高中數(shù)學(xué)1.2.2組合教案新人教A版選修2-3

1、11. 2. 2 組合教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題。過程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù).-.m 與組合數(shù)|cnm之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公 式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式.教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式.授課類型：新授課.教 具：多媒體、實(shí)物投影儀+第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1 分類加法計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 種 不同的方法，在第二類辦法中有

2、m2種不同的方法，在第 n 類辦法中有mn種不同的 方法+那么完成這件事共有N=葉 m2、III mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n 個(gè)步驟，做第一步有m“種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第 n 步有mn種不同的方法，那么完成這 件事有N二mim2 I mn種不同的方法.3排列的概念： 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素(這里的被取元素各不 相同)按照一定的順序.排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列*4.排列數(shù)的定義： 從n個(gè)不同元素中，任取m(m_n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫 做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號Am表示.

3、5排列數(shù)公式：A：=n(n T)(n -2川|(n -m i)(m,n N ,m(n,m N ,且mn)”An5例 5.設(shè)x- N ,求Cjl的值+解：由題意可得： /xBAx1，解得2Wx蘭4, 、x +1 H2x 3x N,x =2或x=3或x =4,當(dāng)x = 2時(shí)原式值為 7；當(dāng)X = 3時(shí)原式值為 7；當(dāng)X = 4時(shí)原式值為所求值為 4 或 7 或 11 .m 1n -mn!(m 1)!( n - m -1)!m 1n!(m 1)! (n -m)(n - m -1)!n!m!(n _m)!m 1n -mCnm111 .6第三課時(shí)例 6. 一位教練的足球隊(duì)共有17 名初級學(xué)員，他們中以前

4、沒有一人參加過比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是11 人問：(1) 這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？(2) 如果在選出 11 名上場隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式 做這件事情？分析：對于(1)，根據(jù)題意，17 名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè) 從 17 個(gè)不同元素中選出 11 個(gè)元素的組合問題；對于(2 ),守門員的位置是特殊的，其 余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題.解：(1 )由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場方案有C 手=12 376(種).(2 )教練員可以分兩步完成這件事情

5、：11第 1 步，從 17 名學(xué)員中選出 n 人組成上場小組，共有 Cn種選法；第 2 步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有C種選法.所以教練員做這件事情的方法數(shù)有11 1C17C11=136136 (種).例 7. (1)平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2 )平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1 )以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從 10 個(gè)不同的元素中取出 2 個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10 個(gè)不同元素中取出 2 個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有2A1

6、0= 1 =90（條）例 8.在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品.從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件(1 )有多少種不同的抽法？(2 )抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？(3 )抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？解：(1 )所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100 件產(chǎn)品中取出 3 件的組合數(shù)，所以共有(2 )從 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2種，從 98品的抽法有C98種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有21010 91 2=45（條）(2 )由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每

7、 2 個(gè)3100100 99 981 2 3=161700（種）件合格品中抽出 2 件合格71 2 ,C2C98=9506（種）.（3）解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品兩種情況.在第（2）小題中已求得其中 i 件是次品的抽法有c；c9；種，因此根據(jù)分 類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12 2 1C2C98+C2C98=9 604（種）解法 2 抽出的 3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)， 也就是從 100 件中抽出 3 件的抽法種數(shù)減去 3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即33C100-C98=1

8、61 700-152 096 = 9 604（種）.說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。變式：按下列條件，從 12 人中選出 5 人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2 ）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4 ）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少 1 人當(dāng)選；例 9. （1） 6 本不同的書分給甲、 乙、丙 3 同學(xué)，每人各得 2 本，有多少種不同的分法？解：C2c：C；=90.（2）從 5 個(gè)男生和 4 個(gè)女生中選出 4 名學(xué)生參加一次會議，要求至少有2 名男生和 1名女生

9、參加，有多少種選法？解：問題可以分成 2 類：第一類 2 名男生和 2 名女生參加，有C；C：=60中選法；31第二類 3 名男生和 1 名女生參加，有C5C4=40中選法.依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有 100 種選法”錯(cuò)解：Clc：。；=240種選法*引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多*例 10. 4 名男生和 6 名女生組成至少有 1 個(gè)男生參加的三人社會實(shí)踐活動小組，問組成方 法共有多少種？解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分別有c3 ,C4 c6,de；,所以，一共有c：+c；c6+c4c6= 100 種方法.解法二：（間接法）c130-cf?-

