八年級數(shù)學(xué)等腰三角形經(jīng)典教案

1、燕園教育輔導(dǎo)中心等腰三角形一、 等腰三角形含義：有兩條邊相等的三角形。常見題：已知兩邊長和第三邊，求周長。例題：兩條邊長分別為2和5，求周長，注意：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。二、 等腰三角形的性質(zhì)：1.等邊對等角，例如：已知AB=AC，B=C等腰三角形的性質(zhì)：2等腰的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）。注意：只有等腰三角形才有三線合一。 例1如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求：ABC各角的度數(shù)3. 等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”） 4. 例2求證：

2、如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形 已知：CAE是ABC的外角，1=2，ADBC（如圖） 求證：AB=AC 證明：ADBC， 1=B（兩直線平行，同位角相等）， 2=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又1=2， B=C， AB=AC（等角對等邊）練習(xí)：已知：如圖，ADBC，BD平分ABC 求證：AB=AD 證明：ADBC， ADB=DBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又BD平分ABC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD（等角對等邊） 例3如圖（1），標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D、E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得

3、D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長？ 分析：這是一個與實(shí)際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題一、復(fù)習(xí)知識要點(diǎn) 1有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角 2三角形按邊分類：三角形 3等腰三角形是軸對稱圖形，其性質(zhì)是： 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 4等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對

4、的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）二、例題例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，ABC=AED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)求證：AFCD. 分析：要證明AFCD，而點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質(zhì)，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到結(jié)論證明：連接AC、AD 在ABC和AED中ABCAED（SAD） AC=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 又ACD中AF是CD邊的中線（已知） AFCD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）三、練習(xí)（一）、選擇題1等腰三角形的對稱軸是（ ） A頂角的平分線 B底邊上的高 C底邊上的中線 D底邊上的高所

5、在的直線2等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（ ） A17cm B22cm C17cm或22cm D18cm3等腰三角形的頂角是80，則一腰上的高與底邊的夾角是（ ） A40 B50 C60 D304等腰三角形的一個外角是80，則其底角是（ ） A100 B100或40 C40 D805如圖1，C、E和B、D、F分別在GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，則GEF的度數(shù)是（ ）A80 B90 C100 D108如圖1答案: 1D 2B 3A 4C 5B 如圖2 （二）、填空題6等腰ABC的底角是60，則頂角是_度7等腰三角形“三線合一”是指_8等腰三

6、角形的頂角是n，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_9如圖2，ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，A=40，則EDF的度數(shù)是_10ABC中，AB=AC點(diǎn)D在BC邊上 （1）AD平分BAC，_=_；_； （2）AD是中線，_=_；_； （3）ADBC，_=_；_=_11ABC中，A=65，B=50，則AB：BC=_12已知AD是ABC的外角EAC的平分線，要使ADBC，則ABC的邊一定滿足_13ABC中，C=B，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE=2cm，且DEBC，則AD=_答案:660 7等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合8（90+ n） 970 10略 111

7、12AB=AC 132cm 1430海里（三）、解答題15如圖，CD是ABC的中線，且CD= AB，你知道ACB的度數(shù)是多少嗎？由此你能得到一個什么結(jié)論？請敘述出來與你的同伴交流16如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：ABC=ADC.17如圖，ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，DFAC于F交BC于E，求證：DBE是等腰三角形答案: 15ACB=90結(jié)論：若一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形16連接BD，AB=AD，ABD=ADBCB=CD，CBD=CDBABC=ADC17證明D=BED等邊三角形 定理：在直角三角形中，如果一個銳角

8、等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 已知：如圖，在RtABC中，C=90，BAC=30求證：BC=AB 分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD 例5右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多長？ 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAED與RtACB中，由于A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以DE=AB 例等腰三角形的底角為15，腰長為2a，求腰上的高 已知：如圖，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的長 分析：

9、觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一個外角，則DAC=152=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD等邊三角形一、復(fù)習(xí)知識要點(diǎn) 1三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形 2等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60 3等邊三角形的判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形 4在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半二、練習(xí)（一）、選擇題1正ABC的兩條角平分線BD和CE交于點(diǎn)I，

10、則BIC等于（ ）A60 B90 C120 D1502下列三角形：有兩個角等于60；有一個角等于60的等腰三角形；三個外角（每個頂點(diǎn)處各取一個外角）都相等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有（ ） A B C D3如圖，D、E、F分別是等邊ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則DEF的形狀是（ ） A等邊三角形 B腰和底邊不相等的等腰三角形C直角三角形 D不等邊三角形 4RtABC中，CD是斜邊AB上的高，B=30，AD=2cm，則AB的長度是（ ） A2cm B4cm C8cm D16cm5如圖，E是等邊ABC中AC邊上的點(diǎn)，1=2，BE=CD，則對ADE

11、的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（ ）A等腰三角形 B等邊三角形 C不等邊三角形 D不能確定形狀答案：1C 2D 3A 4C 5B（二）、填空題6ABC中，AB=AC，A=C，則B=_7已知AD是等邊ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點(diǎn)F，則AFE=_8等邊三角形是軸對稱圖形，它有_條對稱軸，分別是_9ABC中，B=C=15，AB=2cm，CDAB交BA的延長線于點(diǎn)D，則CD的長度是_答案：660 7608三；三邊的垂直平分線 91cm （三）、解答題10已知D、E分別是等邊ABC中AB、AC上的點(diǎn)，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？11如圖，ABC中，AB=AC，BAC=120，AD

