黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系

1、數(shù)學(xué)系1302班第五組07 樊萌12 韓鴻林19 蘭星21 李鴻燕45 王堃51 武相伶54 許小亭57 楊莉69 趙志陽(yáng)黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 1、黎曼積分定義：設(shè) 在上有界,對(duì)做分割,其中令,若有 則稱(chēng)在上黎曼可積.2、勒貝格積分定義：, ,作,其中,分別為在上的上界和下界,令,若存在,則勒貝格可積. 3、一般的可測(cè)函數(shù)的積分定義為:設(shè)在可測(cè)集E上可測(cè),若記，,則有,若,不同時(shí)為,則在上的積分確定且. 4、 簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義:設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),于是有對(duì)的劃分,在上的取值為,則,定義的勒貝格積分為,

2、若,則稱(chēng)在上勒貝格可積. 5、非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分定義:取上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,對(duì)任意的,都收斂于,則在上勒貝格可積其積分為.對(duì)一般的函數(shù)由于,則.若左端的兩個(gè)積分值都有限時(shí),稱(chēng)在上勒貝格可積.勒貝格積分是對(duì)黎曼積分的推廣,所以黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積,但勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積.黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較黎曼可積的條件黎曼可積的條件必要條件定義在上的黎曼可積的必要條件是在上有界.注 任何黎曼可積的函數(shù)必有界,但有界函數(shù)不一定黎曼可積. 黎曼可積的充分必要條件1、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即設(shè)在上有界,為對(duì)的任一分割,

3、其中令,有.2、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 .3、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 成立.4、定義在上的函數(shù)黎曼可積的充分必要條件為在上的一切間斷點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集.注 這說(shuō)明黎曼可積的函數(shù)時(shí)幾乎處處連續(xù)的.勒貝格可積條件1、設(shè)是定義在可測(cè)集上的有界函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為,總存在的某一分割,使得 . 2、設(shè)是定義在可測(cè)集上的有界函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測(cè).3、設(shè)在上的黎曼反常積分存在,則在上勒貝格可積的充要條件為在上的黎曼反常積分存在,且有 .4、設(shè)為上的可測(cè)函數(shù)列,在上的極

4、限函數(shù)幾乎處處存在,且,則在上勒貝格可積.5、設(shè)是是定義在可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測(cè).黎曼積分與勒貝格積分的性質(zhì)比較黎曼積分的性質(zhì)1、（線性性）若,是定義在上黎曼可積函數(shù),則,也在上黎曼可積.注 ,但.2、（區(qū)域可加性）設(shè)有界函數(shù)在,上都黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有 .3、（單調(diào)性）若,是定義在上黎曼可積,且,則.4、（可積必絕對(duì)可積）若在上黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有.注 其逆命題不成立.5、若在上黎曼可積,則在的任意內(nèi)閉子區(qū)間上也黎曼可積.且其積分值不會(huì)超過(guò)在上的積分值.6、若是上非負(fù)且連續(xù)的函數(shù),若有,則在上恒等于零.7、若,是上的黎曼可積函數(shù)

5、,則 , 在上也黎曼可積.8、若在上黎曼可積,在上有定義且有界,則也在上黎曼可積.勒貝格積分的性質(zhì)1、（有限可加性）設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù),等均可測(cè)且兩兩互不相交,則有.2、對(duì)于給定的可測(cè)函數(shù),與的可積性相同且.3、(單調(diào)性)若,在上勒貝格可積,且?guī)缀跆幪幊闪?則.4、是上的非負(fù)可積函數(shù),則在上是幾乎處處有限的.5、是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),若在上幾乎處處等于0,則.6、(零測(cè)集上的積分)若,則.7、是上的勒貝格可積函數(shù),在上幾乎處處成立,則.8、設(shè)在上可測(cè),若存在非負(fù)函數(shù)在可測(cè)集上勒貝格可積,幾乎處處成立,則在可測(cè)集上勒貝格可積.9、在可測(cè)集上勒貝格可積,是的可測(cè)子集,則在上也勒貝格可積. 且

6、其積分值不會(huì)超過(guò)在上的積分值.10、設(shè)在上可測(cè),則的充要條件是在上幾乎處處成立.11、設(shè),均在上勒貝格可積,則,也在上勒貝格可積.12、若與在上幾乎處處相等,則也可積,且.13、設(shè)在可測(cè)集上勒貝格可積函數(shù),則其不定積分是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)14、設(shè)為可測(cè)集上勒貝格可積函數(shù),則存在絕對(duì)連續(xù)的函數(shù),使得導(dǎo)函數(shù)在上幾乎處處等于. 黎曼積分與勒貝格積分相關(guān)定理的比較與黎曼積分相關(guān)的定理若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),則其極限函數(shù)也在上連續(xù).（可積性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂,且每一項(xiàng)都連續(xù),.（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列,若為的收斂點(diǎn),且的每一項(xiàng)在上都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在上一致收斂,則.有界收斂定理設(shè)是定義在上的黎曼可積函數(shù).是定義在上的黎曼可積函數(shù).且.則有.與勒貝格積分相關(guān)的定理（勒維定理）設(shè)可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列滿足如下條件:,則的積分序列收斂于的積分 .（勒貝格控制