1月10月自考線性代數(shù)經(jīng)管類04184歷年真題及答案

1、全國2008年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)A為三階方陣且則（D）A-108B-12C12D1082如果方程組有非零解，則k=（B）A-2B-1C1D2，3設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（D）ABCD4設(shè)A為四階矩陣，且，則（C）A2B4C8D125設(shè)可由向量，線性表示，則下列向量中只能是（B）ABCD6向量組的秩不為（）的充分必要條件是（C）A全是非零向量B全是零向量C中至少有一個向量可由其它向量線性表出D中至少有一個零向量的秩不為線性相關(guān)7設(shè)A為m矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條

2、件是（C）AA的行向量組線性無關(guān)BA的行向量組線性相關(guān)CA的列向量組線性無關(guān)DA的列向量組線性相關(guān)AX=0僅有零解A的列向量組線性無關(guān)8設(shè)A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤的是（D）AB秩(A)=秩(B)C存在可逆陣P，使D9與矩陣A=相似的是（A）ABCD有相同特征值的同階對稱矩陣一定（正交）相似10設(shè)有二次型，則（C）A正定B負定C不定D半正定當(dāng)時，；當(dāng)時總之，有正有負二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11若，則k=，12設(shè)A=，B=，則AB=AB=13設(shè)A=，則14設(shè)A為3矩陣，且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個解向量，則秩(A)= _1_秩(A)=15已知A有一

3、個特征值，則必有一個特征值_6_是A的特征值，則是的特征值16方程組的通解是，通解是17向量組，的秩是_2_，秩是218矩陣A=的全部特征向量是，基礎(chǔ)解系為，19設(shè)三階方陣A的特征值分別為，且B與A相似，則_-16_20矩陣A=所對應(yīng)的二次型是三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算四階行列式的值解：22設(shè)A=，求解：，=23設(shè)A=，B=，且A，B，X滿足，求，解：由，得，即，24求向量組，的一個極大線性無關(guān)組解：，是一個極大線性無關(guān)組25求非齊次方程組的通解解：，通解為 26設(shè)A=，求P使為對角矩陣解：，特征值，對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為；對于，解齊次線性方程組：

4、，基礎(chǔ)解系為；對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 令，則P是可逆矩陣，使四、證明題（本大題6分）27設(shè)是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明,也是Ax =0的基礎(chǔ)解系證：（1）Ax=0的基礎(chǔ)解系由3個線性無關(guān)的解向量組成（2）是Ax=0的解向量，則,也是Ax=0的解向量（3）設(shè)，則，由線性無關(guān)，得，系數(shù)行列式，只有零解，所以,線性無關(guān)由（1）（2）（3）可知，,也是Ax =0的基礎(chǔ)解系全國2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)行列式D=3，D1=，則D1的值為（C）A-15B-6C6D15D1=2

5、設(shè)矩陣=，則（C）ABCD3設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價的矩陣為（B）ABCD4設(shè)A為n階方陣，則（A）ABCD5設(shè)A=，則（B）A-4B-2C2D46向量組（）線性無關(guān)的充分必要條件是（D）A均不為零向量B中任意兩個向量不成比例C中任意個向量線性無關(guān)D中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示7設(shè)3元線性方程組，A的秩為2，,為方程組的解，則對任意常數(shù)k，方程組的通解為（D）ABCD取的特解：；的基礎(chǔ)解系含一個解向量：8設(shè)3階方陣A的特征值為，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（D）ABCD不是A的特征值，所以，可逆9設(shè)=2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣必有一個特征值等于（A）ABC2D4是A的

6、特征值，則是的特征值10二次型的秩為（C）A1B2C3D4，秩為3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11行列式=_0_行成比例值為零12設(shè)矩陣A=，P=，則=13設(shè)矩陣A=，則14設(shè)矩陣A=，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數(shù)t=_2_，15已知向量組，的秩為2，則數(shù)t=_-2_，秩為2，則16已知向量，與的內(nèi)積為2，則數(shù)k=，即，17設(shè)向量為單位向量，則數(shù)b=_0_，18已知=0為矩陣A=的2重特征值，則A的另一特征值為_4_，所以19二次型的矩陣為20已知二次型正定，則數(shù)k的取值范圍為，三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算行列式D=的值解：22已

