(完整版)勾股定理奧數(shù)基礎(chǔ)匯總

1、勾股定理一、內(nèi)容提要1.勾股定理及逆定理：ABC 中 C Rta2 b2=c22. 勾股定理及逆定理的應(yīng)用作已知線段a 的2 ，3 ，5 倍計(jì)算圖形的長度，面積，并用計(jì)算方法解幾何題證明線段的平方關(guān)系等。3.勾股數(shù)的定義：如果三個(gè)正整數(shù)a,b,c 滿足等式a2 b2=c2，那么這三個(gè)正整數(shù)a,b,c 叫做一組勾股數(shù).4. 勾股數(shù)的推算公式羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數(shù)學(xué)家1789 1853）任取兩個(gè)正整數(shù) m 和 n(m>n), 那么 m2-n2 ，2mn,m2+n 2 是一組勾股數(shù)。如果 k 是大于 1 的奇數(shù)，那么 k, k21, k 21 是一組勾股數(shù)。22K22如果 k 是大于

2、 2 的偶數(shù)，那么1,Kk,1 是一組勾股數(shù)。22如果 a,b,c 是勾股數(shù)，那么 na,nb,nc(n 是正整數(shù) )也是勾股數(shù)。5. 熟悉勾股數(shù)可提高計(jì)算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有：3，4， 5；5， 12， 13；7， 24，25；8， 15， 17； 9， 40，41。1.常用勾股數(shù)口訣記憶常見勾股數(shù)3， 4， 5 ： 勾三股四弦五5， 12，13： 5·12 記一生6， 8， 10 ： 連續(xù)的偶數(shù)7， 24，25： 企鵝是二百五8， 15，17： 八月十五在一起特殊勾股數(shù)連續(xù)的勾股數(shù)只有3，4，5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6， 8， 102.100 以內(nèi)的勾股數(shù)開頭

3、數(shù)字為20 以內(nèi)6. 345；51213 ； 6810；72425；81517 ；91215 ；94041；102426 ；116061 ；121620 ；123537 ；138485 ；14 48 50 ；15 20 25；15 36 39；16 30 34 ；16 63 65 ；18 24 30；18 80 82二、例題例 1.已知線段 aa5 a2a3a5 a求作線段5 aa分析一：5 a 5a2222a 4aa1 5 a 是以 2a 和 a 為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。22分析二：5 a 9a 4a 5 a 是以 3a 為斜邊，以 2a 為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。作圖（略

4、）例 2.四邊形 ABCD 中 DAB 60 ， B D Rt， BC 1， CD2求對角線 AC 的長例 3.已知 ABC 中， AB AC ， B 2 A求證： AB 2 BC 2 AB ×BC例 4.如圖已知 ABC 中， AD BC ， AB CD AC BD求證： AB AC例 5.已知梯形ABCD 中， AB CD ，AD BCAcbBmDnC求證： AC BD證明：作DE AC ，DF BC，交 BA 或延長線于點(diǎn)E、 FACDE 和 BCDF 都是平行四邊形 DE AC ，DF BC， AE CD BF作 DH AB 于 H，根據(jù)勾股定理AHAD2-DH 2 ，F(xiàn)HD

5、F 2 -DH 2 AD BC， AD DF AH FH， EH BHDEDH 2EH 2 ，BDDHBH 2 DE BDDjCEAHFB即 AC BD例 6.已知：正方形 ABCD 的邊長為 1，正方形 EFGH 內(nèi)接于ABCD ， AE a，AF b,且 SEFGH 2AED3求： ba 的值（ 2001 年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二）H三、練習(xí)1. 以下列數(shù)字為一邊，寫出一組勾股數(shù)：FBGC7， 8， 10，11，2. 根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值： 9， 12，252 242， 52 122，82152 ，252 -152 3.ABC 中， AB 25，BC 20， CA 15，

