線性代數(shù)04-矩陣及其運(yùn)算

1、第二章第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算1 矩陣矩陣一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義二、矩陣的定義三、特殊的矩陣三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換四、矩陣與線性變換其中其中 表示有表示有航班航班始發(fā)地始發(fā)地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之間開辟了若干航線，四座城市城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示城市間的航班圖情況常用表格來表示:一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入為了便于計(jì)算，把表中的為

2、了便于計(jì)算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：就得到一個(gè)數(shù)表：ABCD A B C D這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況. .1111111000000000其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發(fā)送第發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量 例例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 111213142122232431323334a

3、aaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價(jià)，種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 1112212231324142bbbbbbbb一一二二三三1 12 23 34 4 由由 mn 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 排成的排成的 m 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為稱為 m 行行 n 列矩陣列矩陣，簡稱，簡稱 mn 矩陣矩陣( (matrixmatrix) )這個(gè)這個(gè)數(shù)表數(shù)表是是一個(gè)整體一個(gè)整體，用，用括號將數(shù)表括起來，括號將數(shù)表括起來， 記作記作 二、矩陣的定

4、義二、矩陣的定義111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 簡記為簡記為()()m nijm nijAAaa元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣. .這這 mn 個(gè)數(shù)稱為矩陣個(gè)數(shù)稱為矩陣 A 的的元素元素，簡稱為元，簡稱為元. .其中數(shù)其中數(shù) 稱為矩陣的第稱為矩陣的第 行第行第 列的元素列的元素. .ijaijn行數(shù)不一定等于列數(shù)行數(shù)不一定等于列數(shù)n共有共有mn個(gè)元素個(gè)元素n本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表n行數(shù)等于列數(shù)行數(shù)等于列數(shù)n共有共有n2個(gè)元

5、素個(gè)元素n本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)矩陣矩陣行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc

6、試求：工廠在一年內(nèi)向試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工廠向第工廠向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量其中其中cij 表示工廠表示工廠下半年下半年向第向第 i 家家商店發(fā)送第商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量種貨物的數(shù)量111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac111

7、213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac解：解：工廠在一年內(nèi)向工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 一、矩陣的加法一、矩陣的加法定義：定義：設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) mn 矩陣矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣那么矩陣 A 與與 B 的和記作的和記作 AB，規(guī)定為，規(guī)定為111112121121212222221122nnn

8、nmmmmmnmnababababababABababab說明：說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算. .121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知識點(diǎn)比較知識點(diǎn)比較111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 111311131113212321232123

9、313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交換換律律結(jié)結(jié)合合律律其其他他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)則矩陣加法的運(yùn)算規(guī)則, ,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC, ()ABAB 設(shè)設(shè) A、B、C 是同型矩陣是同型矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記記 ，稱為矩陣，稱為矩陣 A 的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣顯然顯然AOAAO OAAAA)(ijaA 15例如例如 102526151522,102030121720BA BA 4232 272045561010252026301

10、51215172220BA 102526151522,102030121720BA054322BA設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l l 件，試求：工廠向該商件，試求：工廠向該商店發(fā)送第店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量例（續(xù)）例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單件重量單件重量 1112212231324142bbbbbbbb 1112212231324142bbbbbbbb11

11、12212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll解：解：工廠向該商店發(fā)送第工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量l l 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單價(jià)單價(jià)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的種貨物的單件重量單件重量 二、數(shù)與矩陣的乘法二、數(shù)與矩陣的乘法(矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘)定義：定義：數(shù)數(shù) l l 與矩陣與矩陣 A 的乘積記作的乘積記作 l l A 或或 A l l ，規(guī)定為，規(guī)定為1

12、11212122211nnmmmnaaaaaaAAaaallllllllllllllllllllll一個(gè)數(shù)乘以矩陣就是用該數(shù)乘以矩陣的所有的元素一個(gè)數(shù)乘以矩陣就是用該數(shù)乘以矩陣的所有的元素20例如例如 AB4 102030121720A4 80 68 484080120結(jié)結(jié)合合律律分分配配律律備備注注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)則數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)則, ,a b cR()()ab ca bc ()abcacbc()()AAll ll ()AAAllll()cabcacb()ABABllllll設(shè)設(shè) A、B是同型矩陣，是同型矩陣，l l , , 是數(shù)是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來