7、知矩陣A=，B=，（1）求A的逆矩陣；（2）解矩陣方程解：（1），=；（2）=23設(shè)向量，求（1）矩陣；（2）解：（1）=；（2）=24設(shè)向量組，求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示解：，向量組的秩為3，是一個極大線性無關(guān)組，25已知線性方程組，（1）求當(dāng)為何值時，方程組無解、有解；（2）當(dāng)方程組有解時，求出其全部解（要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解：（1）時，方程組無解，時，方程組有解；（2）時，全部解為26設(shè)矩陣A=，（1）求矩陣A的特征值與對應(yīng)的全部特征向量；（2）判定A是否可以與對角陣相似，若可以，求可逆陣P和對角陣，使得解：，特征值，對于

8、，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）令，則P是可逆矩陣，使得四、證明題（本題6分）27設(shè)n階矩陣A滿足，證明可逆，且證：由，得，所以可逆，且全國自考2008年7月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設(shè)3階方陣A=，其中（i=1, 2, 3）為A的列向量，且|A|=2，則|B|=|=（C）A.-2B.0C.2D.62.若方程組有非零解，則k=（A）A.-1B.0C.1D.23.設(shè)A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是（C）A.

9、|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT4.設(shè)A為三階矩陣，且|A|=2，則|（A*）-1|=（D）A.B.1C.2D.45.已知向量組A：中線性相關(guān)，那么（B）A. 線性無關(guān)B. 線性相關(guān)C. 可由線性表示D. 線性無關(guān)6.向量組的秩為r，且r<s，則（C）A. 線性無關(guān)B. 中任意r個向量線性無關(guān)C. 中任意r+1個向量線性相關(guān)D. 中任意r-1個向量線性無關(guān)7.若A與B相似，則（D）A.A，B都和同一對角矩陣相似B.A，B有相同的特征向量C.A-E=B-ED.|A|=|B|8.設(shè)，是Ax=b的解，是對應(yīng)齊

10、次方程Ax=0的解，則（B）A. +是Ax=0的解B. +（-）是Ax=0的解C. +是Ax=b的解D. -是Ax=b的解9.下列向量中與=（1，1，-1）正交的向量是（D）A. =（1，1，1）B. =（-1，1，1）C. =（1，-1，1）D. =（0，1，1）10.設(shè)A=，則二次型f(x1，x2)=xTAx是（B）A.正定B.負定C.半正定D.不定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11.設(shè)A為三階方陣且|A|=3，則|2A|=_24_.12.已知=（1，2，3），則|T|=_0_.13.設(shè)A=，則A*=14.設(shè)A為4×5的矩陣，且秩（A）=2，則齊次方程Ax=

11、0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是_3_.15.設(shè)有向量=（1，0，-2），=（3，0，7），=（2，0，6）. 則的秩是_2_.16.方程x1+x2-x3=1的通解是17.設(shè)A滿足3E+A-A2=0，則18.設(shè)三階方陣A的三個特征值為1，2，3. 則|A+E|=_24_.19. 設(shè)與的內(nèi)積（，）=2，=2，則內(nèi)積（2+，-）=_-8_.20.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是三、計算題21計算6階行列式=1822已知A=，B=，C=，X滿足AX+B=C，求X. 23求向量組=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個極大線性無關(guān)組. 秩為2，極大無關(guān)組為，24當(dāng)a

12、, b為何值時，方程組 有無窮多解？并求出其通解. 時有無窮多解。通解是25已知A=，求其特征值與特征向量. 特征值，的特征向量,的特征向量26.設(shè)A=，求An. 四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)為Ax=0的非零解，為Ax=b(b0)的解，證明與線性無關(guān).證明： 所以與線性無關(guān)。全國2009年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題及答案課程代碼：04184試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示矩陣A的逆矩陣，秩（A）表示矩陣A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備