6、CM 和 CH 分別是中線和高。那么S ABC ， CH ， MH4.梯形兩底長分別是 3 和 7，兩對角線長分別是 6 和 8，則 S 梯形 5.已知： ABC 中， AD 是高， BE AB ， BE CD ，CF AC ， CF BD 求證： AE AF26.已知： M 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，MD BC， ME AC ， MF AB ，且 BD BF， CD CE求證： AE AFFEAA(5)EFMBCB DCD7.在 ABC 中， C 是鈍角， a2-b2=bc求證 A2B8.求證每一組勾股數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)。（用反證法）9.已知直角三角形三邊長均為整數(shù)，且周長和面積的數(shù)值相等，

7、求各邊長10 等腰直角三角形ABC 斜邊上一點(diǎn)P，求證： AP 2 BP2 2CP211.已知 ABC 中， A Rt， M 是 BC 的中點(diǎn)， E， F 分別在 AB ， ACME MF求證： EF2 BE2 CF212.Rt ABC 中，ABC 90， C 60 0 ，BC 2，D 是 AC 的中點(diǎn)，從 D 作 DE AC 與 CB 的延長線交于點(diǎn)E，以 AB 、 BE 為鄰邊作矩形ABEF ，連結(jié) DF ，則 DF 的長是。 （ 2002 年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽，初二試題）AFA(11)(12)EFDBEMCBC13. ABC 中， AB AC 2， BC 邊上有100 個(gè)不同的點(diǎn) p1，

8、p2， p3， p100,記 mi=AP i2+BP i× PiC (I=1,2 ， 100) ，則 m1+m 2+ m100=_7. 知識點(diǎn)一：勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長分別為： a， b，斜邊長為 c，那么 a2 b2 c2即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方要點(diǎn)詮釋：（ 1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。（ 2）勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。（ 3）理解勾股定理的一些變式：c2=a2+b2 , a2=c 2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b) 2-2ab知識點(diǎn)二：用面積證明勾股定理方法一： 將四個(gè)全等的直角三角

9、形拼成如圖（1）所示的正方形。圖（ 1）中，所以。3方法二： 將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。圖（ 2）中，所以。方法三： 將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖（3） 1 和（ 3） 2 所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。在（ 3） 1中，甲的面積 =（大正方形面積）（4 個(gè)直角三角形面積） ,在（ 3） 2中，乙和丙的面積和 =（大正方形面積）（4 個(gè)直角三角形面積） ,所以，甲的面積 =乙和丙的面積和，即：.方法四： 如圖（ 4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。，所以。經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90 °(1) 已知 a=6

10、， c=10，求 b，(2)已知 a=40， b=9，求 c；(3) 已知 c=25 ， b=15，求 a.思路點(diǎn)撥 : 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析： (1) 在 ABC 中， C=90 °， a=6， c=10,b=(2) 在 ABC 中， C=90 °， a=40， b=9,c=4(3) 在 ABC 中， C=90 °， c=25 ， b=15,a=舉一反三【變式】 : 如圖 B= ACD=90 ° , AD =13,CD =12, BC=3, 則 AB 的長是多少 ?類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖

11、，已知：在中，. 求： BC 的長 .總結(jié)升華 ：利用勾股定理計(jì)算線段的長，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用. 當(dāng)題目中沒有垂直條件時(shí)，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理.舉一反三 【變式 1】如圖，已知：，于 P.求證：.【變式 2】已知：如圖，B= D=90 °， A=60 °， AB=4 ， CD=2 。求：四邊形ABCD 的面積。類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá) B 點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到達(dá)目的地C 點(diǎn)。（ 1）求

12、 A 、C 兩點(diǎn)之間的距離。（ 2）確定目的地C 在營地 A 的什么方向?？偨Y(jié)升華 ：本題是一道實(shí)際問題，從已知條件出發(fā)判斷出ABC 是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?5（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A 、 B、 C、D ，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫助計(jì)算

13、一下，哪種架設(shè)方案最省電線舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程一只螞蟻從長、寬都是3，高是 8 的長方體紙箱的 A 點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是 _類型四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、的線段。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確7、如果ABC 的三邊分別為a、 b、c，且滿足 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，判斷ABC 的形狀。舉一反三 【變式1】四邊形ABCD中， B=9