13、，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算. .AA 1OA 0ABAl l，例例設(shè)設(shè)942631A304122B求求.BA43解解3041224942631343BA120164882712618931512101415111213212223313233aaaaaaaaal ll ll l 111213212223313233aaaaaaaaallllll 111213212223313233aaaaaaaaal l知識點(diǎn)比較知識點(diǎn)比較111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaallllllllllllllllllll 例（續(xù)）例（

14、續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：數(shù)量可用數(shù)表表示為：空調(diào)空調(diào)冰箱冰箱29彩電彩電 25彩電彩電甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店50405050 505040500107020502030A這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 售價(jià)售價(jià)重量重量空調(diào)空調(diào)3040冰箱冰箱163029彩電彩電223025彩電彩電1820 2018302230164030B試求試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總售價(jià)及總重量分別是多少？：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總售價(jià)及總重

15、量分別是多少？26 C甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售價(jià)售價(jià)重量重量11c 505040500107020502030A 2018302230164030B12c21c22c31c32c11c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 182022501620303026802680三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法定義：定義：設(shè)設(shè) ， ，那么規(guī)，那么規(guī)定矩陣定矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè) mn 矩矩陣陣 ，其中，其中()ijm sAa ()ijs nBb ()ijCc 1 1221sijijisijsjkkkijca ba ba ba b (1,2,;1

16、,2, )im jn并把此乘積記作并把此乘積記作 C = AB 說明：說明： 的的 元元 就是就是 的第的第 行元素與行元素與 的的 第第 列元素對應(yīng)乘積之和列元素對應(yīng)乘積之和.C),(jiijcABij03410121211130 , 3110514121AB 例：例：設(shè)設(shè)567102621710AB 則則29特別特別注意注意: 乘積乘積不可交換不可交換 可乘的前提是可乘的前提是 的的列列數(shù)數(shù)等于等于 的的行行數(shù)，否則不可乘數(shù)，否則不可乘.ABAB11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 沒有意義沒有意義. .只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的只有當(dāng)

17、第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. .2）,1331BAAB 和和 均有意義，但均有意義，但AB為為 1階階矩陣矩陣 為為3階矩陣，不相等；階矩陣，不相等； BABA 乘積乘積一般一般不可以交換，不可以交換，AB1） AB為為 矩陣，但矩陣，但 BA 無意義；無意義；,3112 BA32 312 321 10 3212 31 369246123 例如例如若若,BAAB 則稱則稱矩陣矩陣 乘積乘積可交換可交換.BA、例例2 22 224243612 2 20000 , AO BOAO BO 矩陣矩陣 卻有卻有 AB=0 ，從而不能由，從而不能由 A

18、B=0 得出得出 或或 的結(jié)論的結(jié)論.矩陣乘法不滿足交換律，所以矩陣相乘時(shí)必須注意順序矩陣乘法不滿足交換律，所以矩陣相乘時(shí)必須注意順序.,AXXAAXAB左乘左乘稱為用稱為用右乘右乘稱為用稱為用矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 (1)(1) 乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律 ()()AB CA BC (3)(3) 乘法對加法的分配律乘法對加法的分配律(2)(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中（其中 l l 是數(shù)）是數(shù)） ()ABA Bllll (4)(4) .kBABkAABkk為常數(shù)，若ACABCBA左左分配律分配律CABAACB右分配律右分配律定義定義 若若 A 是是 n 階階方陣

19、方陣，定義定義kkAAAA 性質(zhì)性質(zhì), ()klk lklklA AAAA 四、矩陣的冪四、矩陣的冪;1AA ;112AAA 11;AAAkk 為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中k特別注意特別注意 kkkBAAB)(1222BAABABABABAB)( 22222BABABA)(222BBAABABABABA)( 223BABABA)(22BBAABABABA)(若若A與與B可交換可交換(即即AB=BA),則以上則以上不等式不等式將變成將變成等式等式.五、五、矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義：定義：把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣(