13、選項中只有一個是最符合題目要求的。請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)A為n階方陣，若A3=O，則必有（ D ）A. A=O B.A2=O C. AT=O D.|A|=0 2.設(shè)A，B都是n階方陣，且|A|=3，|B|=-1,則|ATB-1|=（ A ）A.-3 B.- C. D.3 3.設(shè)A為5×4矩陣，若秩(A)=4，則秩(5AT)為（ C ）A.2 B.3 C.4D.5 4.設(shè)向量=（4,-1,2,-2），則下列向量中是單位向量的是（ B ）A. B. C.D.5.二次型f(x1,x2)=5的規(guī)范形是（ D ）A.y-y B. -y-y C.-y+y D

14、. y+y 6.設(shè)A為5階方陣，若秩(A)=3，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個數(shù)是（ A ）A.2 B.3 C.4 D.5 7.向量空間W=(0,x,y,z) |x+y=0的維數(shù)是（ B ）A.1 B.2 C.3 D.4 8.設(shè)矩陣A=，則矩陣A的伴隨矩陣A*=（ B ）A. B. C. D. 9.設(shè)矩陣A=，則A的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（ D ）A.1 B.2 C.3D.4 10.設(shè)A，B分別為m×n和m×k矩陣，向量組（I）是由A的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（II）是由（A，B）的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（ C ）A.若（I）線性無關(guān)，則（I

15、I）線性無關(guān) B.若（I）線性無關(guān)，則（II）線性相關(guān) C.若（II）線性無關(guān)，則（I）線性無關(guān) D.若（II）線性無關(guān)，則（I）線性相關(guān) 二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。11設(shè)A=（3，1，0），B=，則AB=_（2，3）_.12已知向量=（3，5，7，9），=（-1，5，2，0），如果+=，則=_（-4，0，-5，-9）_.13.設(shè)A，B為6階方陣，且秩（A）=6，秩（B）=4，則秩（AB）=_4_.14.已知3階方陣A的特征值為1，-3，9，則=_-1_.15.二次型f(x1,x2,x3,x4)=的正慣性指數(shù)為_3_.

16、16設(shè)A為3階方陣，若|AT|=2，則|-3A|=_-54_.17已知向量=（1，2，-1）與向量=（0，1，y）正交，則y=_2_.18設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣為，則該方程組的結(jié)構(gòu)式通解為_.19設(shè)B為方陣，且|B|=3，則|B4|=_81_.20設(shè)矩陣A=，則A-1= _ _.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算行列式D=.解：D=14=14=11222.求向量組1=（1，4，3，-2），2=（2，5，4，-1），3=（3，9，7，-3）的秩.解：（）=，故秩為2。23求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.解：系數(shù)矩陣A=得同解方程組再令得基礎(chǔ)解系：24.設(shè)A=

17、B=，又AX=B，求矩陣X.解：由于，故A可逆。 ，故=，所以25.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=為標準形，并判別其正定性.解：f=,故得標準型f=對于二次型矩陣所以不是正定性的。26.求方陣A=的特征值和特征向量.解：令=即；同理，四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)向量組1，2，3線性無關(guān)，證明：向量組1+23，2-3，1+22線性相關(guān).證： 1+23 ，2-3，1+22 ，記A=得，由于向量組1，2，3線性無關(guān)，故， ，線性相關(guān)，即1+23，2-3，1+22線性相關(guān)。全國2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共

18、20分）13階行列式中元素的代數(shù)余子式（ C ）ABC1D22設(shè)矩陣，則必有（ A ）ABCD3設(shè)階可逆矩陣、滿足，則（ D ）A BCD由，得，4設(shè)3階矩陣，則的秩為（ B ）A0B1C2D3，的秩為15設(shè)是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ C ）A1B2C3D4是的極大無關(guān)組，的秩為36設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（ A ）A必有一個向量可以表為其余向量的線性組合B必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合C必有三個向量可以表為其余向量的線性組合D每一個向量都可以表為其余向量的線性組合7設(shè)是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組