10、100*8第四課時(shí)組合數(shù)的性質(zhì) i:cm.一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下n_m個(gè)元素因?yàn)閺膎個(gè)不同元 素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n -m個(gè)元素的每一個(gè)組合 對應(yīng) ，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n_m個(gè)元素的組合數(shù)，即：cm二c；在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想.n _mn!n!Cn(n -m)!n-(n-m)!m!(n-m)!又cm，二cm =cr.m!(n _m)!說明：規(guī)定：c =1；2等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；3此性質(zhì)作用：當(dāng)m時(shí)，計(jì)算cm可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡化220012002

11、_20011例如C2002=C2002=C2002=2002；C；二cj= X二y或x y二n.2.組合數(shù)的性質(zhì) 2：cn=crm+crmd.般地，從a1, a2,，an 1這n+1 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素a1，一類不含有a1.含有a1的組合是從a?, a3,，an 1這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與a1組成的，共有c；4個(gè)；不含有a1的組合是從a2,a3,，a.*這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想.(n -m 1 m)n! (n 1)!= cmcn 1

12、m! (n -m 1)! m! (n m 1)!說明：公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差 1 的兩個(gè)組合數(shù)之和， 等于下標(biāo)比原下標(biāo)多 1 而上標(biāo) 與大的相同的一個(gè)組合數(shù)；證明:C；個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以證明:n! *n!m!(n -m)! (m -1)!n -(m -1)!n!(n - m 1) n!mm! (n -m 1)!Cmm-1n+Cn9此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算10例 11. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7 個(gè)白球和 1 個(gè)黑球,解：（1）C；= 56,或C8 =C；+ C；,； （ 2）C；=21； （ 3）C；= 35.例 12.( 1)計(jì)算：C3 -C4 C5 - C96；（2）

13、求證：CnC門亠力門二亠小-2Cm-BCm+ 2Cm+Cm解：（1）原式-C5 c； c；=G6）=210；證明：（2）右邊=左邊*1例13.解方程： （1）站9笄；（2）解方程：C蔦.解：（1）由原方程得x 1 = 2x3或x 1 2x3 = 13，二x =4或x =5,仁x 1叨3I又由1乞2x-3乞13得2_x_8且xN”，.原方程的解為x= 4或x=5+x N上述求解過程中的不等式組可以不解，直接把x = 4和x =5代入檢驗(yàn)，這樣運(yùn)算量小得多1（2）原方程可化為C：10. 1 _ 1_120(x -2)!10 x(x -1) (x -2)!2（1） 從口袋內(nèi)取出3 個(gè)球，共有多少種取

14、法?（2） 從口袋內(nèi)取出3 個(gè)球，使其中含有 1 個(gè)黑球，有多少種取法?（3） 從口袋內(nèi)取出3 個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法?十3,(x 3)! _ (x 3)!5!(x-2)!一10 x!11.x -x-12=0，解得x=4或x - -3,經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的解+12第五課時(shí)例 14.證明：cmcy二c* cm：。證明：原式左端可看成一個(gè)班有m個(gè)同學(xué)，從中選出n個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出 的n個(gè)同學(xué)中，p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的n - p個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在m個(gè)同學(xué)中選出p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組， 在余下的m- p個(gè) 同學(xué)中選出n-p個(gè)同學(xué)參加

15、物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例 15.證明：c0cm+cicmA+cmcm=cm由(其中nm)。證明：設(shè)某班有n個(gè)男同學(xué)、m個(gè)女同學(xué)，從中選出m個(gè)同學(xué)組成興趣小組， 可分為m 1類：男同學(xué) 0 個(gè)，1 個(gè)，m個(gè)，則女同學(xué)分別為m個(gè)，m-1個(gè)，0 個(gè)，共 有選法數(shù)為c：cmc：cm二c；cm。又由組合定義知選法數(shù)為cm.，故等式成立。例 16.證明：C：+2C：+3C；+nC：= n2n，。證明：左邊=cn+2C；+3C；+ nCn=c1cn+c2c2+c3c +*cnc；,其中C1cn可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再從i個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)。設(shè)某班有n