20、 (Transpose) )，記作，記作AT . .例例 ,aAij 85422132 ；則則 82524143ijTbA823 b32a 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) ();TTAA (2) ();TTTABAB (3) ();TTAAllll (4) ().TTTABB A 例：例：已知已知 171201,423, .132201TABAB 求求解法解法11712014231322010143 ,171310AB 017()1413 .3 10TAB 解法解法2()TTTABB A 14221017720031413 .131123103 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣同型矩陣

21、與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣同型矩陣. .例如例如1214356843739與與為同型矩陣為同型矩陣. .2. 兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 與與 為同型矩陣，并且對應(yīng)元為同型矩陣，并且對應(yīng)元素相等，即素相等，即則稱矩陣則稱矩陣 A 與與 B 相等相等，記作，記作 A = B . .()ijAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijBb 注意：不同型的零矩陣是不相等的注意：不同型的零矩陣是不相等的. . 00000000 0000 .00000000例如例如 1. 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)

22、都等于 n 的矩陣，稱為的矩陣，稱為 n 階方陣階方陣可記作可記作 . .2. 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 稱為稱為行矩陣行矩陣(或或行向量行向量) . .只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱為稱為列矩陣列矩陣(或或列向量列向量) . .3. 元素全是零的矩陣稱為元素全是零的矩陣稱為零距陣零距陣可記作可記作 O . .12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如： 2 20000O 1 40000O 一、特殊一、特殊的矩陣的矩陣4. 形如形如 的方陣稱為的方陣稱為對角陣對角陣特別的，方陣特別的，方陣 稱為稱為單位陣單位陣12000000nl ll ll l12(,)nAdiagl ll

23、l ll 記作記作100010001 記作記作 nI對于單位矩陣，有對于單位矩陣，有,AAInmnmm ,AIAnmnnm 43 kkkkI0000005. 數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣(純量矩陣純量矩陣)：不在：不在對角線上的元素對角線上的元素都是都是0， 對角線對角線上的元素相同，這種矩陣稱為上的元素相同，這種矩陣稱為數(shù)量數(shù)量矩陣矩陣， 又又稱稱純量矩陣純量矩陣，用用 表示表示， 即即kI ijaA 6. 如果如果n階矩陣階矩陣 中的元素滿足條件，中的元素滿足條件， ji,aij 0則稱則稱A為為n階上三角形矩陣，即階上三角形矩陣，即 ，n,j , i21 nnnnaaaaaaA022211211 如

24、果如果n階矩陣階矩陣 中的元素滿足條件，中的元素滿足條件，則稱則稱B為為n階上三角形矩陣，即階上三角形矩陣，即 ，n,j , i21 nnnnbbbbbbB212221110 ji,bij 0 ijbB 7. 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那么那么 A 稱為稱為對稱矩陣對稱矩陣. . ,1,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果滿足如果滿足 A = AT，那么，那么 A 稱為稱為反對稱矩陣反對稱矩陣. . 對稱矩陣對稱矩陣 061607170A 反對稱矩陣反對稱矩陣 兩個(gè)對稱矩陣的乘積也是對稱矩陣嗎？兩個(gè)對稱矩陣的乘積也是對稱矩陣嗎？ 3

25、11121111100001010 311111121兩個(gè)對稱矩陣的乘積不一定還是對稱矩陣兩個(gè)對稱矩陣的乘積不一定還是對稱矩陣結(jié)論：結(jié)論：A和和B是兩個(gè)對稱矩陣，是兩個(gè)對稱矩陣，AB是對稱的是對稱的當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A與與B可交換可交換(即即AB = BA)。例：例：設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足滿足 X T X = 1，E 為為 n 階階單位陣，單位陣，H = E2XXT，試證明，試證明 H 是對稱陣，且是對稱陣，且 HHT = E. .證明：證明：(2)TTTHEXX2()TTEXX( 2)TTTEXX 2()TTTEXX2TEXXH 從而從而 H 是對稱陣是對稱陣 22(2)TTHHHEXX224( 2)TTEXXXX 44TTTEXXXX XX44()TTTEXXX X X X44TTEXXXXE 二、方陣的行列式二、方陣的行列式定義：定義：由由 n 階方陣