19、基礎(chǔ)解系的是（ B ）ABCD只有線性無關(guān)，可以作為基礎(chǔ)解系8若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ C ）ABCD與相似，則與相似9設(shè)實對稱矩陣，則3元二次型的規(guī)范形為（ D ）ABCD，規(guī)范形為10若3階實對稱矩陣是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為（ D ）A0B1C2D3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11已知3階行列式，則_，12設(shè)3階行列式的第2列元素分別為，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，則_13設(shè)，則_14設(shè)為2階矩陣，將的第2列的（）倍加到第1列得到矩陣若，則_將的第2列的2倍加到第1列可得15設(shè)3階矩陣，則_，16設(shè)向量組，線性相關(guān)，則數(shù)_，17已

20、知，是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組有一個非零解向量_（或它的非零倍數(shù)）18設(shè)2階實對稱矩陣的特征值為，它們對應(yīng)的特征向量分別為，則數(shù)_設(shè)，由，即，可得，；由，即，可得19已知3階矩陣的特征值為，且矩陣與相似，則_的特征值為，20二次型的矩陣_，三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21已知3階行列式中元素的代數(shù)余子式，求元素的代數(shù)余子式的值解：由，得，所以22已知矩陣，矩陣滿足，求解：由，得，于是23求向量組，的一個極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出解：，是一個極大線性無關(guān)組，24設(shè)3元齊次線性方程組，（1）確定當(dāng)為何值時，方程組有非

21、零解；（2）當(dāng)方程組有非零解時，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解解：（1），或時，方程組有非零解；（2）時，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實數(shù)；時，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實數(shù)25設(shè)矩陣，（1）判定是否可與對角矩陣相似，說明理由；（2）若可與對角矩陣相似，求對角矩陣和可逆矩陣，使解：（1），特征值，對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，；對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為3階矩陣有3個線性無關(guān)的特征向量，所以相似于對角陣；（2）令，則是可逆矩陣，使得26設(shè)3元二次型，求正交變換，將二次型化為標準形解：二次型的矩陣為，特征值，對于，解齊次線性方程組：，單位化為；對于，解齊次線性方程組：，單位化為；對

22、于，解齊次線性方程組：，單位化為令，則P是正交矩陣，使得，經(jīng)正交變換后，原二次型化為標準形四、證明題（本題6分）27已知是階矩陣，且滿足方程，證明的特征值只能是0或證：設(shè)是的特征值，則滿足方程，只能是或全國2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)，為同階方陣，下面矩陣的運算中不成立的是（ C ）ABC D，未必等于2已知，那么（ B ）ABCD123若矩陣可逆，則下列等式成立的是（ C ）ABCD，所以4若，則下列矩陣運算的結(jié)果為矩陣的是（ D ）ABCD與都是矩陣，由此可以將前三個選項排除5設(shè)有向量組：，其中線性無關(guān)

23、，則（ A ）A線性無關(guān)B線性無關(guān)C線性相關(guān)D線性相關(guān)整體無關(guān)部分無關(guān)6若四階方陣的秩為3，則（ B ）A為可逆陣B齊次方程組有非零解C齊次方程組只有零解D非齊次方程組必有解，有非零解7設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程存在非零解的充要條件是（ B ）A的行向量組線性相關(guān)B的列向量組線性相關(guān)C的行向量組線性無關(guān)D的列向量組線性無關(guān)存在非零解的充要條件是，即的列向量組線性相關(guān)8下列矩陣是正交矩陣的是（ A ）ABCD9二次型（為實對稱陣）正定的充要條件是（ D ）A可逆BC的特征值之和大于0D的特征值全部大于010設(shè)矩陣正定，則（ C ）ABCD，二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11

24、設(shè)，則_12若，則_，13設(shè)，則_，14已知，則_由，得，所以15向量組的秩為_，秩為216設(shè)齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解，則是方程組_的解由，可得，即是的解17方程組的基礎(chǔ)解系為_，基礎(chǔ)解系為18向量正交，則_由，即，19若矩陣與矩陣相似，則 _相似矩陣有相同的跡，所以，220二次型對應(yīng)的對稱矩陣是_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21求行列式的值解：22已知，矩陣滿足方程，求解：由，得，于是23設(shè)向量組為，求向量組的秩，并給出一個極大線性無關(guān)組解：，向量組的秩為2，是一個極大線性無關(guān)組24求取何值時，齊次方程組有非零解？并在有非零解時求出方程組的通解解：，或時

