原式=例 8 求解 原式=（6）冪指數(shù)數(shù)激增和Taylor公式使用定理4 設(shè)，且證明 例9 求 解 因為，當(dāng)時，有，所以原式= 在求極限過程中，初學(xué)者往往對問題直接計算，造成計算量大，甚至死路一條，若平時學(xué)習(xí)注意積累一些必要的素材，對極限問題按所掌握的素材進行構(gòu)造性的轉(zhuǎn)換，利用等價無窮小進行化簡，再結(jié)合洛比達法則，就很容易得答案了。從而有效地提高學(xué)生思