14、0 °， AB=3 ， BC=4 ，CD=12 ， AD=13 ，求四邊形ABCD的面積。【變式 2】已知 :ABC 的三邊分別為m2 n2,2mn,m2+n2(m,n 為正整數(shù) ,且 m n),判斷 ABC 是否為直角三角形 .【變式 3】如圖正方形ABCD ，E 為 BC 中點(diǎn)， F 為 AB 上一點(diǎn)，且BF=AB 。請問 FE 與 DE 是否垂直 ?請說明。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法61、若直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。總結(jié)升華： 直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反三【變

15、式 1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積?！咀兪?2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積?！咀兪?3】若直角三角形的三邊長分別是n+1， n+2 ，n+3 ，求 n。思路點(diǎn)撥： 首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。總結(jié)升華： 注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A 、8， 15，17B 、4， 5， 6C、 5， 8，10D 、8， 39， 40【變式 5】四邊形 ABCD 中， B=90 &#

16、176;， AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四邊形 ABCD 的面積。類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點(diǎn) P 處交匯，且 QPN 30°，點(diǎn) A 處有一所中學(xué)， AP 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100m 以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h ，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？總結(jié)升華 : 勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式

17、 1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設(shè)2 步為 1m），卻踩傷了花草?！咀兪?2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1 的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（ 1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（ 2）圖中的平行四邊形ABCD 含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD 的面積是多少？（ 3）求出圖中線段AC 的長（可作輔助線） ?！敬鸢浮浚?1）單位正三角形的高為，面積是。（ 2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD 含有 24 個(gè)單位正三角形，因此其面積。7（ 3）過 A

18、 作 AK BC 于點(diǎn) K （如圖所示），則在 Rt ACK 中，故類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決3 、如圖所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)， E、F 分別是AB 、AC 邊上的點(diǎn)，且 DE DF，若 BE=12 ， CF=5 求線段EF 的長?？偨Y(jié)升華 ：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如

19、圖所示，已知ABC 中， C=90°， A=60 °，求、的值?？偨Y(jié)升華： 在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。舉一反三：【變式 】如圖所示， 折疊矩形的一邊 AD ，使點(diǎn) D 落在 BC 邊的點(diǎn) F 處，已知 AB=8cm ，BC=10cm ，求 EF 的長。A2023B10、若 VABC 中， AB13cm, AC15cm，高 AD=12,則 BC的長為（）A：14B： 4C：14 或 4D：以上都不對18、如圖，是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、 3dm、 2dm， ?A 和 B 是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只

20、螞蟻，想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B 點(diǎn)的最短路程是；24、如圖，已知在ABC中， CD AB 于 D， AC 20， BC 15， DB 9。(1) 求 DC的長。C(2) 求 AB 的長。ADB27、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD 進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB 為 8cm， ?長 BC? 為 10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D 落在 BC 邊上的點(diǎn)F 處（折痕為AE ）想一想，此時(shí)EC 有多長？ ?ADE8BC初二奧數(shù)競賽第5 講勾股定理1.如圖， 以等腰直角三角形ABC的斜邊 AB為邊向內(nèi)作等邊ABD，連接 DC，以 DC為邊作等邊DCEB、E 在 C、D的同側(cè)，若AB=，

21、則 BE= _2如圖所示，在 ABC中， AB=5cm， AC=13cm，BC邊上的中線 AD=6cm，那么邊 BC的長為 _cm 3如圖，設(shè)P 是等邊 ABC內(nèi)的一點(diǎn)， PA=3， PB=4， PC=5，則 APB的度數(shù)是_4如圖，一個(gè)直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是1997，那么另一條直角邊的長為_ 5若 ABC的三邊 a、b、c 滿足條件：+338=10a+24b+26c ，則這個(gè)三角形最長邊上的高為_ 6如圖， AD是 ABC的中線， ADC=45°，把 ADC沿 AD對折，點(diǎn) C 落在 C處，則 BC與 BC之間的數(shù)量關(guān)系是 BC = _BC 7如圖， ABC是等腰直角三角形， BC是斜邊， P 為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，將 ABP繞點(diǎn) A