25、，方程組有非零解；時，通解為，為任意實數(shù)；時，通解為，為任意實數(shù)25設(shè)矩陣，求矩陣的全部特征值和特征向量解：，特征值，對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為，是任意不全為零的常數(shù)；對于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對應(yīng)的全部特征向量為，是任意非零常數(shù)26用配方法求二次型的標準形，并寫出相應(yīng)的線性變換解：作可逆線性變換，得標準形四、證明題（本大題共1小題，6分）27證明：若向量組線性無關(guān)，而，則向量組線性無關(guān)的充要條件是為奇數(shù)證：設(shè)，即，由線性無關(guān)，可得齊次方程組，其系數(shù)行列式，當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時，齊次方程組只有零解，線性無關(guān)全國2010年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（

26、經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1已知2階行列式，則（ B ）ABCD2設(shè)A , B , C均為n階方陣，則（ D ）AACBBCABCCBADBCA3設(shè)A為3階方陣，B為4階方陣，且，則行列式之值為（ A ）ABC2D84，則（ B ）APABAPCQADAQ5已知A是一個矩陣，下列命題中正確的是（ C ）A若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩(A)=2B若A中存在2階子式不為0，則秩(A)=2C若秩(A)=2，則A中所有3階子式都為0D若秩(A)=2，則A中所有2階子式都不為06下列命題中錯誤的是（ C ）A只含有1個零向量的向量組線性相關(guān)B由3個2維

27、向量組成的向量組線性相關(guān)C由1個非零向量組成的向量組線性相關(guān)D2個成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)7已知向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，則（ D ）A必能由線性表出B必能由線性表出C必能由線性表出D必能由線性表出注：是的一個極大無關(guān)組8設(shè)A為矩陣，則方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（ D ）A小于mB等于mC小于nD等于n 注：方程組Ax=0有n個未知量9設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（ A ）ABCD，所以A與有相同的特征值10二次型的正慣性指數(shù)為（ C ）A0B1C2D3，正慣性指數(shù)為2二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11行列式的值為_12設(shè)矩陣，則

28、_13設(shè)，若向量滿足，則_14設(shè)A為n階可逆矩陣，且，則|_15設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則_個方程、個未知量的Ax=0有非零解，則016齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為_，基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為17設(shè)n階可逆矩陣A的一個特征值是，則矩陣必有一個特征值為_A有特征值，則有特征值，有特征值18設(shè)矩陣的特征值為，則數(shù)_由，得219已知是正交矩陣，則_由第1、2列正交，即它們的內(nèi)積，得020二次型的矩陣是_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算行列式的值解：22已知矩陣，求（1）；（2）解：（1）；（2）注意

29、到，所以23設(shè)向量組，求向量組的秩及一個極大線性無關(guān)組，并用該極大線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量解：，向量組的秩為3，是一個極大無關(guān)組，24已知矩陣，（1）求；（2）解矩陣方程解：（1），；（2）25問a為何值時，線性方程組有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其解（在有無窮多解時，要求用一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解）解：時，有惟一解，此時，；時，有無窮多解，此時，通解為，其中為任意常數(shù)26設(shè)矩陣的三個特征值分別為，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使解：由，得，對于，解：，取；對于，解：，取；對于，解：，取令，則P是可逆矩陣，使四、證明題（本題6分）27設(shè)A，B，均為n階正交矩陣，證明證

30、：A，B，均為n階正交陣，則，所以 全國2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼：04184試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣（行列對換）；A*表示A的伴隨矩陣； A-1=（重要）求A-1 和A*時，可用這個公式，A*太復(fù)雜了自己看看r(A)表示矩陣A的秩；| A |表示A的行列式；E表示單位矩陣。 ,每一項都乘2一、單項選擇題 表示矩陣，矩陣乘矩陣還是矩陣；| |表示行列式，計算后為一個數(shù)值，行列式相乘為數(shù)值運算在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)3階方陣A=（1，2，3），其中i（i

