蘊(yùn)含數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上蘊(yùn)含數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法 山東省五蓮一中 王振香數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與其它數(shù)學(xué)知識有著廣泛、密切而又深入的交匯，這類數(shù)列綜合問題往往蘊(yùn)含著許多重要的數(shù)學(xué)思想與方法（如函數(shù)思想、方程思想、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想、歸納猜想等），在分析與處理解決時，若能靈活地以這些數(shù)學(xué)思想與方法作思路指導(dǎo)，則會取得事半功倍的效果.一 函數(shù)思想由于數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊離散型函數(shù)，則我們?nèi)裟苡幸庾R地多從函數(shù)的角度去看待數(shù)列，在這種整體的、動態(tài)的觀點(diǎn)之下加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決數(shù)列的一系列問題，就會使數(shù)列的一些性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚，使某些問題得到更好

2、地解決.例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，求.分析：因是等差數(shù)列，則知也為等差數(shù)列，由此可用一次函數(shù)的方法解決問題.解：，故為等差數(shù)列，其通項為一次函數(shù)，將之設(shè)為，則點(diǎn)、在其圖象上，則解得.故，解之得.評注：是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是直線上的離散點(diǎn).上述解法是利用待定系數(shù)法建立一次函數(shù)來求解.當(dāng)然更可利用結(jié)論“成等差數(shù)列”這個等差數(shù)列的重要結(jié)論而簡單解決本題.二 方程（組）思想數(shù)列與以前所學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式、簡易邏輯等許多知識都有廣泛的聯(lián)系，方程（組）思想在學(xué)習(xí)過程中得以較為充分的體現(xiàn)，許多數(shù)列習(xí)題都可通過列出方程或方程組而求解.如，數(shù)列的通項公式與前n項和的公式緊密地聯(lián)系著五個基本

3、量，“知三求二”是一類最基本的運(yùn)算.因此方程的觀點(diǎn)是解決此類問題的基本數(shù)學(xué)思想與方法.例2設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有的正整數(shù)，與2的等差中項等于與2的等比中項，以此求的通項公式.分析：由題設(shè)“與2的等差中項等于與2的等比中項”即可列出方程進(jìn)行分析.解：由題意可知，整理得：，當(dāng)時，解得.又-，整理得： .又，即是首項為2、公差為4的等差數(shù)列，.點(diǎn)評：本例利用了方程的消元思想由、消去得到了這一方程，找到了數(shù)列中相鄰兩項的遞推關(guān)系，使問題得到了解決.值得注意的是有的時候可借助消去利用遞推關(guān)系解題.例3已知等差數(shù)列的公差是正數(shù)，并且，求前n項的和.分析：由可知，結(jié)合條件可得相關(guān)方程.

4、解：由等差數(shù)列知：，從而，故是方程的兩根，又，解之得：.再解方程組 ，因此有.點(diǎn)評：本題利用了這一性質(zhì)構(gòu)造了二次方程，從中巧妙的解出了兩個量，再利用方程求得了首項與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數(shù)列解題時往往可借助方程的思想與（或）找出解題的捷徑.三 分類討論思想所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給出的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對所研究的對象分門別類的進(jìn)行研究，最后綜合各類的結(jié)果得到問題的解決.例4 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項和.（）求的取值范圍；（）設(shè)，記的前n項和為，試比較與的大小.分析：凡涉及等比數(shù)列和的問題，一般而言均需分類討論.解：（）因為是等比數(shù)列，當(dāng)上式等價于不等式組：

5、 或 解式得q>1；解，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得1<q<1.綜上，q的取值范圍是（）由得，則其前n項和.于是又>0且1<<0或>0.當(dāng)或時即當(dāng)且0時，即當(dāng)或=2時，即點(diǎn)評：關(guān)于數(shù)列的分類一般考查三個方向：對公差d的分類討論、對公比q的分類討論、對項數(shù)n的分類討論.四 化歸與轉(zhuǎn)化的思想數(shù)列的絕大多數(shù)問題最后歸結(jié)為兩大問題求通項公式和求前n項和.由于數(shù)列種類繁多，對一般數(shù)列討論這兩個問題有一定困難，故一般的，均能將待解決的問題化歸成我們比較熟悉的等差、等比這兩種最典型的數(shù)列去解決.例5 已知數(shù)列的首項，前n項和為，且，求的通項公式.分析與略解：當(dāng)n2時，.兩式相減，得，將之變形為.可見是公比為2的等比數(shù)列.又 ，得 ，則 .因此 .兩邊同除以，得（常數(shù)），可見是首項為，公差為的等差數(shù)列.因此，從而.評析：本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列，隨著化歸的進(jìn)行，問題降低了難度.化歸與轉(zhuǎn)化的思想中隱含著許多數(shù)學(xué)方法如消元法、構(gòu)造法、錯位相減法、倒序相加法、拆項相消法、拆項分組求和法等.結(jié)束語：當(dāng)然，滲透數(shù)列中的思想還有“一般與特殊的思想”、“歸納猜想的思想”、“遞推（歸）的思想”等.數(shù)學(xué)中的思想與方法是數(shù)學(xué)的“靈魂”，它并不是完全抽象的東西，而是以數(shù)學(xué)知識為載體的