第七章線性變換總結篇(高等代數)

1、第 7章 線性變換7.1知識點歸納與要點解析一線性變換的概念與判別1.線性變換的定義數域上的線性空間的一個變換稱為線性變換，如果對中任意的元素和數域中的任意數，都有：，。注：的線性變換就是其保持向量的加法與數量乘法的變換。2.線性變換的判別設為數域上線性空間的一個變換，那么：為的線性變換3.線性變換的性質 設是數域上的線性空間，為的線性變換，。性質1. ;性質2. 若線性相關，那么也線性相關。性質3. 設線性變換為單射，如果線性無關，那么 也線性無關。注：設是數域上的線性空間，是中的兩個向量組，如果：記：于是，若，是的一組基，是的線性變換， 是中任意一組向量，如果： 記：那么：設，是矩陣的列向

2、量組，如果是的一個極大線性無關組，那么就是 的一個極大線性無關組，因此向量組的秩等于秩。4. 線性變換舉例（1）設是數域上的任一線性空間。零變換： ； 恒等變換：。 冪零線性變換：設是數域上的線性空間的線性變換，如果存在正整數，使得，就稱為冪零變換。 冪等變換：設是數域上的線性空間的線性變換，如果，就稱為冪等變換。（2）,任意取定數域上的一個級方陣 ，令：。（3），。（4），是中一固定矩陣，。二線性變換的運算、矩陣1. 加法、乘法、數量乘法（1） 定義： 設是數域上的線性空間，是的兩個線性變換，定義它們的和、乘積分別為：對任意的 ，任取，定義數量乘積為：對任意的的負變換為：對任意的則、與都是的

3、線性變換。（2）=為的線性變換，按線性變換的加法和數乘運算做成數域上的維線性空間。2. 線性變換的矩陣（1）定義：設是數域上的維線性空間，是的線性變換，是的一組基，如果：那么稱矩陣為線性變換在基下的矩陣。此時： （2）線性變換的和、乘積、數量乘積、逆變換、負變換及線性變換多項式的矩陣：設是數域上的維線性空間的一組基，設它們在下的矩陣分別為。1）， 是數域上的線性空間到數域上的線性空間的同構映射，因此。 2）可逆可逆3）、與在基下的矩陣分別為與； 任取，在基下的矩陣為； 若為可逆線性變換，則在基下的矩陣為； 設為數域上的任一多項式，那么（為的恒等變換）在基下的矩陣為：。三特征值、特征向量與對角矩

4、陣1. 矩陣的特征值與特征向量（1）矩陣的特征多項式：設為級復方陣，將多項式稱為的特征多項式。注： 1）若，則：2) 將稱為矩陣的特征矩陣，稱為矩陣的特征方程。（2） 定義：級方陣的特征多項式在復數域上的所有根都叫做其特征值（根），設是的特征值，齊次線性方程組的每個非零解都叫做矩陣的屬于其特征值的特征向量。（3）求法：1）求在復數域上的所有根（重根按重數計算）；2）對解齊次線性方程組，得其一個基礎解系（秩），則矩陣的屬于特征值的全部特征向量為，其中為不全為零的任意常數（復數）。（4） 重要結論：1）設是的特征值，是的屬于其特征值的特征向量，為一復系數多項式。 為的特征值，為的屬于特征值的特征向

5、量； 如果還是可逆矩陣，那么與分別為和的特征值，為的屬于特征值的特征向量，為的屬于特征值的特征向量， 若是矩陣的全部特征值，那么就是的全部特征值，如果還是可逆矩陣，則為的全部特征值，為的全部特征值；2）若是矩陣的全部特征值，那么，。2. 線性變換的特征值與特征向量（1）定義：設是數域上的線性空間的線性變換，若存在，使得，就稱為的一個特征值，為的一個屬于特征值的特征向量。（2）線性變換的特征多項式設是數域上的維線性空間的線性變換，任取的一組基，設 在該基下的矩陣為，稱矩陣為的特征多項式為的特征多項式，記為，即線性變換的特征多項式為其在任意基下矩陣的特征多項式。（3）求法：設是數域上的維線性空間的