31、=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，則| A |=( C )A.-12B.-6 i（i=1,2,3）為A的列向量，3行1列C.6D.122.計算行列式=( A )=3*-2*10*3=-180A.-180B.-120C.120D.1803.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=( C )=23| A |=8*1/2=4A.B.2C.4D.84.設(shè)1，2，3，4都是3維向量，則必有( B ) n+1個n維向量線性相關(guān)A.1，2，3，4線性無關(guān)B.1，2，3，4線性相關(guān)C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示5.若A為6階方陣，齊

32、次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則r(A)=( C )A.2B.3 n- r(A)=解向量的個數(shù)=2,n=6C.4D.56.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則( C ) A與B合同 r(A)=r(B) PTAP=B, P可逆A.A與B相似B.| A |=| B |C.A與B等價D.A與B合同7.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=( D )，| A |=所有特征值的積=0A.0B.2 A+2E的特征值為2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2C.3D.248.若A、B相似，則下列說法錯誤的是( B )A.A與B等價B

33、.A與B合同C.| A |=| B |D.A與B有相同特征值A(chǔ)、B相似A、B特征值相同| A |=| B | r(A)=r(B)；若AB，BC，則AC（代表等價）9.若向量=（1，-2,1）與=(2，3，t)正交，則t=( D ) , 即1*2-2*3+1*t=0，t=4A.-2B.0C.2D.410.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則( B )，所有特征值都大于0，正定；A.A正定 B.A半正定 所有特征值都小于0，負定；C.A負定 D.A半負定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半負定；其他情況不定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確

34、答案。錯填、不填均無分。11.設(shè)A=,B=，則AB=（A的每一行與B的每一列對應(yīng)相乘相加）= 下標依次為行列，如表示第二行第一列的元素。 A為三行兩列的矩陣即3×2的矩陣，B為2×3的矩陣，則AB為3×3的矩陣，對應(yīng)相乘放在對應(yīng)位置12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |= 33| A-1 |=27*=913.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_. 擴充為，再看答案14.設(shè)=（-1，2，2），則與反方向的單位向量是_跟高中單位向量相同_.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)是_.16.設(shè)A為3階方陣，特征值

35、分別為-2，1，則| 5A-1 |=_同12題_.17.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_.若矩陣A的行列式| A |0，則A可逆，即A A-1=E，E為單位矩陣。Ax=0只有零解| A |0，故A可逆若A可逆，則r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，則r(ABC)= r(B)18.實對稱矩陣A=所對應(yīng)的二次型f (x1, x2, x3)= 實對稱矩陣A 對應(yīng)于各項的系數(shù)19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解1=，2=且r(A)=2，則Ax=b的通解是_.20.設(shè)=，則A=T的非零特征值是_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計

36、算5階行列式D=22.設(shè)矩陣X滿足方程 X=求X.23.求非齊次線性方程組的通解.24.求向量組1=（1,2，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個極大無關(guān)組.25.已知A=的一個特征向量=（1,1，-1）T，求a，b及所對應(yīng)的特征值，并寫出對應(yīng)于這個特征值的全部特征向量.26.設(shè)A=，試確定a使r(A)=2.四、證明題（本大題共1小題，6分）27.若1，2，3是Ax=b(b0)的線性無關(guān)解，證明2-l，3-l是對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的線性無關(guān)解.全國2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2

37、分，共20分）1設(shè)3階方陣，其中（）為A的列向量，若，則（ C ）ABC6D122計算行列式（ A ）ABC120D1803若A為3階方陣且，則（ C ）AB2C4D8，4設(shè)都是3維向量，則必有（ B ）A線性無關(guān)B線性相關(guān)C可由線性表示D不可由線性表示5若A為6階方陣，齊次方程組Ax=0基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則（ C ）A2B3C4D5由，得46設(shè)A、B為同階方陣，且，則（ C ）AA與B相似BCA與B等價DA與B合同注：A與B有相同的等價標準形7設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為，則（ D ）A0B2C3D24的特征值分別為，所以8若A、B相似，則下列說法錯誤的是（ B ）AA與B等價B