16、個(gè)同學(xué)，選出若干人(至少 1 人)組成興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)i分類(i =1,2,n),則選法總數(shù)即為原式左邊?，F(xiàn)換一種選法，先選組長，有n種選法，再決定剩下的n-1人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有21種，所以選法總數(shù)為n2n種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例 17.證明：cn+22c：+32c3 + + n2C；= n(n +1)2n，。證明：由于i2cn二cfcjcn可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再從i個(gè)元素里選兩個(gè)(可重復(fù))的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3 指定一人為組長基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長(可兼職)的組合數(shù)。對原式右端

17、我們可分為組長和副組長是否是同一個(gè)人兩種情況。若組長和副組長是同一個(gè)人，則有n2n4種選法；若組長和副組長不是同一個(gè)人，則有n(n- 1)2n種選法。.共有n2n4+n(n -1)2n = n(n 1)2種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例 18.第 17 屆世界杯足球賽于 2002 年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32 支球隊(duì)有幸參加，他們先分成 8 個(gè)小組循環(huán)賽，決出 16 強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場，各組一、二名晉級 16 強(qiáng))，這支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場比賽？答案是：8C28 4 2 6

18、4，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析 +13解：可分為如下幾類比賽：小組循環(huán)賽：每組有 6 場，8 個(gè)小組共有 48 場；八分之一淘汰賽：8 個(gè)小組的第一、二名組成16 強(qiáng)，根據(jù)抽簽規(guī)則，每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出 8 強(qiáng)，共有 8 場；四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，8 強(qiáng)中每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出4 強(qiáng)，共有 4場；半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，4 強(qiáng)中每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出2 強(qiáng)，共有 2 場；決賽：2 強(qiáng)比賽 1 場確定冠亞軍，4 強(qiáng)中的另兩隊(duì)比賽 1 場決出第三、四名共有 2 場綜上，共有8C4亠842亠2=64場.四、課堂練習(xí)：I 判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：(1 )從 4

19、 個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出 2 個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？(2)從 4 個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出 2 個(gè)，并確定這 2 個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2.7名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為()A.42B.21C.7D.63 如果把兩條異面直線看作“一對”，則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有()A.15對B.25對C.30對D.20對4.設(shè)全集Ua,b,c,d?，集合A、B是U的子集，若A有3個(gè)元素，B有2個(gè)元素，且AB=a!，求集合A、B，則本題的解的個(gè)數(shù)為()A.42B.21C.7D35.從6位候選人中選出2人分別擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記，有_種不同的選法6. 從6位

20、同學(xué)中選出2人去參加座談會，有 _種不同的選法+7. 圓上有 10 個(gè)點(diǎn)：(1) 過每 2 個(gè)點(diǎn)畫一條弦，一共可畫 _ 條弦；(2)過每 3 個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫_個(gè)圓內(nèi)接三角形+& (1)凸五邊形有 _條對角線；(2)凸n五邊形有_ 條對角線“9計(jì)算:(1)c；5； (2)cm10 .A,B,C,D,E5個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，(1)共需比賽多少場？ ( 2)若各隊(duì)的得分互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？II.空間有 10 個(gè)點(diǎn)，其中任何 4 點(diǎn)不共面，(1)過每 3 個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè) 平面？ ( 2)以每 4 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？

21、12 .壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13 .寫出從a,b,c,d,e這5個(gè)元素中每次取出4個(gè)的所有不同的組合*答案：1.(1)組合,(2)排列 2. B 3. A 4. D 5. 306. 15147. (1) 45(2) 1208.(1) 5 (2)n(n - 3)/2153411C10=120;C10=210.12.C；+C：+C：+C：=241 =15*13.a,b,c,d；a,b,c,e；a,b,d,e；a,c,d,e；b,c,d,e+五、小結(jié)：組合的意義與組合數(shù)公式；解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確 定是排列問題還是組合問題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理學(xué)生探究過程：（完成如下表格）名稱內(nèi)容分類原理分步原理定 義相同點(diǎn)不同點(diǎn)名稱排列組合定義種數(shù)符號計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)29455；71010; 16六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、教學(xué)反思：排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動有趣， 題型多樣新穎且貼近生活， 解法靈活獨(dú)到但不易掌握， 許