6、線性變換。1）取定的一組基，求出在該基下的矩陣；2）求在中的所有根（，重根按重數計算，且表示無特征值）。3）若，對解齊次線性方程組，得其一個基礎解系（秩），則線性變換的屬于特征值的全部特征向量為，其中為中不全為零的任意常數。3. 矩陣相似（1）定義：設是數域上的兩個級方陣，如果存在數域上的級可逆矩陣，使得，就稱矩陣相似于矩陣，記為。（2）性質：1）矩陣相似是等價關系，即：設都是級方陣，那么：； 若，那么； 若且，則。2）若，那么，因此矩陣與矩陣 有相同的特征值，相同的跡（），相同的行列式（）。3）兩個實對稱陣相似它們有相同的特征值。（3）有限維線性空間上的線性變換在不同基底下的矩陣彼此相似。（

7、4）若，那么。4. 線性變換與矩陣可對角化（1）矩陣可對角化1）設是級方陣，如果存在級可逆矩陣，使得為對角陣，則稱可對角化。2）級方陣可對角化有個線性無關特征向量。3）如果級方陣有個不同的特征值，則可對角化。4）設是級方陣的所有不同的特征值，稱為的代數重數；稱秩為的幾何重數；級方陣可對角化對都有的代數重數=的幾何重數。注：1. 設齊次線性方程組的解空間為，則2. 稱為級方陣的屬于特征值的特征子空間，那么（2）線性變換可對角化1） 設是數域上的維線性空間的線性變換，如果存在的一組基，使得 在該基下的矩陣為對角陣，就稱可對角化。 2）數域上的維線性空間的線性變換可對角化有個線性無關特征向量。3）設

8、是數域上的維線性空間的線性變換，如果有個不同的特征值，則可對角化。 4）設是數域上的維線性空間的線性變換，在的一組基下的矩陣為， 設是級方陣的所有不同的特征值。 若，那么： 可對角化對都有的代數重數=的幾何重數。 若不全在數域中，則不可對角化。注：的幾何重數 =，其中為的屬于特征值 的特征子空間。四線性變換的值域與核 1.定義：設是數域上的線性空間的線性變換，將，分別稱為線性變換的核與值域（與也分別記為與）。2.線性變換的秩與零度： 與都是的子空間，將 與分別稱為的秩和零度。3. 有限維線性空間的線性變換的值域與核設是數域上的維線性空間，是的線性變換，為的一組基， 在該基下的矩陣為，秩，。1）

9、是齊次線性方程組的解。 2）若是的一個基礎解系，那么（其中）就是的一組基，于是： 因此的秩和零度為。 3）于是的一個極大線性無關組就是的一組基，而的秩等于秩=，所以，即的秩為秩=。4）。3. 求法：設是數域上的維線性空間，是的線性變換。1）的求法： 取定的一組基，求出在該基下的矩陣； 解齊次線性方程組，得其一個基礎解系（秩）； 令，得的一組基， 2）的求法： 取定的一組基，求出在該基下的矩陣； 設矩陣的列向量組為，求出的一個極大線性無關組就得到的一個極大線性無關組，就是的一組基。 五不變子空間1. 定義：設是數域上的線性空間的線性變換，是的子空間，如果對，都有（即），就稱是的不變子空間，也稱-

10、子空間。2. 設是數域上的線性空間，那么與都是的任一線性變換的不變子空間。3. 設是數域上的線性空間的線性變換，是的任意一個特征值，那么的特征子空間都是的不變子空間。4. 線性變換的循環(huán)子空間：設是數域上的維線性空間的線性變換，任取，必存在正整數，使得線性無關，而線性相關，令，則是的不變子空間，稱為的循環(huán)子空間。5. 設是數域上的維線性空間，是的線性變換，是的不變子空間， ，取的一組基，將其擴充為的一組基，那么在該基下的矩陣為，其中為在的基下的矩陣。六若爾當 (Jordan) 標準形 1.若爾當塊與若爾當形矩陣：1）若爾當塊：形式為 的矩陣稱為若爾當塊，其中為復數。 2）若爾當形矩陣：由若干個若爾當塊組成的準對角陣稱為若爾