38、A與B合同CDA與B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量與正交，則（ D ）AB0C2D4由內(nèi)積，得410設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為，則（ B ）AA正定BA半正定CA負定DA半負定對應(yīng)的規(guī)范型，是半正定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)，則_12設(shè)A為3階方陣，且，則_13三元方程的通解是_，通解是14設(shè)，則與反方向的單位向量是_15設(shè)A為5階方陣，且，則線性空間的維數(shù)是_的維數(shù)等于基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)：1617若A、B為5階方陣，且只有零解，且，則_只有零解，所以可逆，從而18實對稱矩陣所對應(yīng)的二次型_19設(shè)3元非齊次線性方程組有解，且，則的通解

39、是_是的基礎(chǔ)解系，的通解是20設(shè)，則的非零特征值是_由，可得，設(shè)的非零特征值是，則，三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算5階行列式解：連續(xù)3次按第2行展開，22設(shè)矩陣X滿足方程，求X解：記，則，23求非齊次線性方程組的通解解：，通解為，都是任意常數(shù)24求向量組，的秩和一個極大無關(guān)組解：，向量組的秩為2，是一個極大無關(guān)組25已知的一個特征向量，求及所對應(yīng)的特征值，并寫出對應(yīng)于這個特征值的全部特征向量解：設(shè)是所對應(yīng)的特征值，則，即，從而，可得，；對于，解齊次方程組：，基礎(chǔ)解系為，屬于的全部特征向量為，為任意非零實數(shù)26設(shè)，試確定使解：，時四、證明題（本大題共1小題，6分）27

40、若是（）的線性無關(guān)解，證明是對應(yīng)齊次線性方程組的線性無關(guān)解證：因為是的解，所以，是的解；設(shè)，即，由線性無關(guān)，得，只有零解，所以線性無關(guān)全國2011年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，（）表示向量與的內(nèi)積，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)行列式=4，則行列式=（ ）A.12B.24C.36D.482.設(shè)矩陣A，B，C，X為同階方陣

41、，且A，B可逆，AXB=C，則矩陣X=（ ）A.A-1CB-1B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-13.已知A2+A-E=0，則矩陣A-1=（ ）A.A-EB.-A-EC.A+ED.-A+E4.設(shè)是四維向量，則（ ）A.一定線性無關(guān)B.一定線性相關(guān)C.一定可以由線性表示D.一定可以由線性表出5.設(shè)A是n階方陣，若對任意的n維向量x均滿足Ax=0,則（ ）A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)6.設(shè)A為n階方陣，r(A)<n，下列關(guān)于齊次線性方程組Ax=0的敘述正確的是（ ）A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基礎(chǔ)解系含r(A)個解向量C.A

42、x=0的基礎(chǔ)解系含n-r(A)個解向量D.Ax=0沒有解7.設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，則（ ）A.是Ax=b的解B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解D.是Ax=b的解8.設(shè)，為矩陣A=的三個特征值，則=（ ）A.20B.24C.28D.309.設(shè)P為正交矩陣，向量的內(nèi)積為（）=2，則（）=（ ）A.B.1C.D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩為（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式=0，則k=_.12.設(shè)A=，k為正整數(shù)，則Ak=_.13.設(shè)2階可逆矩陣A的逆

43、矩陣A-1=，則矩陣A=_.14.設(shè)向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量滿足，則=_.15.設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0,只有零解，則r(A)=_.16.設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則A（3）=_.17.實數(shù)向量空間V=（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0的維數(shù)是_.18.設(shè)方陣A有一個特征值為0，則|A3|=_.19.設(shè)向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，則=_.20.設(shè)f(x1,x2,x3)=是正定二次型，則t滿足_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算行列式22.設(shè)矩陣A=，對參數(shù)討論矩陣A的秩.23.求解矩陣方程

44、X=24.求向量組：，的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過該極大線性無關(guān)組表示出來.25.求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系及其通解.26.求矩陣的特征值和特征向量.四、證明題（本大題共1小題，6分）27.設(shè)向量，.,線性無關(guān)，1<jk.證明：+，,線性無關(guān). 全國2011年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1下列等式中，正確的是（ ）AB3=C5D2下列矩陣中，是初等矩陣的為（ ）ABCD3設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，且C=，則C-1是（ ）ABCD4設(shè)A為3階矩陣，A的秩r (A)=3，則矩陣A*的秩r (A*)=（ ）A0B1C2D35設(shè)向量，若有常數(shù)a,