復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題附有答案

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題.填空題(每小題3分，共計(jì)15分)工忖3的幅角是(2k,k0,1,2);2.3Ln(1i)的主值是13ln2i24)；3.14f(z)2,f(0)(0),4.zzsinzz4一的(一級(jí))極點(diǎn);Resf(z),(-1)；.選擇題(每題3分，共15分)解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為(2.3.(A)f(Z)(Of(z)C是正向圓周|z如果級(jí)數(shù)cnzn1ux3,iUy；ivy；如果函數(shù)(B)f(z)UxiUy；(D)f(z)Uyivf(z)()，則)f(z)dz0.C。一n在z2點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在(A)z2點(diǎn)條件收斂；(B)z2i(C)z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂;(

2、D)(z32)2.點(diǎn)絕對(duì)收斂;(D)z12i點(diǎn)一定發(fā)散.4 .下列結(jié)論正確的是()(A)如果函數(shù)f(z)在4點(diǎn)可導(dǎo)，則f(z)在zo點(diǎn)一定解析;(B)如果f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，則%f(z)dz0C(C)如果0f(z)dz0,則函數(shù)f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；C(D)函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù).5 .下列結(jié)論不正確的是().1 ,(A)為sin的可去可點(diǎn)；(B)為sinz的本性奇點(diǎn)；z、，1(C)為一1的孤立可點(diǎn)；(D)為L(zhǎng)的孤立奇點(diǎn).sinsinzz三.按要求完成下列各題(每小題10分，共

3、40分)(1) .設(shè)f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函數(shù)，求a,b,c,d.解：因?yàn)閒(z)解析，由C-R條件a2,d2,a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。ze(2).計(jì)算口；dz其中C是正向圓周：C(z1)z解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程z因?yàn)楹瘮?shù)f(z)土-在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)Zi0,Z21,分別以Zi,Z2為圓心畫(huà)互不相交(Z1)2zze.互不包含的小圓C1,C2且包于c內(nèi)-dzC(z1)zZe(z 1)2 dZJ z- dzC2 (z 1)(3).15 Zz 3

4、(1 z2)2(2 z4)3 dz無(wú)論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分。解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：Z3內(nèi)，由留數(shù)定理15為34-rdz2iResf(z),-(5分)lzl3(1z)(2z)(8分)(10 分)1115Z2iResf()zzr?dz2ilzl3(1z2)2(2z4)323z(z1)(z2)/c2(4)函數(shù)f(z)'/.、3(z3)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請(qǐng)(sinz)指出它的級(jí).,232f(z)晅1)(Z2)3(Z3)的奇點(diǎn)為zk,k0,1,2,3,(sinz)zk,k0,1,2,3,為(sinz)30的三級(jí)零點(diǎn),(2)

5、 Z0,z1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn),(3) Z3為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，(4) z2,3,4,為f(z)的三級(jí)極點(diǎn);(5) 為f(Z)的非孤立奇點(diǎn)備注：給出全部奇點(diǎn)給5分，其他酌情給分。四、(本題14分)將函數(shù)f (z)在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅 朗級(jí)數(shù);1)(1)(2)解：(1)當(dāng)0而二(z1 1)1)n(z1)nf(z)(1)nn 01n(z1)n 2f(z)z2(z 1)1 z2(Tz)10(3)當(dāng) 1f(z)(1)n0 z14每步可以酌情給分。五.(本題10分)用Laplace變換求解常微分方程定解問(wèn)題:解：對(duì)y(x)的Laplace變換記做l(s),依據(jù)Laplac

6、e變換性質(zhì)有2s L(s) s 1 5(sL(s) 1) 4L(s)(5分)整理得L(s)1 1(s 1)( s 1)(s 4) s 111110(s1)6(s1)15(s4)15110(s1)6(s1)15(s4)(7分)y(x)1-e101 4xe15(10 分)六、(6 分)求 f (t) e t (0)的傅立葉變換，并由此證明解：F()e i te "kt (0) 3 分112F()ii22(0)-4分1.f(t)2-eitF()d(0)-5分f(t)n-cord(0),-6分?復(fù)變函數(shù)與積分變換？期末試題簡(jiǎn)答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(B)填空題(每小題3分，共計(jì)15分)的幅角是(_ 2k

7、 ,k 0 1, 2,)4Resf(z),0一、 1”);3. f(z) -z2, f (0)( 0)，、1(0 )； 5. f (z) -2 , Res f (z),2. Ln( 14. f(z)(0i)的主值是z sin z3，z)；二.選擇題(每小題3分，共計(jì)15分)1.解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為()；(A) f (z) Uy iVx；(B) f (z) Ux iUy；(C) f (z) Ux ivy；(D) f (z) Ux iUy.2. C是正向圓周|z 2,如果函數(shù)f(z)(),則 f(z)dz 0.(A)(B)3z；z 1(C)3z2 ?(z 1)(D)

8、2 .(z 1)3 .如果級(jí)數(shù)Cnzn在z2i點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在n1(A)z2點(diǎn)條件收斂；(B)z21點(diǎn)絕對(duì)收斂；(C)z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂；(D)z12點(diǎn)一定發(fā)散.4 .下列結(jié)論正確的是()(A)如果函數(shù)f(z)在z。點(diǎn)可導(dǎo),則f(z)在z。點(diǎn)一定解析;(B)如果f(z)dz0,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線(xiàn),則f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解C析;(C)函數(shù)f(z)在Z0點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開(kāi)成為zZ0的幕級(jí)數(shù)，而且展開(kāi)式是唯一的;(D)函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù).5 .下列結(jié)論不正確

9、的是().(A)、lnz是復(fù)平面上的多信函數(shù)；(B)、cosz是無(wú)界函數(shù);(C)、sinz是復(fù)平面上的有界函數(shù)；(D)、ez是周期函數(shù).得分|三.按要求完成下列各題(每小題10分，共計(jì)40分)(1)求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函數(shù),解：因?yàn)閒(z)解析，由c-r條件a2,d2,a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。.1(2).Cz(z1)2dz.其中C是正向圓周|z2;解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)f(z)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)Zi0,z21,分

10、別以Zi，Z2為圓心畫(huà)互不相交(z1)Z14互不包含的小圓。£2且包于c內(nèi)QCdzC(z1)z(z1)2,dzC1z二z-dzC2(z1)13zzez.(3).計(jì)算oCT；rdz,其中C是正向圓周z2；C(1z)解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：z2內(nèi),由留數(shù)定理國(guó)2f(Z)dz2iResf(z),2*(5分)/23(4)函數(shù) f (z)如果有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的-J在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,(sinz)級(jí).5分。其他酌情給分。給出全部奇點(diǎn)給四、(本題14分)將函數(shù)f(z)1；一在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù);(z1)(1)01,(2)(3)(1)0(2)(3)解：(1)當(dāng)0而(1 (z 1)(zn 01)nn 1n(z 1)n 0f(z)n(z1)n2n0f(z)11-2= -2z (z 1) z nn n(1) z0(3)當(dāng) 1f(z)n 2(1)z010-13( Az n 0 z14（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問(wèn)題解：對(duì)y（x）的Laplace變換記做l（s）