12、AC交BC于點(diǎn)D，求證：BC=3AD.12如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，ABC和CDE都是等邊三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求證：BCEACD；求證：CF=CH；判斷CFH的形狀并說明理由13如圖，點(diǎn)E是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC，且BE平分DBC，求BDE的度數(shù)（提示：連接CE）答案：1060或12011AB=AC，BAC=120，B=C=30，在RtADC中CD=2AD，BAC=120，BAD=120-90=30，B=BAD，AD=BD，BC=3AD12ACB=DCE=60，BCE=ACD又BC=AC，CE=CD，BCEACD；證明BCFA

13、CH；CFH是等邊三角形13連接CE，先證明BCEACE得到BCE=ACE=30，再證明BDEBCE得到BDE=BCE=30、隨堂練習(xí)，變式訓(xùn)練練習(xí)1：請同學(xué)們做課本51頁的練習(xí)第一題，同時教師在黑板上補(bǔ)充一下題目：求等腰三角形個角度數(shù)：（1） 在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為36.（2） 在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為110.學(xué)生思考，練習(xí)，教師指導(dǎo)，并給出答案，之后引導(dǎo)學(xué)生對以上這種類型的題目存在的規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)。歸納：已知等腰三角形的一個內(nèi)角的度數(shù),求其它兩角時,(a)若已知角為鈍角或直角,則它一定是頂角；(b)若已知角為銳角,它可能是頂角,也可能是底角。本次變式訓(xùn)練中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)

14、注：（1）學(xué)生能否正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)；（2）學(xué)生是否注意到等腰三角形的地窖一定是銳角；（3）學(xué)生是否注意到可能的多種情況；(4)學(xué)生是否注意到等腰三角形的頂角可能是鈍角，但底角一定是銳角。設(shè)計(jì)意圖：及時鞏固所學(xué)知識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。練習(xí)2：已知：在ABC中，AB=AC，BD=DC. AD=4,BC=6時，求當(dāng)時，求的度數(shù)。解:解: 練習(xí)2的訓(xùn)練主要是讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)2來解題。設(shè)計(jì)意圖：及時鞏固所學(xué)知識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。、應(yīng)用深化，鞏固提高例：在ABC中，AB=AC，點(diǎn)

15、D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù)。BCAD課本例題，學(xué)生討論問題，教師參與討論，認(rèn)真聽取學(xué)生的分析，引導(dǎo)學(xué)生找出角之間的關(guān)系，書寫解答過程。解：因?yàn)锳B=AC, BD=BC=AD所以ABC=C =BDA, A =ABD（等邊對等角）設(shè)C=x,則 BDA=A+ABD=2 x 從而ABC=C =BDA=2 x于是在ABC中，有A+ABC+C=180解得x=36在ABC中，A=36，ABC=72，C=72。通過例題講解，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生能否正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決問題；（2）學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識的應(yīng)用意識。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)知識的應(yīng)用能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識，參與意

16、思，鞏固所學(xué)性質(zhì)。、課時小結(jié)請大家拿出前面剪得的等腰三角形，與小組同學(xué)一起結(jié)合圖形指出你知道的內(nèi)容。等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。教師重點(diǎn)關(guān)注：歸納、總結(jié)能力；不同層次的學(xué)生對本節(jié)知識的認(rèn)識程度；學(xué)生獨(dú)立面對困難和克服困難的能力。設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納，激發(fā)學(xué)生主動參與的意識，為每一位學(xué)生創(chuàng)造在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn)機(jī)會，并為程度不同的學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會。一、選擇題（每題6分，共30分）每題有且只有一個正確答案1等腰三角形（不等邊）的角平分線、中線和高的條數(shù)總和是（ ）A3B5C7D92

17、在射線、角和等腰三角形中，它們（ ）軸對稱圖形A都是 B只有一個是C只有一個不是 D都不是3如下圖：ABC中，AB=AC，A=36，D是AC上一點(diǎn)，若BDC=72，則圖形中共有（ ）個等腰三角形。A1B2C3D44三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三角形三邊的距離都相等，同時與三角形三頂點(diǎn)的距離也都相等，則這個三角形一定是（ ）A等腰三角形B等腰直角三角形C非等腰三角形D等邊三角形5ABC中，AB=AC，AB邊的中垂線與直線AC所成的角為50，則B等于（ ）A70B20或70C40或70 D40或20二、填空題（每題6分，共30分）1等腰三角形中的一個外角為130，則頂角的度數(shù)是_ 。2ABC中，AB=AC

18、，CDAB于D，CD=3，B=75，則AB=_ 3如下圖：ABC 中，AB=AC，DE是AB中垂線交AB、AC于D，E，若BCE的周長為24，AB=14，則BC=_，若A=50，則CBE= _。4等腰三角形中有兩個角的比為1：10，則頂角的度數(shù)是_。5如下圖：等邊ABC，D是形外一點(diǎn)，若AD=AC，則BDC=_度。三、作圖題（6分），只畫圖，不寫作法。如左圖：直線MN及點(diǎn)A，B。在直線MN上作一點(diǎn)P，使APM=BPM。四、解答題（第1小題12分，第2、3小題各11分）1已知：如圖ABC中，AB=AC，BDAC，CEAB，BD、CE交于H。求證：HB=HC。2已知：如圖：等邊ABC，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD、BE交于N，BMAD于M，若AE=CD，求證：。3已知：如圖：ABC中，ADBC于D，BAC=120，AB+BD=DC。求：C的度數(shù)。選作題：已知：如圖：ABC中，D是BC上一點(diǎn)，P是AD上一點(diǎn)